nombres complexes NOM :
Devoir maison sur les complexes
Le planP est rapporté au repère orthonormé(O;−→ u;−→
v )(unité graphique 1cm).
Aet B sont les points d’affixe respectives3−iet −1 + 2i.
On appellef l’application qui à tout nombre complexez6=−1 + 2iassocieZ =f(z) = z−3 +i z+ 1−2i : f : C\ {zB} → C
z 7→ f(z) =Z On définitM le point d’affixez etM′ le point d’affixeZ.
Soitϕest la transformation du plan qui à tout pointM d’affixez associe le pointM′ d’affixeZ =f(z): ϕ : P \ {B} → P
M(z) 7→ M(′Z)
1. a. Montrer que si z =x+iy alors la partie réelle deZ est Re(Z) = (x−3)(x+ 1) + (y+ 1)(y−2) (x+ 1)2+ (y−2)2 . Que vaut sa partie imaginaire ?
Im(Z) =
b. Si M est un point quelconque, avec Géogebra, on note x(M)son abscisse, ety(M)sont ordonnée . Créer deux variables nommées abscisse et ordonnee telles que abscisse = Re(Z) et ordonnee = Im(Z).
Créer un point M′ de coordonnées(abscisse;ordonnee).
2. Donner la définition de l’interprétation géométrique de |Z|et arg(Z)en fonction deO et M′. Donner l’interprétation géométrique de|Z| etarg(Z)en fonction deA,B etM.
3. Si C est le point de coordonnées(7;−4), on veut déterminer l’image de la droite(AC)parϕ.
a. À l’aide du logiciel de géométrie dynamique, conjecturer la nature de l’image de la droite(AC).
Pour cela, construire un point N sur la droite(AC). RedéfinissezM afin qu’il soit sur cette droite, c’est à dire en redéfinissantM comme était défini le pointN. Utilisez l’outil "Trace" ou l’outil "Lieu".
b. Que remarque t-on sur A, B et C? En déduire que si M ∈ (AC) avec M 6= A et M 6= B alors
−−→
BM;−−→
AM
= 0 [π].
c. Conclure.
4. On veut déterminer l’image de l’axe des abscisses parϕ.
a. Redéfinir le pointM pour conjecturer la nature de cette image.
b. Démontrer ce résultat.
nombres complexes NOM :
1 2 3 4 5 6 7 8
−1
−2
−3
1 2 3 4
−1
−2
−3
−4
−
→u
−
→v
⊕
