T STG- lycée Bertran de Born Résumé n˚6 : Fonctions et variations 2012-2013
I Dériver une fonction : formules à connaître par coeur !
kest un nombre réel quelconque. f,uet vsont des fonctions que l’on peut dériver sur un intervalle.
Pour les 2 dernières formules,aest un nombre réel non nul, etbest un nombre réel quelconque.
fonction fonction dérivée
k 0
x 1
kx k
x2 2x
x3 3x2
xn nxn−1
√x 1
2√ x
lnx 1
x
ex ex
fonction fonction dérivée u(x) +v(x) u(x) +v(x)
ku(x) ku′(x)
u(x)×v(x) u′(x)v(x) +u(x)v′(x) u(x)
v(x)
u′(x)v(x)−u(x)v′(x) v(x)2
1
u(x) −u′(x)
u(x)2
ln(ax+b) a
ax+b eax+b aeax+b
II Première utilisation de f
′(x) : coefficient directeur de la tangente
f est une fonction, représentée par une courbeCf.Aest un point de la courbe d’abscissexA.
→f′(xA) est lecoefficient directeur de la tangente à la courbeCf au pointA.
(remarque : le coefficient directeur = la pente)
→f′(xA)s’appellele nombre dérivé de f en xA.
→ Savoir lire graphiquement les nombres dérivés
-3 -2 -1 0 1 2 3 4
b
O 1
1 T1
b
T3 b
T2
b Cf
Ci-contre, on peut trouver les nombres dérivés par lecture graphique : f′(...) = ( la pente deT1 est ...
... =
f′(...) = ( la pente deT2 est ...
... =
f′(...) = ( la pente deT3 est nulle carT3est horizontale
→ Savoir déterminer l’équation de la tangente à une courbe au pointA d’abscisse xA :
• L’équation de la tangente esty =ax+b (1).
• Calcul de a= la pente =f′(xA). Calculerf′(x), puisf′(xA), puis remplaceradans l’équation (1).
• Calcul de b : La tangente passe par le point A(xA, yA) (avecyA = f(xA)). Donc les coordonnées du pointA vérifient l’équation de la tangente : on remplace, dans l’équation (1), x et y par les coordonnées du point Aet on trouve la valeur deb.
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III Seconde utilisation de f
′(x) : prévoir les variations d’une fonction f .
Propriété fondamentale: Soitf une fonction qui admet une fonction dérivée sur un intervalle ]a;b[ :
• f′(x)>0 sur ]a;b[ si et seulement sif est strictement croissante sur ]a;b[.
• f′(x)<0 sur ]a;b[ si et seulement sif est strictement décroissante sur ]a;b[.
Autrement dit :Le signe de la fonction dérivée f′ indique le sens de variation de la fonctionf. Exemple
Le bénéfice, exprimé en milliers d’euros, pour produire x tonnes d’un certain produit, est modélisé par la fonction f définie sur l’intervalle [0 ; 12] parf(x) = 0,5x2−13x−60 + 55 ln(x+ 3).
1. Vérifier que f′(x) = (x−2)(x−8) (x+ 3) . D’une partf′(x) = 0,5×2x−13 + 55× 1
x+ 3=x−13 + 55 x+ 3
= (x−13)(x+ 3) x+ 3 + 55
x+ 3= (x−13)(x+ 3) + 55
x+ 3 =x2+ 3x−13x−39 + 55
x+ 3 =x2−10x+ 16 x+ 3 . D’autre part(x−2)(x−8) =x2−2x−8x+ 16 = x2−10x+ 16.
Donc on a bienf′(x) =(x−2)(x−8) (x+ 3) .
2. Étudier le signe def′(x)dans l’intervalle [0 ; 12] ; en déduire les variations def dans l’intervalle [0 ; 12].
Le signe de la fonctionf′donnera les variations de la fonctionf.f′(x)est constituée de produits et de quotients, on peut faire un tableau de signes :
• x−2: typeax+baveca= 1>0donc le+est à droite du zéro.
• même chose pourx−8etx+ 3.
• on cherche les "zéros" :x−2 = 0⇔x= 2 x−8 = 0⇔ x= 8 x+ 3 = 0⇔ x=−3 (−3∈/[0 ; 12])
x x − 2 x − 8 x + 3
Signe def′(x) = (x−2)(x−8) (x+ 3)
Variations def
0 2 8 12
− 0 + +
− − 0 +
+ + +
+ 0 − 0 +
f(0)≈0.42 f(0)≈0.42
f(2)≈4.52 f(2)≈4.52
f(8)≈ −0.12 f(8)≈ −0.12
f(12)≈4.9 f(12)≈4.9
Remarque 1 :x−3étant toujoursstrictement positif sur[0; 12], la dérivée a le même signe que son numérateur, et on n’est pas obligé de mettre la ligne du signe dex+ 3dans le tableau, car elle ne change rien !
Remarque 2 :Les valeurs approchées aux extrémités des fleches se calculent en programmant la fonction f dans la table de la calculatrice.
IV Extremum local d’une fonction f .
PB DE DEFINITION ? ? ? Une fonction f a un maximum ou un minimum local en x0 si la fonction dérivée s’annule et change de signe enx0.
Exemple
Dans l’exemple précédent... un maximum local de ...ne .... et un maximum
