• ƒ est croissante « autour » de x 1 donc la tangente en x 1 à B ƒ est croissante et son coefficient directeur ƒ’(x 1 ) est positif.

Première – spécialité mathématiques – 2020 / 2021 A

– cours

1) Variations des fonctions

Principe

• ƒ est croissante « autour » de x ₁ donc la tangente en x ₁ à B _ƒ est croissante et son coefficient directeur ƒ’(x ₁ ) est positif.

• ƒ est décroissante « autour » de x 2 donc la tangente en x 2 à B _ƒ est décroissante et son coefficient directeur ƒ’(x 2 ) est négatif.

Théorème fondamental

Soit ƒ une fonction dérivable sur un intervalle I.

• ƒ est croissante sur I si et seulement si ƒ’ est positive sur I

• ƒ est décroissante sur I si et seulement si ƒ’ est négative sur I

• ƒ est constante sur I si et seulement si ƒ’ est nulle sur I

Ainsi :

Les variations d'une fonction dépendent du signe de sa dérivée.

Exemple 1

Si ƒ(x) = x ² sur R , alors ƒ’(x) = 2x.

Donc ƒ’(x) Â 0 sur ]− o ; 0] : on retrouve le fait que ƒ est décroissante sur ]− o ; 0] ; de même ƒ’(x) Ã 0 sur [0 ; + o [ : on retrouve le fait que ƒ est croissante sur [0 ; + o [.

On résume le lien entre le signe de ƒ’ et les variations de ƒ dans le tableau complet des variations de ƒ qui fait apparaître une nouvelle ligne : celle du signe de la dérivée ƒ’(x).

x − o 0 + o ƒ’(x) − 0 +

ƒ(x)

0

B

x

x

Exemple 2

On considère un trinôme du second degré f (x ) = 2x

− 8 x + 3.

f'( x ) = 4x − 8 s'annule en x = 2 (car 4x − 8 = 0 ñ 4x = 8 ñ x = 8 4 = 2) x − o 2 + o ƒ’(x) − 0 +

ƒ(x)

- 5

où f (2) = 2 × 2

− 8 × 2 + 3 = - 5.

Exemple 3

On considère le polynôme de degré 3 : f( x) = x

− 3 x

− 9x + 7.

f'( x ) = 3x

− 3 × 2 x − 9 = 3 x

− 6x − 9 est un trinôme du second degré.

Etudions son signe.

∆ = b

− 4 ac = ( - 6)

− 4 × 3 × ( - 9) = 144 > 0 donc il y a deux racines : x

= - b − ∆

2 a = - ( - 6) − 144

2 × 6 = - 1 et x

= - b + ∆

2 a = - ( - 6) + 144 2 × 3 = 3.

De plus a = 3 > 0 donc la parabole du trinôme 3 x

− 6 x − 9 a les branches vers le haut et ainsi :

x − o - 1 3 + o ƒ’(x) + 0 − 0 +

ƒ(x)

12 - 20

où f ( - 1) = ( - 1)

− 3 × ( - 1)

− 9 × ( - 1) + 7 = 12 et f(3) = 3

− 3 × 3

− 9 × 3 + 7 = - 20.

Bilan

Pour étudier une fonction f on suit donc le protocole suivant : 1) On dérive f (on calcule f '( x))

2) On étudie le signe de f '( x) (la méthode dépend de la nature de f '(x ))

3) On dresse le tableau de variations de f en appliquant le théorème fondamental

Exemple 4

Soit ƒ définie par ƒ(x) = x + 1

x sur ] − o ; 0[ U ]0 ; + o [.

0 est une valeur interdite car l'image de 0 par f n'existe pas .

ƒ’(x) = x − x

1 = x x

2 2

− 1

.

On étudie séparément les signes de x

− 1 (trinôme de racines - 1 et 1) et de x

(qui est toujours positif et s'annule en x = 0) et on se sert d'un tableau généralisé pour étudier le signe de ƒ’(x) puis en déduire les variations de ƒ :

x − o −1 0 1 + o x ² − 1 + 0 − − 0 +

x ² + + + + ƒ’(x) + 0 − - 0 +

ƒ(x)

−2

2

Avec f (1) = 1 + 1

1 = 1 + 1 = 2 et f( - 1) = - 1 + 1

- 1 = - 1 − 1 = - 2.

2) Extrema locaux

Rappel

On dit qu’une fonction ƒ admet un

• maximum local en a si dans un intervalle I contenant a, pour tout x de I, ƒ(x) Â ƒ(a)

• minimum local en a si dans un intervalle I contenant a, pour tout x de I, ƒ(x) Ã ƒ(a) Par exemple sur le schéma ci-dessous, la fonction ƒ admet un minimum local en x 1 et en x 3 , et admet un maximum local en x 2 et en x 4 . Il ne faut pas confondre avec LE minimum de ƒ (qui serait atteint en x 1 ) et LE maximum de ƒ qui serait atteint en x 4 .

B

x

x

x

x

Remarque

Si ƒ admet un extremum local en a, dans un intervalle ouvert I, alors ƒ change de variations de a.

Théorème (admis)

Soit ƒ dérivable sur un intervalle I ouvert.

Soit a ∈ I.

Si ƒ admet un extremum local en a, alors ƒ’(a) = 0.

En effet en un extremum local, la tangente est horizontale et son coefficient directeur est donc nul.

Ici, par exemple, ƒ’(2) = ƒ’(5) = 0.

Exemple

Soit ƒ définie sur R par ƒ(x ) = 3

4 x ⁴ − 2x ³ + 5 4 . ƒ’(x) = 3x ³ − 6x ² = 3x ² (x − 2).

On en déduit le tableau de variation de ƒ :

x − o 0 2 + o 3x ² + 0 + +

x − 2 − − 0 + ƒ’(x) − 0 − 0 +

ƒ(x)

5 4

− 11 4

2 5

B

• ƒ’(x ) s’annule en 0 mais sans changer de signe : le point A(0 ; 5

4 ) est un point d’inflexion ; la tangente y est horizontale mais la fonction ƒ est décroissante avant et après 0, donc la courbe franchit la tangente en A.

• ƒ’(x) s’annule en 2 et change de signe, donc ƒ change de variations en x = 2. La tangente au point B(2 ; − 11

4 ) est elle aussi horizontale mais la courbe B de ƒ « rebondit » dessus et ne la franchit pas. ƒ admet donc en x = 2 un extremum local (en l’occurrence un minimum local).

B

•

• A

B