1ère ES/L – Devoir commun de mai 2017 – page 1/3
1ère ES/L Devoir commun de mathématiques de mai 2017
Echange de matériel interdit.
Nom, Prénom : Une seule calculatrice autorisée.
Enoncé à rendre à l’intérieur de la copie double.
Exercice 1 ( 3 points )
La représentation graphique d’une fonction définie et dérivable sur 6 ; 6 est tracée ci- dessous ainsi que les tangentes respectives aux points d’abscisse 2 et d’abscisse 2.
1°) Par lecture graphique, donner 2 et ′2.
2°) Par lecture graphique, résoudre dans 6 ; 6 l’inéquation ⩾ 0.
3°) Par lecture graphique, donner une équation de la tangente à au point . 4°) On donne 5 3 et 5 4.
a) Tracer la tangente à au point d’abscisse 5.
b) Déterminer, par le calcul, l’équation de la tangente à au point d’abscisse 5.
Exercice 2 ( 6 points )
Les cinq questions sont indépendantes. Pour chaque question une affirmation est proposée.
Indiquer si elle est vraie ou fausse, en justifiant la réponse.
Une réponse qui n’est pas justifiée ne sera pas prise en compte.
Toute justification incomplète sera valorisée.
1°) En 20 ans, le prix de l’essence a été multiplié par 7 ; il a donc augmenté de 700 %.
2°) Multiplier par 1,7 revient à augmenter de 7 %.
3°) 1,28 est le coefficient multiplicateur global associé à deux augmentations successives, l’une de 7 % et l’autre de 4 %.
4°) Pour revenir à la valeur initiale après une hausse de 60 %, il faut appliquer une baisse de 37,5 %.
5°) Augmenter un prix de 15 % puis le faire baisser de 5 % n’est pas la même chose que de le faire baisser de 5 % puis de l’augmenter de 15 %.
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Exercice 3 ( 5 points )
Une entreprise fabrique des écrans géants haut de gamme.
Pour des raisons de matériel et de personnel, l’entreprise ne peut pas fabriquer plus de 40 écrans par mois. On suppose que l’entreprise parvient à vendre toute sa production.
Pour écrans fabriqués et vendus, la recette totale et le coût de production sont donnés, en centaines d’euros, par les fonctions et définies sur 0 ; 40] par :
35 et +5 + 125
1°) a) Calculer la recette et le coût pour 30 écrans.
b) En déduire le bénéfice pour 30 écrans.
2°) Montrer que la fonction , donnant le bénéfice en centaines d’euros selon la quantité d’écrans fabriqués et vendus, est définie sur 0 ; 40] par +30 − 125.
3°) a) Résoudre dans 0 ; 40] l’équation 36 b) Interpréter le résultat de la question précédente.
4°) a) Pour quelle quantité d’écrans fabriqués et vendus la production est-elle rentable ? b) Dresser le tableau de variations de la fonction sur 5 ; 25]. Justifier.
c) En déduire le bénéfice maximal ainsi que la production pour laquelle il est réalisé.
Exercice 4 ( 6 points )
On s’intéresse à la population d’une ville et on étudie plusieurs modèles d’évolution de cette population. En 2013, la population de la ville était de 15 000 habitants.
Les deux parties sont indépendantes.
Partie A : 1er modèle d’évolution
En analysant l’évolution récente, on fait d’abord l’hypothèse que le nombre d’habitants augmente de 1 000 habitants par an.
Pour tout entier naturel , on note !" le nombre d’habitants pour l’année 2013 + . On a ainsi !# 15 000.
1°) a) Que représente !$ ? b) Calculer !$ et !.
2°) Quelle est la nature de la suite !" ? Justifier.
3°) Exprimer, pour tout entier naturel , !" en fonction de . 4°) Selon ce modèle, quelle devrait être la population en 2018 ?
5°) Selon ce modèle, en quelle année la population devrait-elle atteindre 30 000 habitants ?
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Partie B : 2nd modèle d’évolution
On fait à présent l’hypothèse que le nombre d’habitants augmente de 4,7 % par an. Le nombre d’habitants pour l’année 2013 + est modélisé par le terme %" d’une suite géométrique.
On a ainsi %# 15 000.
1°) Calculer les valeurs des termes %$ et % arrondies à l’unité.
2°) Déterminer la raison de la suite %".
3°) Exprimer, pour tout entier naturel , %" en fonction de .
4°) Calculer, selon ce modèle, le nombre d’habitants de la ville en 2028.
5°) On souhaite savoir, selon ce modèle, à partir de quelle année la population dépassera, pour la première fois, 18 000 habitants. On propose l’algorithme suivant :
Variables
& est un nombre entier naturel ' est un nombre réel
Traitement
& prend la valeur 0 ' prend la valeur 15 000 Tant que ' ⩽ 18 000
& prend la valeur & +1 ' prend la valeur 1,047 × ' Fin Tant que
Sortie
Afficher &
a) Recopier le tableau suivant et le compléter en ajoutant autant de colonnes que nécessaire.
Les valeurs de ' seront arrondies à l’entier.
Valeur de + 0 ... ...
Valeur de , 15 000 ... ...
Condition , ⩽ -. /// vraie ... ...
b) En déduire l’affichage obtenu, puis répondre au problème posé.
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Exercice 1 Exercice 2 Exercice 3 Exercice 4 Note
3 points 6 points 5 points 6 points sur 20
