CorrectionTD 7 Semestre 2-2015/2016

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Révisions

Exercices suggérés

➢ Exercice 7-1

Une firme produit et vend deux biens. En vendant x tonnes du premier bien, elle reçoit un prix par tonne calculé selon l'expression p=96-4x. En vendant y tonnes de l'autre bien, le prix par tonne de l'autre bien est donné par r=84-2y. Les coûts totaux de production et vente de x tonnes du premier bien et y tonnes du deuxième bien sont donnés par C(x,y)=2x²+2xy+y².

1. Montrer que la fonction profit de la firme est P(x,y)=-6x²-3y²-2xy+96x+84y.

Déterminer les points stationnaires puis les extrema (s'il en existe) de ce profit.

P(x,y)=x(96-4x)+y(84-2y)-( 2x²+2xy+y²)=-6x²-3y²-2xy+96x+84y.

Point stationnaire : (6,12). det(H(P))=68>0 et trH(P))=-18<0 donc le profit est maximum pour 6 tonnes du premier bien et 12 tonnes du second. Le profit vaut alors 792.

2. L'activité de la firme est tellement polluante que les autorités lui limitent sa production à 11 tonnes en tout. Chercher à nouveau les extrema du profit sous la contrainte d'une production totale égale à 11.

On doit donc chercher les estrema de P(x,y)=-6x²-3y²-2xy+96x+84y sous la contrainte x+y=11.

On trouve que P admet un maximum pour x=4 et y=7. Le profit est alors de 673.

➢ Exercice 7-2 modèle de Léontief (Wassily Léontief 1905-1999) Exercice extrait du site académie en ligne

Le modèle de Léontief est un modèle linéaire de production assez particulier.

Considérons un pays virtuel, sans échange extérieur, où l’économie très simplifiée se compose de n secteurs (on prendra en général n ≤ 4). Chaque secteur consomme des productions des autres secteurs et, éventuellement, une partie de sa propre production : ce sont les consommations intermédiaires. Le reste correspond à la consommation finale (ou demande).

On a donc production=consommations intermédiaires+demande.

Un tel modèle est dit fermé car, sans échange extérieur, il satisfait à ses propres besoins.

Un tel modèle n’est cependant pas très fréquent.

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Si l'on a un pays avec 2 secteurs S1 et S2 avec les données suivantes : S1 S2 Consommations intermédiaires S1 c11 c12 c11+c12

S2 c21 C22 c21+c22

cela signifie que pour le bien S1, il faut c11 de S1 et c12 de S2.

Notons x la production de S1 et y celle de S2.

L'utilisation des matrices permet de trouver simplement la production ou la demande, selon ce qui connu au départ.

On doit construire la matrice technologique :

A=





Dans l'exercice, l'économie d'un pays se décompose en trois secteurs : l'acier, l'électricité et la fabrication automobile. Les productions, consommations intermédiaires et demandes sont exprimées en unité monétaire (UM).

On donne les consommations intermédiaires et productions suivantes : acier électricité Fabrication

automobiles Total

acier 400 400 600

électricité 100 200 200

Fabrication

automobiles 100 200 100

Production

acier 5 000

électricité 1 600

Fabrication automobiles 800

1. a. Calculer les consommations intermédiaires totales et les demandes de chaque produit.

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acier électric

ité Fabrication

automobiles Consommati tionintermé

diaire

demandes

acier 400 400 600 1400 3600

électricité 100 200 200 500 1100

Fabrication

automobiles 100 200 100 400 400

b. Construire A la matrice technologique.

A=

(

)

⁽

)

On appelle X la matrice colonne des productions,

X=

(

)

C la matrice colonne des consommations intermédiaires totales

C=

(

)

et D la matrice des demandes.

D=

(

)

Calculer AX. Conclusion? ^AX=

(

)

Calculer C+D. Conclusion? ^C+D=

(

)

AX+D=X soit (A-I3)X=D

c. Montrer que I3-A est inversible où I3 est la matrice unité d'ordre 3. Calculer (I3-A)^-1 de plusieurs façons.

I₃−A=

(

)

(I₃−A)⁻¹= 1

0,655

(

)

Ainsi, X= (I3-A)^-1 D

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2. A partir de cette question, les productions ne sont pas connues. On note ^X=





Les résultats seront arrondis à 0,01 près.

Calculer les productions nécessaires pour satisfaire les nouvelles demandes dans les deux cas suivants :

a. Les demandes dans les trois secteurs augmentent de 100 UM.

On a donc _{D '=}

(

)

(

)

b. La demande d’acier augmente de 10 % alors que les deux autres demandes augmentent de 5 %.

On a donc _{D ' '=}

(

)

(

)

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