Correction TD 5 Chapitre 2 Semestre 2-2015/2016

Correction TD 5 Chapitre 2 Semestre 2-2015/2016

Optimisation : acte 1

Exercices obligatoires

➢ Exercice 5-1

En produisant et vendant x unités d'un bien, une firme gagne une recette totale donnée par R(x)=-0,0016x²+44x et supporte les coûts totaux C(x)=0,0004x²+8x+64 000.

1. Quel est le niveau de production x0 qui rend le profit maximal? (Le profit est la différence entre la recette totale et le coût total).

2. L'élasticité ElxC(1 000)0,12. Interprétez ce résultat.

1. Profit=P(x)=R(x)-C(x)=-0,002x²+36x-64 000.

Supposons que l'on cherche le profit maximal sur ]0;+[. Pour tout x dans ]0;+[, P'(x)=-0,004x+36.

Condition nécessaire : P'(x0)=0

P'(x0)=0 ssi x0=36/0,004=9000. Donc si maximum il y a, ce ne peut être qu'en ce x0 là.

Etude du sens de variation : si x]0;x0], P est strictement croissante et si x[x0,+[ P est strictement décroissante. Ainsi le profit admet un maximum en x0 et sa valeur est P(x0)=98000.

On peut aussi utiliser P'' : P''(x)=-0,004<0 donc P est concave.

2. ElxC(1 000)0,12 donc si on fabrique 1% de plus de biens à partir de 1000 unités, les

coûts totaux augmentent de 0,12%.

➢ Exercice 5-2

La hauteur d'une plante fleurie après t mois est donnée par ^ht=t−1

2t ,t∈[0;3] . A quel moment la plante atteint-elle sa taille maximale?

Condition nécessaire : si t [0;3[, on cherche t0 tel que h'(t0)=0.

h '(t)= 1

2√^t−12=1−√^t

2√^t . h'(t)=0 ssi ¹⁻√^t=0 . on n'a qu'une solution t=1 .

 t]0;1], h'(t)  0 et h'(t)  0 pour t[1;3]. Donc la plante atteint sa taille maximale pour t=1.

➢ Exercice 5-3

Trouver les extrema des fonctions suivantes définies pour tous réels x et y : 1. f(x,y)=x²+4y²+2x-4y

2. g(x,y)=x²+y⁴-2y² 3. h(x,y)= ^x²−xy1₆^y38

1. Recherche des points stationnaires

Ces points vérifient ∇f=0 c'est à dire _∂^∂f_x^{=0 et} _∂^∂f_y⁼⁰ . Les coordonnées vérifient donc _∂^∂f_x^{=2x+2=0 et} _∂^∂f_y^=8y−4=0 . On trouve x=-1 et y=0,5. On a un seul couple (-1;0,5) qui est candidat pour être un extremum.

Dérivées secondes ^r=∂_∂²_x^f2=2 , t=∂²f

∂y²=8 et s= ∂²f

∂x∂y= ∂²f

∂y∂x=0 donc matrice hessienne H(f)=

(

)

déterminant vaut rt-s²=28=16 Etude du signe de det(H)

det(H)=16>0 donc il existe un extremum en (-1;0,5).

tr(H)=2+8=10>0 donc (-1;0,5) est un minimum.

2. Recherche des points stationnaires

Ces points vérifient ∇g=0 c'est à dire ^∂_∂^g_x^{=0 et ∂}_∂^g_y⁼⁰ . Les coordonnées vérifient donc ^∂_∂^g_x^{=2x=0 et ∂}_∂^g_y^{=4y3−4 y=4y(y2−1)=0} . On trouve x=0 et y=1 ou -1. On a donc trois couples candidats (0;0), (0;1) et (0;-1) pour être extremum.

Dérivées secondes

donc matrice hessienne

H(g)=

(

)

Son déterminant vaut rt-s²=2(12y²-4)=24y²-8

Etude du signe de det(H) pour chaque couple candidat -Pour (0;0)

det(H)=-8<0 donc g n'a pas d'extremum en (0;0).

-Pour (0;1)

det(H)=16>0 donc g admet un extremum en (0;1).

tr(H)=10>0 donc g admet un minimum local en (0;1).

-Pour (0;-1)

det(H)=16>0 donc g admet un extremum en (0;-1).

tr(H)=10>0 donc g admet un minimum local en (0;-1).

3. Recherche des points stationnaires

Ces points vérifient ∇h=0 c'est à dire ^∂_∂^h_x^{=0 et} _∂^∂h_y⁼⁰ . Les coordonnées vérifient

r=∂²g

∂x²=2 , t=∂²g

∂y²=12y²−4 et s= ∂²g

∂x∂y= ∂²g

∂y∂x=0

donc ^∂_∂^h_x^{=2x−y=0 et} _∂^∂h_y^{=−x+0,5y2=0} . Donc x=0,5y donc y vérifie 0,5y(-1+y)=0.

On trouve deux couples solution (0;0) et (0,5;1).

Dérivées secondes

donc matrice hessienne

H(h)=

(

)

Son déterminant vaut rt-s²=2y-1=2y-1

Etude du signe de det(H) pour chaque couple candidat -Pour (0;0)

det(H)=-1<0 donc g n'a pas d'extremum en (0;0).

-Pour (0,5;1)

det(H)=1>0 donc g admet un extremum en (0,5;1).

tr(H)=3>0 donc g admet un minimum local en (0,5;1).

➢ Exercice 5-4

Un agent économique cherche à maximiser son utilité (fonction qui mesure la satisfaction que retire cet agent en consommant un bien). Celle-ci est donnée par U(x)=ln(x)-e^x-1, où x désigne son niveau de consommation d'un certain bien.

1. Sur quel intervalle U est-elle définie?

U est définie sur ]0;+[.

2. Montrer que U est strictement concave sur ]0;+[.

U est deux fois dérivables donc  x  ]0;+[, ^{U '(x)=1}_x^{−ex−1 et U ' '(x)=−1}_x2−e^x−1<0 . U est donc concave sur ]0;+[.

3. Calculer U'(1).

4. En déduire le maximum global de U sur ]0;+[.

U'(1)=0 donc 1 est stationnaire . U est concave sur ]0;+[donc U admet un maximum en x=1 et vaut U(1)=-1.

➢ Exercice 5-5

Une entreprise fabrique deux modèles A et B d'un bien. Le coût journalier de fabrication de x unités de A et y unités de B est donné par la fonction

C(x;y)=0,04x²+0,01xy+0,01y²+4x+2y+500.

Si l'entreprise vend toute sa production au prix de 15 par unité du modèle A et 9 par unité du modèle B, déterminer les niveaux x et y de production journalière qui rendent le profit maximal.

Profit P(x;y)=15x+9y-( 0,04x²+0,01xy+0,01y²+4x+2y+500)=11x+7y-0,04x²-0,01xy-0,01y²-500

r=∂²h

∂x²=2 , t=∂²h

∂y²=y et s= ∂²h

∂x∂y= ∂²h

∂y∂x=−1

U '(1)=1−e⁰=0

pour tous couples de réels positifs (x;y).

Recherche des points stationnaires

Ces points vérifient ∇P=0 c'est à dire ^∂_∂^P_x^{=0 et ∂}_∂^P_y⁼⁰ . Les coordonnées vérifient donc ^∂_∂^P_x^{=11−0,08x−0,01y=0 et ∂}_∂^P_y^{=7−0,01x−0,02y=0} .

On doit résoudre le système

{

{

On trouve x=100 et y=300. On a un seul couple (100;300) qui est candidat pour être un extremum.

Dérivées secondes ^r=∂_∂^2P

x²=−0,08 , t=∂²P

∂y²=−0,02 et s= ∂²P

∂x∂y= ∂²P

∂y∂x=−0,01 donc matrice hessienne H(P)=

(

)

Etude du signe de det(H)

det(H)=-0,0015>0 donc il existe un extremum en (100;300).

tr(H)=-0,10<0 donc (100;300) est un maximum local. Par ailleurs det(H)=-0,0015>0 et tr(H)<0 pour tous x et y du domaine de définition donc P est concave et le maximum est global.

Donc 100 produits A et 300 produits B rendent le profit maximum.

Pour aller plus loin

➢ Exercice 5-6

1. Après les inondations catastrophiques sur le littoral de la mer du Nord en 1953, le gouvernement néerlandais a lancé un projet pour déterminer la hauteur optimale des digues. Un des modèles exigeait de trouver la valeur qui rendait minimale la fonction

f(x)=I0+kx+Ae^-x (x  0).

Ici, x désigne la hauteur (en mètres) qu'il faudrait ajouter aux digues, I0+kx le coût de la construction et Ae^-x une estimation des pertes prévues dues aux inondations. Les paramètres I0, k, A et  sont des constantes strictement positives.

Dans l'hypothèse A>k, trouver x0>0 qui rend f(x) minimal.

x0 doit vérifier f'(x0)=0. On trouve ^x0=−1α ln

(

)

f''(x)=²Ae^-x >0 donc la fonction est concave. Elle admet donc un minimum au point stationnaire x0.

2. A est définie par A=p0V(1+100/) où p0 est la probabilité que les digues soient submergées si elles ne sont pas reconstruites, V une estimation du coût des dommages dus aux inondations et  un taux d'intérêt. Montrer que :

x₀=1

αln

[

(

) ]

Examiner ce qui arrive à x0 quand une des variables p0, V,  ou k augmente.

∂x₀

∂p₀= 1

αp₀>0 Donc si p0 augmente x0 aussi. Le comportement selon V est le même (la variable a une place semblable à celle de p0).

∂x₀

∂k=−1

αk<0 Donc si k augmente x0 diminue.

et ^∂_∂^x_δ⁰⁼⁻¹α ×

(

)

➢ Exercice 5-7

Caractériser les points stationnaires de

On les caractérise par f'(x)=0. On en trouve trois : 0,

√

√

➢ Exercice 5-8

Trouver les extrema de f(x,y)=3x⁴+3x²y-y³.

(0,5;-0,5) et (-0,5;-0,5) det(H)>0 et tr(H)>0 donc ces deux points sont des minima locaux.

Exercices en plus pour réviser

➢ Exercice 5-9

Soit y la quantité hebdomadaire de viande de porc produite à Chicago en 1948 (en millions de livres) et soit x la quantité hebdomadaire totale de travail (en milliers d'heures). Nichols a établi entre ces deux variables, la relation y=-2,05+1,06x-0,04x². Déterminer la valeur de x qui rend y maximal.

x=13,25.

➢ Exercice 5-10

Une firme qui ne produit qu'un seul bien cherche à maximiser son profit. Le prix unitaire , désigné par P(q) varie avec q selon la formule ^{Pq=100−1}₃^{q , q∈[0;300]} .

La fonction coût total est C(q)= ^Cq=₆₀₀^{1 q3−1}₃^{q250q1000}₃ . Déterminer le niveau de production qui rend le profit maximal.

Profit(q)=qP(q)-C(q) Profit'(q)=0 pour q=100.

Profit''(q)=-q/1000 sur [0;300] donc profit est concave est q0=100 est la valeur pour laquelle le profit est maximal.

➢ Exercice 5-11

Une firme pharmaceutique produit de la pénicilline. Le prix de vente à l'unité est 200 et le coût de production de x unités est donné par

U(x)=500 000 + 80x + 0,003x².

La firme peut produire jusqu'à 30 000 unités. Quelle est la valeur de x qui maximise le

fx= 6x³ x⁴x²2

profit?

profit(x)=-0,003x²+120x-500 000 profit'(x)=0 pour x=20 000.

profit''(x)=-0,006<0 donc profit est concave sur [0;30 000]. Ainsi profit admet un maximum pour 20 000 unités produites.

➢ Exercice 5-12

Trouver les extrema de f(x,y)=x²-6xy+2y²+10x-2y-5.

Point stationnaire vérifie le système 2x-6y=-10 et -6x+4y=2.

Seul point critique : (1;2).

det(H)=-28<0 donc il n'y a pas d'extremum.