Assistant: joseph.saliba@epfl.ch S´ erie 7 08/04/2013
Cours de Physique Math´ ematique EPFL, Lausanne
Exercice 1
Soit H(x) une matrice N × N r´ eelle (c’est-` a-dire H ij (x) ∈ R , 1 ≤ i, j ≤ N ), sym´ etrique (c’est-` a-dire H ij (x) = H ji (x), 1 ≤ i, j ≤ N ), d´ ependant continˆ ument de m param` etres r´ eels (c’est-` a-dire x ∈ R m ).
Soit λ(x) une valeur propre de H(x) non d´ eg´ en´ er´ ee, sauf en un point x 0 ∈ R m de l’espace des param` etres, o` u elle est doublement d´ eg´ en´ er´ ee.
1. Montrer qu’il faut au moins deux param` etres (c’est-` a-dire m > 2) pour observer de mani` ere g´ en´ erique l’existence d’un tel point x 0 .
Pour le montrer, proc´ eder par ´ etapes:
(a) Se restreindre au sous-espace E 2 de dimension 2 form´ e du sous-espace propre de la valeur propre λ(x) et du sous-espace propre de la valeur propre δ(x) qu’elle va croiser en x 0 . Montrer qu’on peut ´ ecrire la restriction de la matrice H(x) ` a ce sous-espace E 2 sous la forme
H(x)| E
2
=
a(x) b(x) b(x) c(x)
(1) (b) Calculer les valeurs propres λ(x) et δ(x) de H(x)| E
2