Corrigé TD 3 Chapitre 1 Semestre 2-2015/2016

(1)

Corrigé TD 3 Chapitre 1 Semestre 2-2015/2016

Matrice inverse

Exercices obligatoires

● Exercice 3-1

Montrer que

(

^{3 5}^{1 2}

)

⁻¹⁼

(

⁻¹² ⁻⁵³

)

^.

On peut vérifier que

(

^{3 5}1 2

)

^×

(

−1² ⁻⁵3

)

⁼

(

−1² ⁻⁵3

)

^×

(

^{3 5}1 2

)

⁼

(

^{1 0}0 1

)

mais on peut également chercher à calculer l'inverse de

(

^{3 5}1 2

)

par les méthodes vues en cours.

Montrons tout d'abord que

(

^{3 5}1 2

)

est inversible en calculant son déterminant : 32-51=10.

On peut donc utiliser la formule : 1

det(matrice)×matrice adjointe .

comatrice=

(

−5² ⁻¹3

)

donc sa transposée =

(

−1² ⁻⁵3

)

. Le déterminant valant 1 l'inverse de

(

^{3 5}1 2

)

^{est bien}

(

−1² ⁻⁵3

)

^.

● Exercice 3-2

1. Vérifier l'inversibilité des matrices suivantes :

A=

(

^{1 1}^{1 2}^{1 3} ⁻¹¹²

)

^et^B=

⁽

^{2 2}^{3 4}

⁾

^.

Les matrices sont inversibles si leur déterminant est non nul.

det(A)=

|

^{1 1}^{1 2}^{1 3} ⁻¹¹²

|

. Appliquons : C2C2-C1 : det(A)=

|

^{1 0}^{1 1}^{1 2} ⁻¹¹²

|

^{puis C}³^C³^-C^{1 :}

det(A)=

|

^{1 0}^{1 1}^{1 2} ⁻²⁰¹

|

⁼⁽⁻¹⁾¹⁺¹^×1×

^|

¹² ⁻²¹

^|

⁼¹⁺^4=5≠0. Ainsi A est inversible.

det(B)=

|

^{2 2}3 4

|

=2×4−2×3=2≠0 Donc B est inversible.

(2)

2. Calculer de deux façons la matrice inverse de B puis de A.

Première méthode pour B : avec la matrice adjointe On peut donc utiliser la formule : 1

comatrice(B)=

(

−2⁴ ⁻³2

)

donc sa transposée =

(

−3⁴ ⁻²2

)

. Le déterminant valant 2 l'inverse de

(

^{2 2}3 4

)

^{est bien}

(

−1,5² ⁻¹1

)

^.

Deuxième méthode pour B : avec le pivot de Gauss

Partons de ^B=

(

^{2 2}3 4

)

, appliquons des transformations sur les lignes afin d'arriver à I2. Les mêmes transformations sur I2 conduisent à B^-1.

Tout d'abord, appliquons L23L1- 2L2 à la fois sur B et I2 :

(

²0 −2²

)

^et

(

¹3 −2⁰

)

^,

puis L2L₂/(-2) :

(

^{2 2}0 1

)

^et

(

−1,5 1¹ ⁰

)

^,

puis L1L1- 2L2 : et

(

−1,5⁴ ⁻²1

)

^,

puis L1L1/2 : et

(

−1,5² ⁻¹1

)

^.

Première méthode pour A : avec la matrice adjointe On peut utiliser la formule : 1

● Pour déterminer la comatrice, on peut se souvenir du “tableau des signes” :

(

^{+ -}^-^{+ -}^{+ -}⁺⁺

)

● écrire la comatrice en calculant chaque déterminant et en tenant compte des signes

précédents : comatrice(A)=

(

⁺^-⁺

^| ^| ^|

^{1 1}^{3 2}²³¹² ⁻¹⁻¹

^|

²¹

^| ^|

^-⁺^-

^| ^| ^|

¹¹¹¹^{1 1}^{1 2}⁻¹⁻¹¹²

^| ^| ^|

⁺^-⁺

^| ^| ^|

^{1 1}^{1 3}^{1 2}^{1 3}^{1 1}^{1 2}

^| ^| ^| )

^donc

comatrice(A)=

(

⁻³⁷¹ ⁻³¹² ⁻²¹¹

)

^.

● écrire la transposée de la comatrice (matrice adjointe):

comatrice(A)^T=

(

⁻³⁷¹ −2¹¹ ⁻³²1

)

^.

● det(A)=5 donc ^A⁻¹⁼¹₅^×

(

⁻³⁷¹ −2¹¹ ⁻³1²

)

^.

(

^{2 0}0 1

)

(

^{1 0}0 1

)

(3)

Deuxième méthode pour A : avec le pivot de Gauss

Partons de ^A=

(

^{1 1}^{1 2}^{1 3} ⁻¹¹²

)

, appliquons des transformations sur les lignes afin d'arriver à I3. Les mêmes transformations sur I3 conduisent à A^-1.

● Tout d'abord, appliquons L2L1- L2 et L3L1- L3 à la fois sur A et I3 :

(

¹⁰⁰ ⁻¹−2¹ −1¹²

)

^et

(

¹¹¹ ⁻¹⁰⁰ −1⁰⁰

)

puis L32L2- L3 :

(

¹⁰⁰ ^{−1 2}¹⁰ ¹⁵

)

^et

(

¹¹¹ ^{−2 1}^{−1 0}⁰ ⁰

)

puis L3L3/5 :

(

¹⁰⁰ ^{−1 2}¹⁰ ¹¹

)

^et

(

^1/5¹¹ ^{−2/5 1/}⁻¹⁰ ⁰⁰⁵

)

puis L2L2-2L3 :

(

¹⁰⁰ ^{−1 0}¹⁰ ¹¹

)

^et

(

^3/5^1/5¹ ^−1/5⁻²⁰^/5 ^−2/5¹⁰^/⁵

)

puis L2 -L2 :

(

^{1 1 1}^{0 1 0}^{0 0 1}

)

^et

(

^−3/^1/¹⁵⁵ −2¹⁰^//5 1⁵ ^2/5⁰/5

)

puis L1L1-L3 :

(

^{1 1 0}^{0 1 0}^{0 0 1}

)

^et

(

^−3/^4/^1/5⁵⁵ ^−2/5^2/5^1/⁵ ^−1/^2/5^1/5⁵

)

enfin L1L1-L2 :

(

^{1 0 0}^{0 1 0}^{0 0 1}

)

^et

(

^−3/^7/^1/5⁵⁵ ^−2/^1/^1/⁵⁵⁵ ^−3/5^2/5^1/5

)

^.

Donc ^A⁻¹⁼

(

^−3/^7/5^1/5⁵ ^−2/^1/5^1/5⁵ ^−3/5^2/5^1/⁵

)

^.

● Exercice 3-3

1. Soit la matrice ^M⁼



⁻⁻¹¹¹ ⁻⁻¹¹¹ ⁻¹⁻¹¹



. Calculer det(M). Que pouvez-vous en déduire?

Pour calculer det(M), appliquons C2C2+C1 et C3C3+C1 :

|

⁻¹⁻¹¹ ⁻¹⁻¹¹ ⁻¹⁻¹¹

|

⁼

|

⁻¹⁻¹¹ ⁻²⁰⁰ ⁻²⁰⁰

|

. Développons par rapport à la première ligne :

Calculer M² .

M²=MM=

(

⁻¹−1³ ⁻¹−1³ ⁻¹⁻¹3

)

^.

2. Montrer que M²=M+2I3 (I3 est la matrice unité d'ordre 3).

Un simple calcul donne M²=M+2I3.

det(M)=

|

⁻¹⁻¹¹ ⁻²⁰⁰ ⁻²⁰⁰

|

⁼⁽⁻¹⁾¹⁺¹^×1×

^|

⁻²⁰ ⁻²⁰

^|

⁼⁻⁴

(4)

3. En déduire M^-1.

On a M²=M+2I3 donc M²-M=2I3 donc (M²-M)/2=I3 soit M(M-I3)/2=[(M-I3)/2]M= I3 . Par unicité de la matrice inverse on obtient : M^-1=(M-I3)/2, ainsi

M⁻¹=

(

^−0,5−0,5⁰ ^−0,5−0,5⁰ ^−0,5^−0,50

)

^.

● Exercice 3-4

Une entreprise de confection de vêtements fabrique des jupes, des robes et des pantalons.

Pour fabriquer une jupe, il faut 0,75m de tissu, 4 boutons et une fermeture Éclair.

Pour fabriquer une robe, il faut 1,5m de tissu, 6 boutons et une fermeture Éclair.

Pour fabriquer un pantalon, il faut 1,25m de tissu, 2 boutons et une fermeture Éclair.

On appelle x, y et z les quantités respectives de jupes, de robes et de pantalons

confectionnés, et a, b et c les quantités de tissu (en mètres), de boutons et de fermeture Éclair utilisées pour la fabrication.

Enfin on considère les matrices : ^M⁼



0,75 1,5 1,25

4 6 2

1 1 1



^{, A=}



^x^y^z



^{et B=}

(

^a^b^c

)

^.

1. Quelle relation lie A, B et M?

MA=B.

2. Déterminer les quantités de tissu (en mètres), de boutons et de fermeture Éclair utilisées pour la fabrication de 200 jupes, 120 robes et 320 pantalons.

Ici x=200, y=120 et z=320. On cherche B. On calcule MA avec ^A=

(

¹²⁰³²⁰²⁰⁰

)

^.

On obtient : ^MA=

(

²¹⁶⁰⁷³⁰⁶⁴⁰

)

donc pour fabriquer 200 jupes, 120 robes et 320 pantalons, on a besoin de 730 m de tissu, 2160 boutons et 640 fermetures.

3. M est-elle inversible? Si oui, déterminer M^-1.

Cherchons det(M). En appliquant C2C2-C1 et C3C3-C1 ,

det(M)=

|

0,75 0,75 0,5

4 2 −2

1 0 0

|

⁼⁽⁻¹⁾³⁺¹^×1×

^|

^{0,75 0,5}² ⁻²

^|

^=−2,5≠0 donc M est inversible.

On peut utiliser la formule : 1

Pour déterminer la comatrice, on peut se souvenir du “tableau des signes” :

(

^{+ -}^-^{+ -}^{+ -}⁺⁺

)

écrire la comatrice en calculant chaque déterminant et en tenant compte des signes

(5)

précédents : comatrice(M)=

(

⁺^-⁺

^| ^| ^|

^{1,5 1,25}^{6 2}^{1 1}^{1,5 1,25}¹⁶

^|

¹²

^| ^|

^-⁺^-

^| ^| ^|

^{1 1}^{0,75 1,25}^{4 2}^{0,75 1,25}⁴¹

^|

²¹

^| ^|

⁺^-⁺

^| ^| ^|

^{0,75 1,5}^{4 6}^{1 1}^{0,75 1,5}¹⁴

^|

¹⁶

^| ^| )

^donc

comatrice(M)=

(

^−0,25^−4,5⁴ ^{−0,5 0,75}⁻²^3,5 ^−1,5⁻²

)

^.

écrire la matrice adjointe :

comatrice(M)^T=

(

⁻²−2⁴ ^−0,25^−0,50,75 ^−4,5−1,5^3,5

)

^.

det(M)=-2,5 donc ^M⁻¹⁼⁻¹_2,5^×

(

⁻²−2⁴ ^−0,25^−0,50,75 ^−4,5−1,5^3,5

)

⁼

(

^−1,6^0,8^0,8 −0,3^0,1^0,2 ^−1,4^1,80,6

)

4 Écrire la matrice A en fonction de B et de M^-1. MA=B donc A=M^-1B.

En déduire le nombre de jupes, robes et pantalons que l'on peut confectionner avec 735m de tissu, 2 400 boutons et 620 fermetures Éclair.

Ici, ^B=

(

²⁴⁰⁰⁷³⁵⁶²⁰

)

^{donc A=M}^-1^B=

(

^−1,6^0,8^0,8 −0,3^0,1^0,2 ^−1,4^1,80,6

)

^×

(

²⁴⁰⁰⁷³⁵⁶²⁰

)

⁼

(

¹⁸⁰²⁰⁰²⁴⁰

)

^.

On peut donc confectionner 180 jupes, 200 robes et 240 pantalons.

Pour aller plus loin

➢ Exercice 3-5

Soient les matrices

D=



^{1 0 0}^{0 2 0}^{0 0 2}



^et ^P=

(

^{1 0 1}^{0 1 1}^{1 0 2}

)

^.

1. Montrer que P est inversible et calculer son inverse.

det(P)=

|

^{1 0 1}^{0 1 1}^{1 0 2}

|

^=1≠0 donc P est inversible.

P⁻¹=

(

^{−1 0}²¹ ⁰¹ ⁻¹⁻¹¹

)

^.

2. Soit la matrice A=PDP^-1. Calculer A.

PD=

(

^{1 0 2}^{0 2 2}^{1 0 4}

)

^et ^A=PDP⁻¹⁼

(

^{−2 0 3}⁰⁰ ^{0 1}^{2 0}

)

^.

3 Soit n un entier naturel non nul.

(6)

a. Montrer par récurrence que ^Dⁿ⁼

(

^{1 0}^{0 2}0 0 2ⁿ ⁰⁰ⁿ

)

^.

Preuve par récurrence : 1. Définition de la propriété

Soit P(n) la propriété définie pour n entier naturel >0 par :

P(n) : ” “.

➢ 2. Vérification de la propriété au rang de départ

Montrons que P(n) est vraie au premier rang (ici 1 mais le premier rang est souvent 0) : Pour n=1, D¹=D= donc P(1) est vraie.

3. Vérification de l'hérédité

Hérédité : montrons que P(n) est héréditaire à partir du rang 1.

Supposons que pour UN entier n1, P(n) soit vérifiée.

On a donc : .

Calculons Dⁿ⁺¹ à partir de P(n) : Dⁿ⁺¹=Dⁿ D=^.

➢ On trouve alors que la propriété est vraie au rang n+1.

Donc P(n+1) est vérifiée.

4. Conclusion

La propriété P(n) est vraie au rang 1 ET elle est héréditaire.

Ainsi,  n 1 ,

b. Montrer par récurrence que Aⁿ=PDⁿP^-1. Preuve par récurrence :

1. Définition de la propriété

Soit P(n) la propriété définie pour n entier naturel >0 par : P(n) : ” Aⁿ=PDⁿP^-1 “.

Dⁿ=



^{1 0}^{0 2}^{0 0}ⁿ ²⁰⁰ⁿ



(

^{1 0 0}^{0 2 0}^{0 0 2}

)

Dⁿ=



^{1 0}^{0 2}^{0 0}ⁿ ²⁰⁰ⁿ



(

^{1 0}^{0 2}0 0 2ⁿ ⁰⁰ⁿ

)

^×

(

^{1 0 0}^{0 2 0}^{0 0 2}

)

⁼

(

^1×1⁰0 ²ⁿ⁰0^×2 2ⁿ⁰⁰×2

)

⁼

(

¹^{0 2}0 ⁰ⁿ⁺¹0 2⁰⁰ⁿ⁺¹

)

Dⁿ=



^{1 0}^{0 2}^{0 0}ⁿ ²⁰⁰ⁿ



(7)

2. Vérification de la propriété au rang de départ

Montrons que P(n) est vraie au premier rang (ici 1 mais le premier rang est souvent 0) : Pour n=1, A=A¹=PD¹P^-1par définition de A donc P(1) est vraie.

3. Vérification de l'hérédité

Hérédité : montrons que P(n) est héréditaire à partir du rang 1.

Supposons que pour UN entier n1, P(n) soit vérifiée.

On a donc : Aⁿ=PDⁿP^-1 .

Calculons Aⁿ⁺¹ à partir de P(n) : Aⁿ⁺¹=Aⁿ A=^.PDⁿP^-1 A= PDⁿP^-1PD¹P^-1.

Or, P^-1 est l'inverse de P donc PP^-1=P^-1P=I3 donc Aⁿ⁺¹= PDⁿI3D¹P^-1= PDⁿD¹P^-1et DⁿD¹=Dⁿ⁺¹donc, on arrive à Aⁿ⁺¹= PDⁿ⁺¹P^-1.

On trouve alors que la propriété est vraie au rang n+1.

Donc P(n+1) est vérifiée.

4. Conclusion

La propriété P(n) est vraie au rang 1 ET elle est héréditaire.

Ainsi,  n 1 , Aⁿ=PDⁿP^-1 .

c. En déduire que ^Aⁿ⁼

(

2−2²⁻²⁰ⁿ⁺¹ⁿ ²⁰0ⁿ 2²ⁿ⁺¹ⁿ⁰⁻¹−1

)

^.

On a ^PDⁿ⁼

(

¹^{0 2}1 ⁰0 2ⁿ ²²ⁿ⁺¹ⁿⁿ

)

^{puis PD}ⁿ^P^-1^{= A}ⁿ⁼

(

2−2²⁻²⁰ⁿ⁺¹ⁿ ²⁰0 2ⁿ ²ⁿ⁺¹ⁿ⁰⁻¹−1

)

^.

Exercices en plus pour réviser

● Exercice 3-6

Inverser les matrices suivantes :

B=

(

^{2 1}1 3

)

^{, A=}

(

⁻³¹² ^{−4 0}⁰⁰ ⁰⁴

)

^,C⁼

(

^{1 2}^{0 4}^{1 1} ⁻¹⁻³⁰

)

^et^D=

(

^{1 2}^{1 2}^{2 1} ⁻³³¹

)

det(B)=5; B⁻¹=1

5×

(

−1³ ⁻¹2

)

⁼

(

−0,2^0,6 ^−0,20,4

)

^.

det(A)=−32; A⁻¹=−1 .

32×

(

^{−16 0}^{−12 0}⁻⁴ ⁸ ⁻⁸⁰⁰

)

⁼

(

^0,125^0,375^0,5 ^−0,25⁰⁰ ^0,25⁰⁰

)

(8)

^det^(C^{)=−8; C}⁻¹⁼⁻¹₈ ^×

(

⁻¹²−4⁰ ^{−2 0}⁵1 ⁴4

)

⁼

(

^1,5^0,5⁰ ^−0,625−0,125^0,25 ^−0,5−0,5⁰

)

^.

.

det(D)=−6; D⁻¹=−1

6×

(

⁻⁴²⁰ ⁻⁷⁻³⁵ ⁻⁹⁹³

)

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