Première – spécialité mathématiques – 2020 / 2021 A
5– cours
1) Variations des fonctions
Principe
• ƒ est croissante « autour » de x 1 donc la tangente en x 1 à B ƒ est croissante et son coefficient directeur ƒ’(x 1 ) est positif.
• ƒ est décroissante « autour » de x 2 donc la tangente en x 2 à B ƒ est décroissante et son coefficient directeur ƒ’(x 2 ) est négatif.
Théorème fondamental
Soit ƒ une fonction dérivable sur un intervalle I.
• ƒ est croissante sur I si et seulement si ƒ’ est positive sur I
• ƒ est décroissante sur I si et seulement si ƒ’ est négative sur I
• ƒ est constante sur I si et seulement si ƒ’ est nulle sur I
Ainsi :
Les variations d'une fonction dépendent du signe de sa dérivée.
Exemple 1
Si ƒ(x) = x 2 sur R , alors ƒ’(x) = 2x.
Donc ƒ’(x) Â 0 sur ]− o ; 0] : on retrouve le fait que ƒ est décroissante sur ]− o ; 0] ; de même ƒ’(x) Ã 0 sur [0 ; + o [ : on retrouve le fait que ƒ est croissante sur [0 ; + o [.
On résume le lien entre le signe de ƒ’ et les variations de ƒ dans le tableau complet des variations de ƒ qui fait apparaître une nouvelle ligne : celle du signe de la dérivée ƒ’(x).
x − o 0 + o ƒ’(x) − 0 +
ƒ(x)
0
B
ƒx
1x
2Exemple 2
On considère un trinôme du second degré f (x ) = 2x
2− 8 x + 3.
f'( x ) = 4x − 8 s'annule en x = 2 (car 4x − 8 = 0 ñ 4x = 8 ñ x = 8 4 = 2) x − o 2 + o ƒ’(x) − 0 +
ƒ(x)
- 5
où f (2) = 2 × 2
2− 8 × 2 + 3 = - 5.
Exemple 3
On considère le polynôme de degré 3 : f( x) = x
3− 3 x
2− 9x + 7.
f'( x ) = 3x
2− 3 × 2 x − 9 = 3 x
2− 6x − 9 est un trinôme du second degré.
Etudions son signe.
∆ = b
2− 4 ac = ( - 6)
2− 4 × 3 × ( - 9) = 144 > 0 donc il y a deux racines : x
1= - b − ∆
2 a = - ( - 6) − 144
2 × 6 = - 1 et x
2= - b + ∆
2 a = - ( - 6) + 144 2 × 3 = 3.
De plus a = 3 > 0 donc la parabole du trinôme 3 x
2− 6 x − 9 a les branches vers le haut et ainsi :
x − o - 1 3 + o ƒ’(x) + 0 − 0 +
ƒ(x)
12 - 20
où f ( - 1) = ( - 1)
3− 3 × ( - 1)
2− 9 × ( - 1) + 7 = 12 et f(3) = 3
3− 3 × 3
2− 9 × 3 + 7 = - 20.
Bilan
Pour étudier une fonction f on suit donc le protocole suivant : 1) On dérive f (on calcule f '( x))
2) On étudie le signe de f '( x) (la méthode dépend de la nature de f '(x ))
3) On dresse le tableau de variations de f en appliquant le théorème fondamental
Exemple 4
Soit ƒ définie par ƒ(x) = x + 1
x sur ] − o ; 0[ U ]0 ; + o [.
0 est une valeur interdite car l'image de 0 par f n'existe pas .
ƒ’(x) = x − x
21 = x x
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