DM n°5 : Etudes de fonctions et fonction ln

Nom :

Groupe : TMATHS2

Devoir maison n°5 Etude de fonctions et fonction

à préparer pour le : 29 / 01 / 21 Exercice 1 : n° 87 p 141

ln

Exercice 2 : Exercice A du sujet 0 du nouveau bac 2021

Nom :

Groupe : TMATHS2

Test du DM n°5 Etude de fonctions et fonction

Le : 29/01/2021 Durée : 2h Note : … / 10

Evaluation des capacités

Je sais : Non Oui

Donner par lecture graphique l'image d'un nombre par une fonction / des nombres dérivés Déterminer par lecture graphique les intervalles sur lesquels une fonction est convexe / Concave Dériver une fonction

Déterminer par le calcul l'équation d'une tangente Déterminer les variations d'une fonction sur un intervalle

Déterminer le nombre de solutions d'une équation sur un intervalle / Arrondir ces solutions Déterminer par le calcul la convexité d'une fonction sur un intervalle

Déterminer, par lecture graphique, l'équation d'une tangente Montrer, par le calcul, qu'une courbe passe par des points donnés Déterminer le point d'intersection d'une courbe avec l'axe des abscisses Déterminer les limites d'une fonction dépendant de la fonction

Exercice 1 : n° 87 p 141

ln

ln

Répondre aux questions suivantes par lecture graphique.

1. Indiquer les valeurs de et

2. Indiquer les valeurs de et .

3. Déterminer l'intervalle sur lequel la fonction est convexe et celui sur lequel elle est concave.

1. Calculer .

2. Déterminer une équation de la tangente à c au point d'abscisse .

3. a) Etudier le sens de variations de sur l'intervalle [ ; ].

f(0) f(2)

f⁰(1)

f f⁰(0)

f⁰(x)

f 0

f -10 2

b) En déduire le nombre de solutions de l'équation = dans l'intervalle [ ; ] puis arrondir chacune d'elle au centième près.

4. Un logiciel de calcul formel fournit le résultat suivant :

Utiliser ce résultat pour étudier la convexité de sur l'intervalle [ ; ].

Exercice 2 : Exercice A du sujet 0 du nouveau bac 2021

f(x) 1 -10 2

f -10 2

Partie I

1. Déterminer graphiquement .

2. En déduire une équation de la droite TB

Partie II

On suppose maintenant que la fonction est définie sur l'intervalle ] ; +∞[ par =

1. Par le calcul, montrer que la courbe c passe par les points A et B et qu'elle coupe l'axe des abscisses en un point unique que l'on précisera.

2. Déterminer la limite de quand tend vers par valeurs supérieures et quand tend vers +∞.

f⁰(1)

f 0 2 +ln(x)

f(x) x f

f(x) x 0 x

3. Montrer que, pour tout réel de ] ; +∞[, =

4. Dresser le tableau des variations de sur ] ; +∞[.

5. On admet que, pour tout réel de ] ; +∞[, =

Déterminer le plus grand intervalle sur lequel est convexe.

Correction du DM n°5 f⁰(x) -1¡ln(x)

x² 0

x

0 f

x 0 f⁰⁰(x) 1 + 2ln(x) x³ f

Exercice 1 : n° 87 p 141 Partie A

1. = et =

2. La tangente à c au point d'abscisse est horizontale donc =

3. Le coefficient directeur de la tangente (AC) est = = = et l'ordonnée à l'origine est On en déduit l'équation =

4. L'équation = a deux solutions dans l'intervalle [ ; ].

5. La fonction semble croissante sur [ ; ] puis décroissante sur [ ; ].

6. La fonction semble convexe sur [ ; ] puis concave sur [ ; ].

Partie B

1. ∀ ∈ [ ; ], =

a) Donc = =

et = =

b) ∀ ∈ [ ; ], = =

Donc = = = =

c) = =

2. La tangente à c au point A d'abscisse a pour équation : =

est le coefficient directeur de la tangente (AC) donc = = = On en déduit l'équation =

3. a) ∀ ∈ [ ; ], =

> ⇔ < et ∀ ∈ [ ; ], >

On en déduit que est positif sur [ ; ] et est négatif sur [ ; ].

Ainsi, la fonction est croissante sur [ ; ] puis décroissante sur [ ; ].

+ –

b) La fonction est continue et strictement croissante sur [ ; ] De plus = ≈ < 1 et = ≈ > 1

Donc, d'après le théorème des valeurs intermédiaires, l'équation = admet une unique solution sur l'intervalle [ ; ].

De même, puisque est continue, strictement décroissante sur [ ; ] et que = < alors l'équation = admet une unique solution sur l'intervalle [ ; ].

En utilisant la calculatrice, on obtient ≈ et ≈ . 4. Le logiciel de calcul formel donne : ∀ ∈ [ ; ], =

> ⇔ < et ∀ ∈ [ ; ], >

On en déduit que est positif sur [ ; ] et est négatif sur [ ; ].

Ainsi, la fonction est convexe sur [ ; ] puis concave sur [ ; ].

Exercice 2 : Exercice A du sujet 0 du nouveau bac 2021 f(0) 2 f(2) 0

0 f⁰(1) 1

f

2¡0 0¡(-2)

2 2 1 y 1x+ 2

-10 2 1

f(x)

f -10 1 1 2

f -10 0 0 2

f 0 y f⁰(0) (x¡0) +f(0)

f⁰(0) f⁰(0) 2¡0

0¡(-2) 2 2 1 y 1x+ 2

-10 2

x f(x) (2¡x)e^x

u(x)v(x) u⁰(x)v(x) +u(x)v⁰(x)

f⁰(x) -1e^x+ (2¡x)e^x (-1 + 2¡x)e^x (1¡x)e^x f(0) (2¡0)e⁰ 2

f(2) (2¡2)e² 0

x -10 2 f(x) (2¡x)e^x f⁰(1) (1¡1)e¹ 0

m 2

x -10 2 f⁰(x) (1¡x)e^x e^x

x -10 2 0

0

1¡x x 1

f⁰(x) -10 1 f⁰(x) 1 2

f -10 1 1 2

x f⁰(x)

f

-10 1 2

12e^-10

e

0

f -10 1

f(-10) 12e^-10 0,0012 f(1) e 2,72

1 f(x) -10 1

1 2 f(2) 0 1

f(x) 1 ¯ 1 2

®

f

® -1,15 ¯ 1,84 x -10 2 f⁰⁰(x) -x e^x

0 x x -10 2 e^x 0

-x 0

f -10 2

-10 2

f⁰⁰(x) 0 f⁰⁰(x) 0

0 0

O

Partie I

1. A est le point d'abscisse et la tangente à c en A est horizontale donc = . Le coefficient directeur de la tangente à c en B d'abscisse est donc = . 2. La tangente TB à c au point B d'abscisse a pour équation : =

= = =

Partie II

On suppose maintenant que la fonction est définie sur l'intervalle ] ; +∞[ par =

1. = = = = = donc A( ; ) ∈ c

= = = donc B( ; ) ∈ c

La courbe c coupe l'axe des abscisses lorsque l'équation = a une solution.

= ⇔ = et ≠ = et ≠ = ≠

On en déduit que la courbe coupe l'axe des abscisses en un point unique : le point C( ; ).

2. = =

On sait que = -∞. Donc, par somme, = -∞

De plus, = +∞. On en conclue, par produit = -∞

= =

On sait que = et que, d'après le théorème des croissances comparées, = . On en déduit, par somme, = .

3. ∀ ∈ ] ; +∞[, = =

Donc = = = =

4. ∀ ∈ ] ; +∞[, =

≥ ⇔ ≤ ⇔ ≤ ⇔ ≤ De plus, ∀ ∈ ] ; +∞[, >

On en déduit que est positif sur ] ; ] et est négatif sur [ ; +∞[.

Ainsi, la fonction est croissante sur ] ; ] puis décroissante sur [ ; +∞[.

On en déduit le tableau des variations suivant : 1

e f⁰(1

e) 0 -1

1 f⁰(1) -1

f y

f f

1 f⁰(1) (x¡1) +f(1)

y -1 (x¡1) + 2 y

y -x+ 3 -x+ 1 + 2

f 0 f(x) 2 +ln(x)

x

x 0 f(1

e)

2 +ln(1 e) 1 e

2¡ln(e) 1 e

2¡1 1 e

1£ e

1 e 1

e e f

f(1) 2 +ln(1) 1

2 + 0

1 2 1 2 f

f f(x) 0

2 +ln(x)

x 0 2 +ln(x) 0 x 0 ln(x) -2

0 x e^-2

e^-2 0 f(x) 2 +ln(x)

x

1

x £(2 +ln(x))

xlim!0 x>0

1 x

xlim!0 x>0

ln(x) lim

x!0 x>0

2 +ln(x)

xlim!0 x>0

f(x) f(x) 2 +ln(x)

x

2

x + ln(x) x

x!lim+1

x!lim+1

2

x 0 lim

x!+1

ln(x)

x 0

f(x) 0 x 0 f(x) 2 +ln(x)

x

u(x) v(x)

f⁰(x) u⁰(x)v(x)¡u(x)v⁰(x) v(x)²

1

x £x¡(2 +ln(x))£1 x²

1¡2¡ln(x) x²

-1¡ln(x) x²

x 0 f⁰(x) -1¡ln(x) x² -1¡ln(x) 0

x 0

f⁰(x) f⁰(x)

f

ln(x) -1 x e^-1 x 1 e

0 x²

0 1 e

1 e 0 1

e

1 e

+∞

+ –

-∞ 5. On admet que, ∀ ∈ ] ; +∞[, =

≥ ⇔ ≥ ⇔ ≥ ⇔ ≥ ⇔ ≥ De plus, ∀ ∈ ] ; +∞[, > donc >

On en déduit que est positif sur [ ; +∞[. Ainsi, la fonction est convexe sur [ ; +∞[.

f⁰⁰(x) 1 + 2ln(x) x³

x 1

0 e f⁰(x)

f e

0

x 0

0 ln(x) x

1 + 2ln(x) -1

2

x 0 x 0 x³ 0

f⁰⁰(x) f

O

e^- 1

2 x 1

e 1 2

x 1

pe

p1 e p1

e