Terminale S / Exponentielles

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1. Relations différentielles :

Exercice 3340

Soitf une fonction définie surRvérifiant la relation : f^′(x) =x pour toutx∈R

1. Donner au moins deux fonctions qui vérifie cette relation.

2. On propose le champs de tangentes représenté ci- dessous :

-4 -3 -2 -1 I 2 3 4

2 3 4 5

J

O

a. Vérifier que chaque tangente représentée sur la droite d’équationx= 2a pour coefficient directeur2.

b. Vérifier que pour chaque tangente ayant pour origine le point de coordonnée(x;y), son coefficient directeur estx.

3. On considère maintenant la fonctionf qui vérifie les deux conditions suivantes :

f(0) =3

2 ; f^′(x) =x pour toutx∈R Tracer la courbeCf représentative de la fonctionf. Exercice 3580

On considère deux fonctions g et hdont les représentations graphiques sont données ci-dessous :

-4 -2 0 2 4

2 4 6

~i

~j

C_g

-6 -4 -2 0 2

2 4 6

~i

~j Ch

Justifier que, dans les deux cas, ces courbes ne vérifient pas les conditions d’une fonction f telle que :

f(0) = 1 ; f^′(x) =f(x) pour toutx∈R Exercice 3342

Le nombre d’atomes d’une source radioactive a tendance à diminuer dans le temps. On note N(t) le nombre de noyau à l’instant t. En observant ce phénomène sur variation de temps, ∆t, on se rend compte que le nombre d’atomes a connu une variation de ∆N(t) et on a réussi à établir la formule suivante :

∆N(t)

N(t) =−λ·∆t

où λ est une constante dépendant uniquement de la nature des noyaux observées.

1. a. La durée de demi-vie du Radon-220 est de56s. Dé- terminer une valeur approchée de la constanteλdans le cas du Radon-220.

b. On part d’un échantillon contenant 238g contenant environ6,02×10²³ noyau d’uranium.

Déterminer le temps à attendre pour que la quantité observée pèse :

119g ; 59g

2. a. Etablir l’égalité suivante :

∆N(t)

∆t =−λ·N(t)

b. En supposant que la fonctionN, dépendant du temps t, est dérivable, établir la formule suivante :

N^′(t) =−λ·N(t)

2. Propriétés algébriques :

Exercice 3589

Simplifier les expressions suivantes :

a. exp(3)·exp(5) b. exp(−2)·exp(4)

c. 1

exp(−5) d. [

exp(5)]3

Exercice 3590

Simplifier les expressions suivantes :

a. e³·e⁴ b. e⁴·e⁻⁴

c. ( e⁴)3

·e⁴ d. e⁵·e⁻³ e⁻² e. (

e⁵−e⁴)2

−(

e⁵+e⁴)2

f. e⁶−e³ e·e² Exercice 3608

Simplifier les expressions suivantes : a. e⁵·e⁶ b. e⁶·e⁻²

e⁻⁴ c. (

e³)₋2

·e⁵ d. (

e²+e⁻²)

·(

e²−e⁻²)

3. Equations et inéquations :

Exercice 3593

Résoudre les équations suivantes surR: a. exp(x) =e b. exp(−x) = 1 c. exp(2x−1) =e d. e^x2+x= 1 e. e^x−e^−x= 0 f. e^x2+5=(

e^x+2)2

Exercice 3616

Résoudre les équations suivantes :

a. e^x+e^−x= 0 b. e^3x+1=e^−2x+3 c. e^2x−1 = 0 d. x·e^2x−2·e^2x= 0 Exercice 3594

Résoudre les inéquations suivantes surR: a. exp(x)< e b. exp(−x)⩾1 c. e^2x−1> e^x d. e^x+e^−x<2

(Pour la dernière inéquation, pensez à une factorisation)

4. Equations et inéquations avec changement de variables :

Exercice 5845

Résoudre les inéquations suivantes : a. e^x+ 3

e^x−1 >0 b. −e^2x−e^x+ 2>0

Exercice 5846

a. e^2x+ 2·e^x−3 = 0 b. e^2x+e^x−2<0

5. Limites aux bornes de la fonction exponentielle :

Exercice 3614

Déterminer les valeurs des limites suivantes : a. lim

x7→+∞e^−x+1 b. lim

x7→−∞e^2x+1 c. lim

x7→+∞e^−x2+1 d. lim

x7→+∞e

1

x e. lim

x7→0⁻e

1

x f. lim

x7→0⁻e⁻

1 x

Exercice 5847

On s’intéresse à l’évolution de la hauteur d’un plant de maïs en fonction du temps. Le graphique ci-dessous représente cette évolution. La hauteur est en mètres et le temps en jours.

tempst (en jours) 0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200 220

hauteur(en m`etres)

0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2

On décide de modéliser cette croissante par une fonction lo- gistique du type :

h(t) = a 1 +b·e^−0,04·t

oùaetbsont des constantes réelles positives,test la variable temps exprimée en jours eth(t)désigne la hauteur du plant, exprimée en mètres.

On sait qu’initialement, pourt= 0, le plant mesure 0,1m et que sa hauteur tend vers une hauteur limite de2m.

Déterminer les constantesaetbafin que la fonctionhcorres- ponde à la croissance du plant de maïs étudié.

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6. Limites par comparaison de croissance :

Exercice 3661

Déterminer la valeur des limites suivantes : a. lim

x7→+∞e^x2·e^−x b. lim

x7→−∞e^x·(

x²−x+ 1)

c. lim

x7→+∞

e^x+ 1

e^−x−1 d. lim

x7→−∞

e^−3x x²+ 1 e. lim

x7→−∞e^−x+ 3x+ 1 f. lim

x7→−∞e^−2x−e^−x Exercice 3710

Le but de cet exercice est de déterminer les deux limites sui- vantes :

lim

x7→1⁻

2 (x−1)² ·e

x+1

x−1 ; lim

x7→1⁺

2 (x−1)²·e

x+1 x−1

1. Soit X= 2

x−1. Prouver l’égalité : 2

(x−1)²·e

x+1 x−1 = e

2 ·X²·e^X

2. En déduire la valeur des limites recherchées.

7. Limites par identification aux nombres dérivées :

Exercice 3662

Déterminer la valeur des limites suivantes :

a. lim

x7→0

e^2x−1

x b. lim

x7→0

e^2x−e^x x c. lim

x7→+∞x·( e^x1 −1)

d. lim

x7→+∞x·( e^x3 −1) e. lim

x7→−∞x³·(

e^1x −1)

8. Dérivées :

Exercice 3592

Déterminer l’expression des fonctions dérivées suivantes : a. f(x) =e^−x b. g(x) =x·e^x

c. h(x) =e^x2+x d. j(x) = 1 1−e^x Exercice 3612

Déterminer l’expression des fonctions dérivées de chacune des fonctions suivantes :

a. f(x) =x·e^x+1 b. g(x) =e^x2+1 c. h(x) =(

x²+ 1)

·e^3x+1 d. j(x) = e^x+1 2·x+ 1 e. k(x) = 1−e^−2x

e^x f. ℓ(x) = 1−e^−2x 1 +e^2x

9. Etudes de fonctions :

Exercice 3618

On considère la fonctionf définie par la relation : f(x) = 1

e^x−1

On appelleCf la courbe représentative de la fonctionf. 1. Déterminer l’ensemble de définition de la fonctionf. 2. Etablir le tableau de variation de la fonctionf. 3. Préciser les différentes asymptotes de la courbeCf. 4. Tracer la courbeCf.

-3-2-10123

-4 -3 -2 -1 1 2 3 4

~i ~j

Exercice 3665

On considère la fonction f définie pour tout nombre réel x par :

f(x) = 4·e^x e^x+ 7

On noteC la courbe représentative de la fonction f. 1. Vérifier que pour tout réelx: f(x) = 4

1 + 7e^−x 2. a. Démontrer que la courbeC admet deux asymptôtes

dont on précisera les équations.

b. Démontrer que la fonctionf est strictement croissante surR.

c. Démontrer que pour tout réelx,0<f(x)<4.

Exercice 5851

Soitf la fonction définie pour tout réelxde l’intervalle[ 0 ; 1] par :

f(x) = 2x−2e^−x+1 e

1. a. Dresser le tableau de variation de la fonctionf sur l’intervalle[

0 ; 1]

. On précisera les valeurs exactes de f(0)etf(1).

b. Démontrer que la fonction f s’annule une fois et une seule sur l’intervalle [

0 ; 1]

en un réel α. Donner la valeur deαarrondie au centième.

2. Résoudre l’équation suivante dans l’intervalle [ 0 ; 1]

: x−e^−x+ 1 =e^−x−x−e⁻¹+ 1

Exercice 3677

Soitf la fonction définie surRpar : f(x) =9

2·e^−2x−3·e^−3x On nommeCf la courbe représentative de f dans un repère orthonormal(

O;−→ i ;−→

j)

d’unité1cm.

1. Montrer que pour toutxdeR, on a : f(x) = 3·e^−2x·(3

2 −e^−x )

.

2. Déterminer la limite de f en+∞puis la limite de f en

−∞.

3. Etudier les variations de la fonction f et dresser le ta- bleau de variations def.

4. a. Déterminer les coordonnées du point d’intersection de la courbeCf avec l’axe des ordonnées.

b. Justifier que la courbeCfintercepte l’axe des abscisses en un seul point.

Donner la valeur approchée des coordonnées de ce point d’intersection.

5. Calculer f(1) et tracer l’allure de la courbeCf dans le repère ci-dessous :

-1 I 2 3

-1 2

J

O

Exercice 3643

On notef la fonction définie sur l’intervalle]

0 ; +∞[ par : f(x) = 1

x² ·e^x1

On noteC la courbe représentative de la fonctionf dans un repère orthonormal(

O;−→ i ;−→

j)

. L’unité graphique est1cm.

1. Etude des limites

a. Déterminer la limite de la fonction f quand x tend vers0.

b. Déterminer la limite de la fonction f quand x tend vers+∞.

c. Quelles conséquences peut-on déduire de ces deux ré- sultats, pour la courbeC?

2. Etude des variations de la fonction f.

a. Démontrer que, la fonction dérivée de la fonction f s’exprime, pour tout réelxstrictement positif, par :

f^′(x) =−1

x⁴·e^x1·(2x+ 1)

b. Déterminer le signe de f^′ et en déduire le tableau de variation def sur l’intervalle ]

0 ; +∞[ .

c. Démontrer que l’équation f(x) = 2 a une unique so- lution notée α appartenant à l’intervalle ]

0 ; +∞[ et donner la valeur approchée deαarrondie au centième.

3. Tracer la courbe C dans le repère orthonormal (O;−→

i ;−→ j)

.

2 3 4 5 6 7

I 2

3 4 5 6 7

J

O

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10. Problèmes et études de fonctions :

Exercice 5990

Soit les fonctionsf etgdéfinies sur Rpar les relations :

f(x) = e^1+x+e^1−x 2 g(x) =e^1+x−e^1−x

2

Dans un repère orthonormal (O;I;J)

, on donne les courbes C et C^′ respectivement représen- tative des fonctionsf etg : Partie A : étude de la position relative des deux courbes

1. Démontrer que la courbeC se situe toujours au dessus de la courbeC^′.

I J O C

C′

M

Partie B : étude d’un lieu géométrique Soitaun nombre réel quelconque. On considère :

la tangente(T)à la courbeC au point d’abscissea; la tangente(T^′)à la courbeC^′ au point d’abscissea; On admet que les droites(T)et(T^′)ne sont jamais parallèles.

On noteM leur point d’intersections.

2. a. Donner l’expression de l’équation réduite de la tan- gente(T)en fonction dea.

b. Donner l’expression de l’équation réduite de la tan- gente(T^′)en fonction dea.

3. Déterminer l’abscisse du point du pointM. 4. a. Déterminer les coordonnées duM.

b. Justifier que le pointM appartient à la courbe d’une des fonctions de références qu’on précisera.

11. Etude de fonctions avec dérivée seconde ou sous-fonction :

Exercice 5235

Soitgla fonction définie sur[

0 ; +∞[ par : g(x) =x·(

e^x−e) +e−2

1. Soitg^′ la fonction dérivée de la fonctiong. Calculerg^′(x) pour tout réelxde[

0 ; +∞[ .

Vérifier que la fonction dérivée secondeg^′′est définie sur [0 +∞[

par :

g^′′(x) = (2 +x)e^x

2. En déduire les variations de la fonctiong^′ sur[

0 ; +∞[ . 3. Etablir que l’équation g^′(x) = 0 admet une solution

uniqueαdans l’intervalle[

0 ; +∞[ .

Déterminer une valeur approchée deαà10⁻¹ près.

4. En déduire les variations de la fonctiong sur[

0 ; +∞[ .

12. Etudes de famille de fonctions :

Exercice 5848

Etant donné un nombre réel k, on considère la fonction fk

définie surRpar : fk(x) = 1

1 +e^−k·x

Le plan est muni d’un repère orthonormé( O;−→

i ;−→ j)

. Partie A

Dans cette partie, on choisitk= 1. On a , pour tout réelx: f₁(x) = 1

1 +e^−x

La représentation graphiqueC1 de la fonctionf₁ dans le re- père(

O;−→ i ;−→

j)

est donnée ci-dessous :

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

-1 1 2

~i

~j

C₁

1. Déterminer les limites de f₁(x)en +∞ et −∞et inter- préter graphiquement les résultats obtenus.

2. Démontrer que, pour tout réelx: f₁(x) = e^x 1+e^x. 3. On appelle f₁^′ la fonction dérivée de f₁ sur R. Calculer,

pour tout réelx,f₁^′(x).

En déduire les variations de la fonctionf₁ surR. Partie B

Dans cette partie, on choisit k=−1 et on souhaite tracer la courbeC₋1 représentant la fonctionf₋1.

Pour tout réel x, on appelle P le point de C1d’abscisse xet M le point deC₋1 d’abscissex.

On noteK milieu du segment[M P].

1. Montrer que, pour tout réelx: f1(x) +f₋1(x) = 1.

2. En déduire que le pointKappartient à la droite d’équa- tiony=1

2.

3. Tracer la courbeC−1 sur le repère ci-dessous.

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255. Exercices non-classés :

Exercice 5856 Partie A

On considère la famille de fonctions ( f_k)

définie pourk∈N par : f_k(x) = (x+k)·e^x+x

On note Ck la courbe représentative de la fonction fk dans une repère orthonormé.

Quelle fonction de la famille( fk

)admet la droite(d)d’équa- tiony=x−e⁻² comme tangente au point d’abscisse−2.

Partie B

1. On considère la fonctiong définie par : g(x) = (x+ 1)·e^x+e⁻².

a. Déterminer l’expression de la fonctiong^′. b. Dresser le tableau de variation de la fonctiong.

2. Déduire des questions précédentes la position relative de la courbeC1 et de la droite(d).

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