Soit λ(x) une valeur propre de H(x) non d´ eg´ en´ er´ ee, sauf en un point x 0 ∈ R m de l’espace des param` etres, o` u elle est doublement d´ eg´ en´ er´ ee.

Texte intégral

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Assistant: joseph.saliba@epfl.ch S´ erie 7 08/04/2013

Cours de Physique Math´ ematique EPFL, Lausanne

Exercice 1

Soit H(x) une matrice N × N r´ eelle (c’est-` a-dire H ij (x) ∈ R , 1 ≤ i, j ≤ N ), sym´ etrique (c’est-` a-dire H ij (x) = H ji (x), 1 ≤ i, j ≤ N ), d´ ependant continˆ ument de m param` etres r´ eels (c’est-` a-dire x ∈ R m ).

Soit λ(x) une valeur propre de H(x) non d´ eg´ en´ er´ ee, sauf en un point x 0 ∈ R m de l’espace des param` etres, o` u elle est doublement d´ eg´ en´ er´ ee.

1. Montrer qu’il faut au moins deux param` etres (c’est-` a-dire m > 2) pour observer de mani` ere g´ en´ erique l’existence d’un tel point x 0 .

Pour le montrer, proc´ eder par ´ etapes:

(a) Se restreindre au sous-espace E 2 de dimension 2 form´ e du sous-espace propre de la valeur propre λ(x) et du sous-espace propre de la valeur propre δ(x) qu’elle va croiser en x 0 . Montrer qu’on peut ´ ecrire la restriction de la matrice H(x) ` a ce sous-espace E 2 sous la forme

H(x)| E

2

=

a(x) b(x) b(x) c(x)

(1) (b) Calculer les valeurs propres λ(x) et δ(x) de H(x)| E

2

, (c) Etablir les ´ equations pour x 0 .

Le sous-espace propre E(x) associ´ e ` a la valeur propre λ(x) peut ˆ etre caract´ eris´ e par un projecteur P (x) sur un sous-espace ` a une dimension, sauf en x = x 0 , o` u on obtient un projecteur sur un sous-espace ` a deux dimensions.

Ce projecteur P (x) peut ˆ etre d´ ecrit par le vecteur propre (normalis´ e) ~ e(x) de la valeur propre λ(x). Ses ´ el´ ements de matrice s’´ ecrivent P ij (x) = e i (x)e j (x), 1 ≤ i, j ≤ N et donc P est un ´ el´ ement de l’espace projectif RP N−1 .

On obtient donc un champ P : R m \{x 0 } −→ RP N −1 , avec une singularit´ e (c’est-` a-dire un d´ efaut) en x = x 0 , singularit´ e qui peut ˆ etre observ´ ee en ´ etudiant P (x) proche de x 0 .

2. Consid´ erer dans le cas m = 2, N = 3 la matrice H(x) =

1 0 0

0 B 3 (x) B 1 (x) 0 B 1 (x) −B 3 (x)

 (2)

avec les fonctions

B 1 (x) = r sin θ

B 3 (x) = r cos θ (en coordonn´ ees polaires pour x).

Lorsqu’on parcourt l’espace des param` etres de θ = 0 ` a θ = 2π (avec r > 0 constant), on effectue une boucle entourant x 0 = 0. Calculer les vecteurs propres ~ e(r, θ).

Calculer en particulier ~ e(r, θ = 0) et ~ e(r, θ = 2π).

1

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3. Etudier le comportement des vecteurs propres autour d’une boucle entourant le point de l’espace des param` etres x 1 = (1, 0) dans les cas: a) boucle de rayon > 1 (qui contient le d´ efaut); b) boucle de rayon < 1 (qui ne contient pas le d´ efaut).

4. Interpr´ eter ce r´ esultat ` a l’aide du groupe fondamental de RP 2 .

2

Figure

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Références

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