Devoir maison sur les nombres complexes Terminale

www.etude-generale.com 2éme BAC PC

Matiére : Mathématiques 2020/2021

Professeur : Yahya MATIOUI www.etude-generale.com

Correction devoir maison N2

Problème 1 On considère la fonction numérique f dé…nie sur R par : f(x) = x+ 5

2 1

2e^{x 2}(e^{x 2} 4)

et (C) sa courbe représentative dans un repère orthonormé (O;!i ;!j ): (unité : 2cm):

1. a) Calculons : lim_{x ! 1}f(x) = +1:

x lim! 1f(x) = lim

x ! 1 x+ 5 2

1

2e^{x 2}(e^{x 2} 4) = +1 car : lim

x ! 1e^{x 2} = 0 et lim

x ! 1

1

2e^{x 2}(e^{x 2} 4) = 0 et lim

x ! 1 x+5

2 = +1 Calculons : lim_{x !+1}f(x) = 1:

x lim!+1f(x) = lim

x !+1 x+ 5 2

1

2e^{x 2}(e^{x 2} 4) = 1 car : lim

x !+1e^{x 2} = +1 et lim

x !+1

1

2e^{x 2}(e^{x 2} 4) = 1 et lim

x !+1 x+5

2 = 1

b) Pour montrer que la droite( ) d’équation y= x+⁵₂ est une asymptote à la courbe (C)au voisinage de 1, il su¢ t de montrer que : lim_{x ! 1}f(x) ( x+⁵₂) = 0:

x lim! 1f(x) ( x+5

2) = lim

x ! 1 x+ 5 2

1

2e^{x 2}(e^{x 2} 4) +x 5 2

= lim

x ! 1

1

2e^{x 2}(e^{x 2} 4) = 0

Donc, la droite ( ) d’équation y= x+⁵₂ est une asymptote à la courbe (C) au voisinage de 1:

c) Résolvons l’équation dans l’ensemble R: e^{x 2} 4 = 0

e^{x 2} 4 = 0 () e^{x 2} = 4 () x 2 = ln 4 () x= 2 + ln 4 Donc

S =f2 + ln 4g evaluons le signe de la di¤érence f(x) ( x+⁵₂) :

f(x) ( x+5

2) = 1

2e^{x 2}(e^{x 2} 4)

comme ₂¹e^{x 2} 0 pour tout x dans R, alors on étudie le signe de l’expression e^{x 2} 4 pour tout x2R:

*

e^{x 2} 4 0 () x 2 ln 4 () x 2 + ln 4 () x2[2 + ln 4;+1[ et

e^{x 2} 4 0 () x 2 ln 4 () x 2 + ln 4 () x2] 1;2 + ln 4]

On obtient

f(x) ( x+5

2) 0 () x2[2 + ln 4;+1[ f(x) ( x+5

2) 0 () x2] 1;2 + ln 4]

Ceci signi…e que :

Si x 2 ]2 + ln 4;+1[ alors : f(x) ( x+ ⁵₂) 0. Ceci signi…e que (C) est au dessous de la droite ( ) sur l’intervalle ]2 + ln 4;+1[:

Si x 2 ] 1;2 + ln 4[ alors : f(x) ( x+ ⁵₂) 0. Ceci signi…e que (C) est au dessus de la droite ( ) sur l’intervalle ] 1;2 + ln 4[:

(C_f) et ( ) se coupent en point d’abscisse 2 + ln 4:

2. a) Montrons que : lim_{x !+1}^f(x)_x :

x lim!+1

f(x)

x = lim

x !+1

x+ ⁵₂ ¹₂e^{x 2}(e^{x 2} 4) x

= lim

x !+1 1 + 5 2x

e^{x 2}(e^{x 2} 4) 2x

= lim

x !+1 1 + 5 2x

e^{x 2} x 2

x 2

2x (e^{x 2} 4) = 1 car: lim_{x !+1} ^e_x^x ₂² = +1etlim_{x !+1}^x_2x² = ¹₂ et lim_{x !+1}(e^{x 2} 4) = +1 et limx !+1 5

2x = 0:

Interprétation géométrique.

La courbe (C_f) admet une branche parabolique de direction l’axe des ordonnées au voisinage de +1:

b) Calculons la fonction dérivée f⁰ sur R:

La fonction f est dérivable sur R comme la somme et le produit des fonctions dérivables sur R. (x7 ! x+⁵₂ , x7 ! 2¹e^{x 2} et x7 !e^{x 2} 4):

calculons f⁰(x) pour tout x2R: f⁰(x) = ( x+5

2 1

2e^{x 2}(e^{x 2} 4))⁰

= 1 (1

2e^{x 2}(e^{x 2} 4) + 1

2e^{x 2} e^{x 2})

= 1 (1

2e^{2x 4} 2e^{x 2}+1 2e^{2x 4})

= 1 e^{2x 4}+ 2e^{x 2}

= ((e^{x 2})² 2e^{x 2}+ 1)

= (e^{x 2} 1)²

c) Le tableau de variations de la fonction f.

comme (e^{x 2} 1)² 0, alors : (e^{x 2} 1)² 0: Donc : f⁰(x) 0 pour tout x2R.

f⁰(x) = 0 () (e^{x 2} 1)² = 0 () x 2 = 0 () x= 2:

On déduit le tableau de variations suivant :

3. La fonction f⁰ est dérivable sur R. Calculons f⁰⁰(x) pour tout x2R: f⁰⁰⁰(x) = 2e^{x 2}(e^{x 2} 1)

comme 2e^{x 2} 0, pour tout x dans R, alors on étudie le signe de l’expression e^{x 2} 1 pour tout x2R:

Donc

e^{x 2} 1 0 () e^{x 2} 1 () x 2 0

() x 2 () x2[2;+1[ et

e^{x 2} 1 0 () e^{x 2} 1 () x 2 0

() x 2 () x2] 1;2]

On résume le signe de la fonction f⁰⁰ dans le tableau suivant :

Puisque la fonction f⁰⁰ s’annule en 2 avec un changement de signe, alors le point A(2;2)est un point d’in‡exion de la courbe (C_f):

4. Montrons que l’équation f(x) = 0admet unique solution telle que: 2]2 + ln 3;2 + ln 4[

On a :

La fonction f est continue sur R (car elle est dérivable sur R), en particulier elle est continue sur ]2 + ln 3;2 + ln 4[:

La fonction f est strictement décroissante sur ]2 + ln 3;2 + ln 4[: f(2+ ln3) f(2+ ln4) 0:

On conclut d’aprés le T.V.I que l’équation f(x) = 0 admet unique solution dans l’intervalle ]2 + ln 3;2 + ln 4[:

Autrement dit :

9! 2]2 + ln 3;2 + ln 4[= f( ) = 0 Cherchons un encadrement de de longueur ln 4 ^{ln 12}₂ :

on calcule le centre de l’intervalle ]2 + ln 3;2 + ln 4[ le nombre c tel que :, c =

2+ln 3+2+ln 4

2 = ^{4+ln 12}₂ 3:242 5; et comme f(^{4+ln 12}₂ ) 0;185466 et f(2 + ln 4) = 0;886294; et comme f(^{4+ln 12}₂ ) f(2 + ln 4) 0: Donc :

4 + ln 12

2 2 + ln 4

la longueur de l’encadrement est: 2+ln 4 (^{4+ln 12}₂ ) = 2+ln 4 2+^{ln 12}₂ = ln 4 ^{ln 12}₂ : 5.

6. a) La fonction f est continue et strictement décroissante sur R, alors elle admet une fonction réciproque f ¹ dé…nie sur J telle que : J =f(I) =f(R) = R

b) Voir la courbe.

c) Calculons : (f ¹)⁰(2 ln 3):

On a :f(2+ln 3) = 2 ln 3et comme f est dérivable en 2+ln 3et f⁰(2+ln 3)6= 0, alors f ¹ est dérivable en 2 ln 3 et on a :

(f ¹)⁰(2 ln 3) = 1

f⁰(f ¹(2 ln 3)) = 1

f⁰(2 + ln 3) = 1 4 Exercice 2 ( Les nombres complexes)

1. Dans l’ensemble C des nombres complexes, on considère l’équation : (E) :z² 2(p

2 +p

6)z+ 16 = 0

a) Véri…ons que le discrimiant de l’équation (E) est : = 4(p

6 p

2)²

= h 2(p

2 +p 6)i2

64

= 4(2 + 2p

12 + 6) 64

= 32 + 8p

12 64

= 32 + 8p 12

= 4(p

6 2p

12 +p 2)

= 4(p

6 p

2)²

b) L’équation (E) admet deux solutions complexes conjuguées z₁ et z₂ telles que : z₁ = b+ip

2a = (p 2 +p

6) +i(p

6 p

2)

et:z₂ =z₁ = (p 2 +p

6) +i(p

6 p

2) = (p 2 +p

6) i(p

6 p

2): Donc S =n

(p 2 +p

6) +i(p

6 p

2);(p 2 +p

6) i(p

6 p

2)o 2. a) Véri…ons que : bc=a

bc = (1 +ip 3)(p

2 ip 2)

= p

2 ip

2 +ip 6 +p

6

= (p 2 +p

6) +i(p

6 p

2) donc comme bc =a alors bc:c =ac, et comme cc= (p

2 ip 2)(p

2 +ip

2) = 4:

Alors on obtient :

ac= 4b

b) L’écriture trogonométrique des nombres complexes : b et c:

b = 1 +ip 3

= 2(1 2 +i

p3 2 )

= 2(cos

3 +isin 3):

et

c = p

2 +ip 2

= 2(

p2 2 +i

p2 2 )

= 2(cos

4 +isin 4):

c) On déduit que : a = 4(cos₁₂ +isin₁₂):

cherchons le module de a:

jaj=jbcj=jbj jcj= 2 2 = 4 l’argument du complexe a:

arg(a) arg(bc) [2 ]

arg(c) + arg(b) [2 ]

et comme arg(c) arg(c) [2 ]; alors arg(c) ₄ [2 ]: Donc : arg(a)

4 + 3[2 ] 12[2 ] On aura

a= 4(cos

12 +isin 12)

3. Dans le plan complexe rapporté à un repère orthonomré direct (O;!u ;!v); on consid- èreles points B; C et D d’a¢ xes respectives b; cet d telle que d=a⁴: Soient z l’a¢ xe d’un point M du plan et z⁰ l’a¢ xe de M⁰ image de M par le rotation R de centre O et d’angle ₁₂:

a) véri…ons que : z⁰ = ¹₄az

R(M) = M⁰ () z⁰ z_o =eⁱ¹²(z z_o) () z⁰ = a

4z careⁱ¹² = cos₁₂ +isin₁₂ = ^a₄:

b) L’image du point C par la rotation R:

Notons C⁰ l’image du point C par la rotation R de centre O et d’angle ₁₂: R(C) = C⁰ () c⁰ = a

4c= ac 4 =b

donc : C⁰ =B. C’est-à-dire l’image du point C par la rotation R de centre O et d’angle ₁₂ est le point B:

c) La nature du triangle OBC:

On a

R(C) =B () 8<

:

OB =OC OC;! OB! ₁₂[2 ]

Donc, le triangle OBC est isocéle.

d) Montrons que : a⁴ = 128b

On a : a= 4(cos₁₂+isin₁₂), et d’aprés la formule de Moivre, on obtient : a⁴ = 4⁴:(cos(4

12) +isin 4

12 )

= 256(cos

3 +isin 3)

= 256

2 (1 +ip 3)

= 128b Déduction :

on a :

d z_o b z_o = d

b = a⁴

b = 128b

b = 1282R Donc, les points O; B et D sont alignés.

FIN

Pr :Yahya MATIOUI

www:etude generale:com