Terminale S – Enseignement obligatoire Nombres complexes

(1)

Terminale S – Enseignement obligatoire Nombres complexes

Frédéric Demoulin

¹

, Olivier Hervé

²

Dernière révision : 22 mai 2008

Document diffusé via le site www.bacamaths.net de Gilles Costantini

³

1frederic.demoulin (chez) voila.fr 2ol.herve (chez) laposte.net

3gilles.costantini (chez) bacamaths.net

(2)

Tableau récapitulatif des exercices

⋆indique que cette notion a été abordée dans l’exercice

N° Lieu Année ROC QCM Calculs Trans- Homo- Rota- Appli- Bary-

Suites VF dansC lation thétie tion cation centres

1 Inde Avril 2008 ⋆ ⋆ ⋆

2 Amérique du Sud Nov 2007 ⋆ ⋆

3 Nouvelle-Calédonie Nov 2007 ⋆ ⋆ ⋆

4 Antilles-Guyane Sept 2007 ⋆ ⋆

5 La Réunion Sept 2007 ⋆

6 Antilles-Guyane Juin 2007 ⋆ ⋆ ⋆

7 Asie Juin 2007 ⋆ ⋆ ⋆ ⋆

8 Centres étrangers Juin 2007 ⋆ ⋆

9 France Juin 2007 ⋆ ⋆ ⋆

10 La Réunion Juin 2007 ⋆ ⋆

11 Polynésie Juin 2007 ⋆ ⋆

12 Amérique du Nord Mai 2007 ⋆ ⋆ ⋆ ⋆

13 Liban Mai 2007 ⋆ ⋆

14 Inde Avril 2007 ⋆ ⋆ ⋆ ⋆

15 Amérique du Sud Nov 2006 ⋆ ⋆ ⋆

16 Nouvelle-Calédonie Nov 2006 ⋆ ⋆

18 France Sept 2006 ⋆

19 Polynésie Sept 2006 ⋆ ⋆

20 Amérique du Nord Juin 2006 ⋆ ⋆ ⋆ ⋆ ⋆

21 Antilles-Guyane Juin 2006 ⋆ ⋆ ⋆

22 Asie Juin 2006 ⋆ ⋆ ⋆

23 Centres étrangers Juin 2006 ⋆ ⋆ ⋆

27 Liban Mai 2006 ⋆ ⋆ ⋆ ⋆

28 Inde Avril 2006 ⋆ ⋆

31 Polynésie Sept 2005 ⋆ ⋆ ⋆

32 Amérique du Nord Juin 2005 ⋆ ⋆ ⋆ ⋆

33 Antilles-Guyane Juin 2005 ⋆ ⋆

34 Asie Juin 2005 ⋆ ⋆

35 France Juin 2005 ⋆ ⋆

36 Liban Juin 2005 ⋆ ⋆

39 Nouvelle-Calédonie Mars 2005 ⋆ ⋆

42 France Sept 2004 ⋆ ⋆ ⋆

43 Amérique du Nord Juin 2004 ⋆ ⋆

45 Asie Juin 2004 ⋆

49 Liban Juin 2004 ⋆ ⋆ ⋆

50 Polynésie Juin 2004 ⋆ ⋆ ⋆

52 Nouvelle-Calédonie Mars 2004 ⋆ ⋆

53 Amérique du Sud Nov 2003 ⋆

54 France Sept 2003 ⋆ ⋆ ⋆ ⋆

56 Antilles-Guyane Juin 2003 ⋆

57 Asie Juin 2003 ⋆ ⋆ ⋆

(3)

N° Lieu Année ROC QCM Calculs Trans- Homo- Rota- Appli- Bary-

Suites VF dansC lation thétie tion cation centres

59 Liban Juin 2003 ⋆ ⋆ ⋆ ⋆

60 Polynésie Juin 2003 ⋆

65 France Sept 2002 ⋆ ⋆

69 Asie Juin 2002 ⋆ ⋆

74 Inde Juin 2002 ⋆

75 Antilles-Guyane Sept 2001 ⋆ ⋆ ⋆

78 Amérique du Nord Juin 2001 ⋆

80 Asie Mars 2001 ⋆ ⋆

82 Liban Juin 2001 ⋆

83 Polynésie Juin 2001 ⋆ ⋆ ⋆

84 Inde Juin 2001 ⋆ ⋆

86 Nouvelle-Calédonie Déc 2000 ⋆ ⋆ ⋆

90 Asie Juin 2000 ⋆ ⋆

92 La Réunion Juin 2000 ⋆

93 Liban Juin 2000 ⋆ ⋆

95 Inde Juin 2000 ⋆ ⋆ ⋆

96 France Sept 1999 ⋆

97 Nouvelle Calédonie Déc 1999 ⋆ ⋆

98 Sportifs haut niveau Sept 1999 ⋆

99 Amérique du Nord Juin 1999 ⋆

101 Asie Juin 1999 ⋆

102 Centres étrangers Juin 1999 ⋆

103 France Juin 1999 ⋆

104 Liban Juin 1999 ⋆ ⋆

106 Inde Mai 1999 ⋆ ⋆ ⋆

108 Antilles-Guyane Sept 1998 ⋆ ⋆ ⋆ ⋆

110 Polynésie Sept 1998 ⋆

(4)

Exercice 1 Inde, Avril 2008

(5 points)

Cet exercice contient une restitution organisée de connaissances.

Partie A On suppose connus les résultats suivants :

1. Dans le plan complexe, on donne par leurs affixeszA,zBetzCtrois pointsA,BetC. Alors

¯¯

¯¯zB−zC

zA−zC

¯¯

¯¯=C B C Aet arg

µzB−zC

zA−zC

¶

=

³−−→

C A,−→

C B´ (2π).

2. Soitzun nombre complexe et soitθun réel :

z=e^iθsi et seulement si|z| =1 et arg(z)=θ+2kπ, oùkest un entier relatif.

Démonstration de cours: démontrer que la rotationrd’angleαet de centreΩd’affixeωest la transformation du plan qui à tout pointMd’affixezassocie le pointM^′d’affixez^′tel que :

z^′−ω=e^iα(z−ω).

Partie B Dans un repère orthonormal direct du plan complexe¡

O;−→u,−→v¢

(unité graphique 2 cm), on considère les points A,B,CetDd’affixes respectives

zA= −p

3−i, zB=1−ip

3, zC=p

3+i et zD= −1+ip 3.

1. a. Donner le module et un argument pour chacun des quatre nombres complexeszA,zB,zCetzD. b. Comment construire à la règle et au compas les pointsA,B,CetDdans le repère¡

O;−→u,−→v¢

? c. Quelle est la nature du quadrilatèreABC D?

2. On considère la rotationrde centreBet d’angle−π

3. SoientEetFles points du plan définis par :E=r(A) etF=r(C).

a. Comment construire à la règle et au compas les pointsFetEdans le repère précédent ? b. Donner l’écriture complexe der.

c. Déterminer l’affixe du pointE.

Exercice 2 Amérique du Sud, Novembre 2007

^{(5 points)}

Le planP est rapporté à un repère orthonormal direct¡

O;→−u,→−v¢ . On fera une figure qui sera complétée au fur et à mesure.

Soitf l’application qui à tout pointMdeP d’affixe non nullezassocie le pointM^′d’affixe : z^′=1

2 µ

z+1 z

¶ .

1. SoitEle point d’affixezE= −i. Déterminer l’affixe du pointE^′, image deEparf. 2. Déterminer l’ensemble des pointsMtels queM^′=M.

3. On noteAetBles points d’affixes respectives 1 et−1.

SoitMun point distinct des pointsO,AetB.

a. Montrer que, pour tout nombre complexezdifférent de 0, 1 et−1, on a : z^′+1

z^′−1= µz+1

z−1

¶2

.

(5)

b. En déduire une expression de M^′B

M^′Aen fonction deMB

M Apuis une expression de l’angle³−−−→

M^′A,−−−→

M^′B´ en fonction de l’angle³−−→

M A,−−→

MB´ .

4. Soit∆la médiatrice du segment [AB]. Montrer que siMest un point de∆distinct du pointO, alorsM^′est un point de∆.

5. SoitΓle cercle de diamètre [AB].

a. Montrer que si le pointMappartient àΓalors le pointM^′appartient à la droite (AB).

b. Tout point de la droite (AB) a-t-il un antécédent parf ?

Exercice 3 Nouvelle Calédonie, Novembre 2007

^{(4 points)}

Pour chaque question, une seule des trois propositions est exacte. Le candidat indiquera sur la copie le numéro de la question et la lettre correspondant à la réponse choisie. Aucune justification n’est demandée.

Une réponse exacte rapporte0,5point ; une réponse inexacte enlève0,25point ; l’absence de réponse est comptée0 point. Si le total est négatif, la note est ramenée à zéro.

Le plan complexe est muni d’un repère orthonormé direct d’origineO.

1. Une solution de l’équation 2z+z=9+i est :

a. 3 b. i c. 3+i

2. Soitzun nombre complexe ;|z+i|est égal à :

a. |z| +1 b. |z−1| c. |iz+1|

3. Soitzun nombre complexe non nul d’argumentθ. Un argument de−1+ip 3 z est : a. −π

3+θ b. 2π

3 +θ c. 2π

3 −θ 4. Soitnun entier naturel. Le complexe³p

3+i´n

est un imaginaire pur si et seulement si : a. n=3 b.n=6k+3, aveckrelatif c. n=6kaveckrelatif

5. SoientAetBdeux points d’affixes respectives i et−1. L’ensemble des pointsMd’affixezvérifiant|z−i| =

|z+1|est :

a. la droite (AB) b. le cercle de diamètre [AB] c. la droite perpendiculaire à (AB) passant parO

6. SoitΩle point d’affixe 1−i. L’ensemble des pointsMd’affixez=x+iyvérifiant|z−1+i| = |3−4i|a pour équation :

a. y= −x+1 b. (x−1)²+y²=p

5 c. z=1−i+5e^iθavecθréel 7. SoientAetBles points d’affixes respectives 4 et 3i. L’affixe du pointC tel que le triangleABCsoit isocèle

avec³−→

AB,−→

AC´

=π

2 (2π) est :

a. 1−4i b. −3i c. 7+4i

8. L’ensemble des solutions dansCde l’équation z−2

z−1=zest :

a. {1−i} b. L’ensemble vide c. {1−i ; 1+i}

Exercice 4 Antilles – Guyane, Septembre 2007

^{(5 points)}

Partie A

(6)

1. Déterminer le nombre complexeαtel que

½α(1+i)=1+3i iα² = −4+3i. 2. Pour tout nombre complexez, on posef(z)=z²−(1+3i)z+(−4+3i).

Montrer quef(z) s’écrit sous la forme (z−α)(z−iα).

En déduire les solutions sous forme algébrique de l’équation f(z)=0.

Partie B Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé¡

O;−→u,−→v¢

(unité graphique : 5 cm).

1. On considère les pointsAetBd’affixes respectivesa=2+i etb= −1+2i.

PlacerAetBdans le repère et compléter la figure au fur et à mesure.

Montrer queb=iα, en déduire que le triangleO AB est un triangle isocèle rectangle tel que³−−→

O A,−−→

OB´

= π

2 (2π).

2. On considère le pointCd’affixec= −1+1

2i. Déterminer l’affixe du pointD tel que le triangleOC Dsoit un triangle isocèle rectangle tel que³−−→

OC,−−→

OD´

=π 2 (2π).

On pourra conjecturer l’affixe deDà l’aide de la figure pour traiter la question suivante.

3. SoitMle milieu de [C B]. On appellez−−→OMetz−−→D Ales affixes respectives des vecteurs−−→

OMet−−→

D A.

Prouver que : z−−→

OM

z−−→

D A

=1 2i.

4. Donner une mesure en radians de l’angle³−−→D A,−−→

OM´ . 5. Prouver queOM=1

2D A.

6. On appelleJ,KetLles milieux respectifs des segments [C D], [D A] et [AB].

On admet que le quadrilatèreJ K LMest un parallélogramme. Démontrer que c’est un carré.

Exercice 5 La Réunion, Septembre 2007

(5 points) Soit les nombres complexes :

z1=p 2+ip

6, z2=2+2i et Z=z1

z2. 1. ÉcrireZsous forme algébrique.

2. Donner les modules et arguments dez1,z2etZ. 3. En déduire cos π

12 et sin π 12.

4. Le plan est muni d’un repère orthonormal ; on prendra 2 cm comme unité graphique.

On désigne parA,BetCles points d’affixes respectivesz1,z2etZ. Placer le pointB, puis placer les points AetCen utilisant la règle et le compas (on laissera les traits de construction apparents).

5. Écrire sous forme algébrique le nombre complexeZ²⁰⁰⁷.

Exercice 6 Antilles – Guyane, Juin 2007

(5 points)

(7)

¡O;−→u,−→v¢

est un repère orthonormal direct du plan complexe.

SoitAle point d’affixe 1+i.

Au pointMd’affixez, on associe le pointM^′d’affixez^′telle quez^′=1 2

¡z+i ¯z¢ . 1. On posez=x+iyetz^′=x^′+iy^′avecx,y,x^′ety^′réels.

a. Démontrer les égalités suivantes :x^′=1

2(x+y) ety^′=1 2(x+y).

En déduire que le pointM^′appartient à la droite (O A).

b. Déterminer l’ensemble des pointsMdu plan tels queM=M^′. c. Démontrer que pour tout pointMdu plan les vecteurs−−−→

M M^′et−−→

O Asont orthogonaux.

2. Soitrla rotation de centreOet d’angle π

2.M1est le point d’affixez1image deMparr,M2le point d’affixe z2=z¯,M3le point d’affixez3tel que le quadrilatèreOM1M3M2soit un parallélogramme.

a. Dans cette question uniquementMa pour affixe 4+i, placer les pointsM,M1,M2,M3. b. Exprimerz1en fonction dez, puisz3en fonction dez.

c. OM1M3M2est-il un losange ? Justifier.

d. Vérifier quez^′−z=1 2iz3. En déduire queM M^′=1

2OM₃.

3. Démontrer que les pointsM,M1,M2etM3appartiennent à un même cercle de centreOsi et seulement si M M^′=1

2OM.

Donner alors la mesure en radians de l’angle géométriqueMà^′OM.

Exercice 7 Asie, Juin 2007

^{(5 points)}

Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct¡

O;−→u,−→v¢

. L’unité graphique est 4 cm.

Soitλun nombre complexe non nul et différent de 1.

On définit, pour tout entier natureln, la suite (zn) de nombres complexes par :

½z0 =0 zn+1=λ.zn+i. On noteMnle point d’affixezn.

1. Calcul deznen fonction denet deλ.

a. Vérifier les égalités :z1=i ;z2=(λ+1)i ;z3=(λ²+λ+1)i.

b. Démontrer que, pour tout entiernpositif ou nul :zn=λⁿ−1 λ−1 i.

2. Étude du casλ=i.

a. Montrer quez4=0.

b. Pour tout entier natureln, exprimerzn+1en fonction dezn.

c. Montrer queMn+1est l’image deMnpar une rotation dont on précisera le centre et l’angle.

d. Représenter les pointsM0,M1,M2,M3etM4dans le repère¡

O;→−u,→−v¢ . 3. Caractérisation de certaines suites (zn).

a. On suppose qu’il existe un entier naturelktel queλ^k=1.

Démontrer que, pour tout entier natureln, on a l’égalité :zn+k=zn.

b. Réciproquement, monter que s’il existe un entier naturelk tel que, pour tout entier naturelnon ait l’égalitézn+k=znalors :λ^k=1.

(8)

Exercice 8 Centres étrangers, Juin 2007

(5 points)

I. Restitution organisée de connaissances

1. Démontrer qu’un nombre complexezest imaginaire pur si et seulement siz= −z.

2. Démontrer qu’un nombre complexezest réel si et seulement siz=z. 3. Démontrer que pour tout nombre complexez, on a l’égalité :zz= |z|². Le plan complexe est rapporté a un repère orthonormal direct¡

O;→−u,−→v¢

. On se propose de démontrer, à l’aide des nombres complexes, que tout triangle de sommetsA,B,C, deux à deux distincts, d’affixes respectivesa,b,c, et dont le centre du cercle circonscrit est situé à l’origineO, a pour orthocentre le pointHd’affixea+b+c.

II. Étude d’un cas particulier On pose :a=3+i,b= −1+3i,c= −p

5−ip 5.

1. Vérifier queOest le centre du cercle circonscrit au triangleABC.

2. Placer les points A,B,C et le point H d’affixea+b+c, puis vérifier graphiquement que le pointH est l’orthocentre du triangleABC.

III. Étude du cas général

ABCest un triangle dontOest le centre du cercle circonscrit, eta,b,csont les affixes respectives des pointsA,B etC.

1. Justifier le fait queOest le centre du cercle circonscrit au triangleABCsi et seulement si : aa=bb=cc.

2. On posew=bc−bc.

a. En utilisant la caractérisation d’un nombre imaginaire pur établie dans leI., démontrer quew est imaginaire pur.

b. Verifier l’égalité : (b+c)(b−c)=wet justifier que :b+c b−c= w

|b−c|². c. En déduire que le nombre complexe b+c

b−c est imaginaire pur.

3. SoitHle point d’affixea+b+c.

a. Exprimer en fonction dea,betcles affixes des vecteurs−−→

AHet−→

C B. b. Prouver que¡−→

C B,−−→

AH¢

=π

2+kπ, oùkest un entier relatif quelconque.

(On admet de même que¡−−→

C A,−−→

B H¢

=π 2+kπ).

c. Que représente le pointHpour le triangleABC?

Exercice 9 France, Juin 2007

^{(5 points)}

Partie A

(9)

On considère l’équation :

(E) z³−(4+i)z²+(13+4i)z−13i=0 oùzest un nombre complexe.

1. Démontrer que le nombre complexe i est solution de cette équation.

2. Déterminer les nombres réelsa,betctels que, pour tout nombre complexez, on ait : z³−(4+i)z²+(13+4i)z−13i=(z−i)(az²+bz+c).

3. En déduire les solutions de l’équation (E).

Partie B Dans le plan complexe, rapporté au repère orthonormal direct¡

O;−→u,−→v¢

, on désigne parA,B etC les points d’affixes respectives i, 2+3i et 2−3i.

1. Soitrla rotation de centreBet d’angleπ

4. Déterminer l’affixe du pointA^′, image du pointApar la rotationr. 2. Démontrer que les pointsA^′,BetCsont alignés et déterminer l’écriture complexe de l’homothétie de centre

Bqui transformeCenA^′.

Exercice 10 La Réunion, Juin 2007

^{(5 points)}

Le plan complexe est rapporté au repère orthonormal direct¡

O;→−u,→−v¢ . A,B,Cdésignent les points d’affixes respectivesa= −2p

3,b=p

3−3i etc=2i.

1. a. Écrirebsous forme exponentielle.

b. Les pointsAetCsont représentés sur la figure jointe en annexe. Construire à la règle et au compas le pointBsur ce dessin (laisser les traces de construction apparentes).

2. On désigne parEle barycentre du système {(A; 1); (C; 3)} et parFle barycentre du système {(A; 2); (B; 1)}.

a. Établir que l’affixeedu pointEest égale à− p3

2 +3 2i.

b. Déterminer l’affixef du pointF. 3. a. Démontrer que le quotient e−c

e−b peut s’écrirek.i oùkest un nombre réel à déterminer.

En déduire que, dans le triangleABC, le pointEest le pied de la hauteur issue deB. Placer le pointE sur le dessin.

b. Démontrer que le pointFpossède une propriété analogue. PlacerFsur le dessin.

4. On désigne parHle barycentre du système {(A; 2); (B; 1); (C; 6)}.

Démontrer que le pointHest le point d’intersection des droites (BE) et (C F).

Qu’en déduit-on pour le pointH?

0 ~u

~v

A•

C•

(10)

Exercice 11 Polynésie, Juin 2007

(4 points) Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct¡

O;−→u,−→v¢

. On prendra 1 cm pour unité graphique.

Les questions suivantes sont indépendantes.

1. Résoudre, dans l’ensembleCdes nombres complexes, l’équation :

z¯−3iz−3+6i=0, z¯étant le conjugué dez.

2. On considère le pointAd’affixe 4−2i.

Déterminer la forme algébrique de l’affixe du pointBtel queO ABsoit un triangle équilatéral de sens direct.

3. SoitDle point d’affixe 2i.

a. Représenter l’ensemble (E) des pointsMd’affixezdifférente de 2i tels que : arg(z−2i)=π

4+k×2π (k∈Z).

b. Représenter l’ensemble (F) des pointsMd’affixeztels quez=2i+2e^iθ,θappartenant àR. 4. A tout pointMd’affixez6= −2, on associe le pointM^′d’affixez^′telle que :z^′=z−1

¯ z+2. Déterminer l’ensemble des pointsMd’affixezdifférente de−2 tels que¯¯z^′¯¯=1.

Exercice 12 Amérique du Nord, Mai 2007

(5 points) Le plan complexe est muni d’un repère orthonormal direct¡

O;→−u,→−v¢

SoitAle point d’affixezA=i etBle point d’affixezB=e⁻ⁱ^5π⁶ . 1. Soitrla rotation de centreOet d’angle2π

3 . On appelleCl’image deBparr.

a. Déterminer une écriture complexe der.

b. Montrer que l’affixe deCestzC=e⁻ⁱ^π⁶. c. ÉcrirezBetzCsous forme algébrique.

d. Placer les pointsA,BetC.

2. SoitDle barycentre des pointsA,BetCaffectés respectivement des coefficients 2,−1 et 2.

a. Montrer que l’affixe deDestzD= p3

2 +1

2i. Placer le pointD.

b. Montrer queA,B,CetDsont sur un même cercle.

3. Soithl’homothétie de centreAet de rapport 2. On appelleEl’image deDparh.

a. Déterminer une écriture complexe deh.

b. Montrer que l’affixe deEestzE=p

3. Placer le pointE. 4. a. Calculer le rapport zD−zC

zE−zC

. On écrira le résultat sous forme exponentielle.

b. En déduire la nature du triangleC DE.

Exercice 13 Liban, Mai 2007

^{(5 points)}

(11)

Le plan complexe est muni d’un repère orthonormal direct¡

O;→−u,→−v¢ .

On considère l’applicationf qui à tout pointMd’affixeznon nulle associe le pointM^′=f(M) d’affixez^′tel que : z^′= z

|z|

¡2− |z|¢ .

Le cercleC₁, de centreOet de rayon 1, est représenté sur la figure, donnée en annexe, que l’on complétera au fur et à mesure des questions.

Pourzcomplexe non nul, on notez=re^iα,rétant le module dezetαun argument dez. 1. Montrer quez^′=(2−r)e^iα.

2. Déterminer l’affixea^′du pointA^′, image parf du pointAd’affixea=3.

3. SoitBle point d’affixeb= −p 3+i.

a. Écrirebsous forme exponentielle.

b. Déterminer l’affixeb^′du pointB^′, image du pointBparf. 4. PlacerA,B,A^′etB^′sur la figure.

5. a. Déterminer l’ensembleEdes pointsMdu plan privé du pointOdont l’image parf estO.

b. ReprésenterEsur la figure.

6. Montrer que le cercleC₁est l’ensemble des pointsMdu plan distincts deOtels quef(M)=M.

7. Pour cette question,Mest un point du plan, distinct deO, n’ appartenant pas au cercleC₁_. On appelleIle milieu du segment [M M^′] oùM^′est l’image deMparf.

a. Montrer queIappartient àC₁_.

b. Montrer queIappartient à la demi-droite [OM).

c. Sur la figure donnée en annexe est placé un point nomméM₁. Construire le pointM^′₁, image parf du pointM₁.

Annexe

1 2

-1

-2

1 2

-1

-2 ^~^u

~v

O C₁

b

M1

Exercice 14 Inde, Avril 2007

(5 points)

(12)

1. Dans cette question, il est demandé au candidat d’exposer des connaissances.

Le plan complexe est rapporté au repère orthonormal direct¡

O;−→u,−→v¢

. SoitRla rotation du plan de centre Ω, d’affixeωet d’angle de mesureθ. L’image parRd’un point du plan est donc définie de la manière suivante :

– R(Ω)=Ω;

– pour tout pointMdu plan, distinct deΩ, l’imageM^′deMest définie par ΩM^′=ΩMet¡−−→

ΩM,−−−→

ΩM^′¢

=θ [2π].

On rappelle que, pour des pointsAetBd’affixes respectivesaetb, AB= |b−a|et¡

~ u,−→

AB¢

=arg(b−a) [2π].

Question : Montrer que les affixeszetz^′d’un point quelconqueMdu plan et de son imageM^′par la rotation R, sont liées par la relation

z^′−ω=e^iθ(z−ω).

2. On considère les pointsIetBd’affixes respectiveszI=1+i etzB=2+2i. SoitRla rotation de centreBet d’angle de mesureπ

3.

a. Donner l’écriture complexe deR.

b. SoitAl’image deIparR. Calculer l’affixezAdeA.

c. Montrer queO,A etB sont sur un même cercle de centre I. En déduire queO AB est un triangle rectangle enA. Donner une mesure de l’angle¡−−→

O A,−−→

OB¢ . d. En déduire une mesure de l’angle¡

~ u,−−→

O A¢ . 3. SoitT la translation de vecteur−→

IO. On poseA^′=T(A).

a. Calculer l’affixez_A′deA^′.

b. Quelle est la nature du quadrilatèreOI A A^′? c. Montrer que−π

12est un argument dez_A′.

Exercice 15 Amérique du Sud, Novembre 2006

(5 points) Le plan complexe est rapporté au repère orthonormal¡

O;−→u,−→v¢

. On prendra pour unité graphique 1 cm.

1. Question de cours

On rappelle que : « pour tout vecteur→−

wnon nul d’affixez, on a :|z| = k→−

wket arg (z)=³−→ u;−→

w´

».

SoientM,NetPtrois points du plan, d’affixes respectivesm,netptels quem6=netm6=p.

a. Démontrer que : arg³p−m n−m

´

=

³−−→

M N;−−→

MP´ . b. Interpréter géométriquement le nombre¯¯¯p−m

n−m

¯¯

¯. 2. On considère les pointsA,B,CetDd’affixes respectives :

zA=4+i, zB=1+i, zC=5i et zD= −3−i.

Placer ces points sur une figure.

3. Soitf l’application du plan dans lui-même qui, à tout pointMd’affixez, associe le pointM^′d’affixez^′tel que :

z^′=(1+2i)z−2−4i.

a. Préciser les images des pointsAetBparf.

b. Montrer quef admet un unique point invariantΩdont on précisera l’affixeω.

4. a. Montrer que pour tout nombre complexez, on a :

z^′−z= −2i(2−i−z).

(13)

b. En déduire, pour tout pointMdifférent du pointΩ, la valeur de M M^′

ΩM et une mesure en radians de l’angle³−−→

MΩ;−−−→

M M^′´ .

c. Quelle est la nature du triangleΩM M^′? d. SoitEle point d’affixezE= −1−ip

3. ÉcrirezE sous forme exponentielle puis placer le pointEsur la figure. Réaliser ensuite la construction du pointE^′associé au pointE.

Exercice 16 Nouvelle - Calédonie, Novembre 2006

^{(5 points)}

Les parties A et B sont indépendantes.

On considère l’équation (E) :

z³−(4+i)z²+(7+i)z−4=0 oùzdésigne un nombre complexe.

Partie A

1. a. Montrer que (E) admet une solution réelle, notéez1.

b. Déterminer les deux nombres complexesaetbtels que, pour tout nombre complexez, on ait : z³−(4+i)z²+(7+i)z−4=(z−z₁)(z−2−2i)(az+b).

2. Résoudre (E).

Partie B Dans le plan muni d’un repère orthonormal direct¡

O;−→u,−→v¢

, on considère les trois pointsA,B etC d’affixes respectives 1, 2+2i et 1−i.

1. ReprésenterA,BetC.

2. Déterminer le module et un argument de2+2i

1−i. En déduire la nature du triangleOBC. 3. Que représente la droite (O A) pour le triangleOBC? Justifier votre affirmation.

4. SoitDl’image deOpar la rotation d’angle−π

2 et de centreC. Déterminer l’affixe deD.

5. Quelle est la nature deOC DB?

Exercice 17 Antilles-Guyane, Septembre 2006

Le plan est rapporté à un repère orthonormal direct¡

O;→−u,−→v¢ .

On désigne par AetBles points d’affixes respectives 2 et 3. On fera un dessin (unité graphique 2 cm) qui sera complété selon les indications de l’énoncé.

La question1est indépendante des questions2et3.

1. a. Résoudre dans l’ensemble des nombres complexes l’équation : z²−4z+6=0.

(14)

b. On désigne parM1etM2les points d’affixes respectives : z1=2+ip

2 et z2=2−ip 2.

Déterminer la forme algébrique du nombre complexez1−3 z1 . En déduire que le triangleOB M1est un triangle rectangle.

c. Démontrer sans nouveau calcul que les pointsO,B,M1etM2, appartiennent à un même cercleC _que l’on précisera.

Tracer le cercleC et placer les pointsM₁etM₂sur le dessin.

2. On appellef l’application du plan qui à tout pointMd’affixez associe le pointM^′d’affixez^′définie par l’égalité :

z^′=z²−4z+6.

On désigne parΓle cercle de centreAet de rayonp

2. Ce cercle ne sera pas tracé sur le dessin.

a. Vérifier l’égalité suivantez^′−2=(z−2)². b. SoitMle point deΓd’affixez=2+p

2e^iθoùθdésigne un réel de l’intervalle ]−π;π]. Vérifier l’égalité suivante :z^′=2+2e^2iθet en déduire queM^′est situé sur un cercleΓ^′dont on précisera le centre et le rayon. TracerΓ^′sur le dessin.

3. On appelleDle point d’affixed=2+

p2+ip 6

2 et on désigne parD^′l’image deDparf. a. Écrire sous forme exponentielle le nombre complexed−2.

En déduire queDest situé sur le cercleΓ.

b. À l’aide la question 2.b, donner une mesure de l’angle³−→ u,−−→

AD^′´

et placer le pointD^′sur le dessin.

c. Démontrer que le triangleD AD^′est équilatéral.

Exercice 18 France, Septembre 2006

(5 points) Dans le plan complexe muni du repère orthonormal¡

O;−→u,−→v¢

, on considère les pointsMetM^′d’affixes respec- tiveszetz^′. On posez=x+iyetz^′=x^′+iy^′, oùx,x^′,y,y^′sont des nombres réels.

On rappelle quezdésigne le conjugué dezet que|z|désigne le module dez.

1. Montrer que les vecteurs−−→

OMet−−−→

OM^′sont orthogonaux si, et seulement si, Re(z^′z)=0 . 2. Montrer que les pointsO,MetM^′sont alignés si, et seulement si, lm(z^′z)=0.

Applications

3. Nest le point d’affixez²−1. Quel est l’ensemble des pointsMtels que les vecteurs−−→

OMet−−→

ONsoient orthogonaux ?

4. On supposeznon nul.Pest le point d’affixe 1 z²−1.

On recherche l’ensemble des pointsMd’affixeztels que les pointsO,NetPsoient alignés.

a. Montrer que µ 1

z²−1¶³ z²−1´

= −z²

¯¯

¯¯1 z²−1

¯¯

2

.

b. En utilisant l’équivalence démontrée au début de l’exercice, conclure sur l’ensemble recherché.

Exercice 19 Polynésie, Septembre 2006

(4 points)

(15)

1. Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct¡

O;−→u,−→v¢ .

On posea=3,b=5−2i etc=5+2i. On désigne parA,BetCles points d’affixes respectivesa,betc.

SoitMun point d’affixezdu plan, distinct des pointsAetB.

a. Montrer queABCest un triangle rectangle isocèle.

b. Donner une interprétation géométrique de l’argument du nombre complexe z−3 z−5+2i. c. Déterminer alors l’ensemble des pointsMd’affixeztels que z−3

z−5+2isoit un nombre réel strictement négatif.

2. SoitΓle cercle circonscrit au triangleABCetΩle point d’affixe 2−i.

a. Donner l’écriture complexe de la rotationrde centreΩet d’angle−π 2.

b. Déterminer l’imageΓ^′deΓpar la rotationr. Déterminer une équation paramétrique deΓ^′.

Exercice 20 Amérique du Nord, Juin 2006

(5 points) Dans le plan complexe rapporté à un repère orthonormal direct¡

O;−→u,−→v¢

(unité graphique 2 cm), on considère les pointsA,BetCd’affixes respectiveszA=2,zB=1+ip

3 etzC=1−ip 3.

Partie A

1. a. Donner la forme exponentielle dezBpuis dezC. b. Placer les pointsA,BetC.

2. Déterminer la nature du quadrilatèreOB AC.

3. Déterminer et construire l’ensembleDdes pointsMdu plan tels que|z| = |z−2|.

Partie B

À tout pointMd’affixeztel quez6=zA, on associe le pointM^′d’affixez^′défini par : z^′= −4

z−2. 1. a. Résoudre dansCl’équationz= −4

z−2.

b. En déduire les points associés aux pointsBetC.

c. Déterminer et placer le pointG^′associé au centre de gravitéGdu triangleO AB.

2. a. Question de cours :

Prérequis : le module d’un nombre complexe z quelconque, noté|z|, vérifie|z|²=zz où z est le conjugué de z.

Démontrer que :

– pour tous nombres complexesz1etz2, |z1×z2| = |z1| × |z2|; – pour tout nombre complexeznon nul,

¯¯

¯¯1 z

¯¯

¯¯= 1

|z|.

b. Démontrer que pour tout nombre complexezdistinct de 2 :

¯¯z^′−2¯¯= 2|z|

|z−2|.

c. On suppose dans cette question queMest un point quelconque deD, oùDest l’ensemble défini à la question 3 de la partie A.

Démontrer que le pointM^′associé àMappartient à un cercleΓdont on précisera le centre et le rayon.

TracerΓ.

(16)

Exercice 21 Antilles - Guyane, Juin 2006

^{(5 points)}

1. Dans le plan complexe rapporté à un repère orthonormal¡

O;−→u,−→v¢

, on considère les points – Ad’affixea,a∈R;

– Bd’affixeb+i,b∈R;

– Cimage deBdans la rotation de centreAet d’angleπ 3.

a. Déterminer une relation entreaetbpour que le pointCappartienne à l’axe³ O;→−

v´ . b. Exprimer alors l’affixe du pointCen fonction dea.

2. Dans cette question, on posea=p

3 etb=0. On considère les pointsC d’affixec= −i etDd’affixed= 2+p

3−2ip 3.

a. Quelle est la nature du triangleABC? b. Calculer le quotientd−a

c−a. Que peut-on en déduire pour le triangleAC D?

c. Déterminer l’affixe du pointEimage deDdans la rotation de centreAet d’angleπ 3. d. Déterminer l’affixe du pointFimage deDdans la translation de vecteur−→

AC.

e. Déterminer la nature du triangleBE F.

Exercice 22 Asie, Juin 2006

(4 points) Le plan complexe est muni d’un repère orthonormal direct¡

O;→−u,→−v¢

On rappelle que pour tout vecteur→−

wnon nul, d’affixez, on a :

|z| = k−→

wket arg(z)=

³−→ u;→−

w´

à 2πprès.

Partie A – Restitution organisée de connaissances

Prérequis : On sait que sizetz^′sont deux nombres complexes non nuls, alors : arg(zz^′)=arg(z)+arg(z^′).

Soientzetz^′deux nombres complexes non nuls. Démontrer que : arg³z

z^′

´

=arg(z)−arg(z^′).

Partie B On noteAetBles points d’affixes respectives−i et 3i.

On notef l’application qui, à tout pointMdu plan, d’affixez, distinct deA, associe le pointM^′d’affixez^′telle que :

z^′=iz+3 z+i. 1. Étude de quelques cas particuliers

a. Démontrer quef admet deux points invariantsJetKappartenant au cercle de diamètre [AB].

Placer ces points sur le dessin.

(17)

b. On noteCle point d’affixec= −2+i. Démontrer que le pointC^′, image deCparf, appartient à l’axe des abscisses.

2. Pour tout pointMdu plan distinct deAetB, démontrer que : arg¡

z^′¢

=

³−−→

M A;−−→

MB´ +π

2 à 2πprès.

3. Étude de deux ensembles de points

a. Déterminer l’ensemble des pointsMd’affixeztels quez^′soit un nombre complexe imaginaire pur.

b. SoitMd’affixezun point du cercle de diamètre [AB] privé des pointsAetB. À quel ensemble appartient le pointM^′?

Exercice 23 Centres étrangers, Juin 2006

(4 points)

Partie A – Restitution organisée de connaissances Prérequis : On rappelle les deux résultats suivants :

(i) Sizest un nombre complexe non nul, on a l’équivalence suivante :

½|z| =r

argz=θà 2πprès ⇐⇒

½z=r(cosθ+isinθ)

r>0 .

(ii) Pour tous nombres réelsaetb:

½cos(a+b)=cosacosb−sinasinb sin(a+b)=sinacosb+sinbcosa. Soientz1etz2deux nombres complexes non nuls.

Démontrer les relations :

|z1z2| = |z1||z2|et arg(z1z2)=arg¡

z1)+arg(z2¢

à 2πprès.

Partie B

Pour chaque proposition, indiquer si elle est vraie ou fausse et proposer une démonstration pour la réponse indi- quée. Dans le cas d’une proposition fausse, la démonstration consistera à fournir un contre-exemple. Une réponse sans démonstration ne rapporte pas de point.

On rappelle que sizest un nombre complexe,zdésigne le conjugué dezet|z|désigne le module dez. 1. Siz= −1

2+1

2i, alorsz⁴est un nombre réel.

2. Siz+z=0, alorsz=0.

3. Siz+1

z =0, alorsz=i ouz= −i.

4. Si|z| =1 et si|z+z^′| =1, alorsz^′=0.

Exercice 24 France, Juin 2006

(5 points) On considère le plan complexePrapporté à un repère orthononnal direct¡

O;−→u,−→v¢

. Dans tout l’exercice,P\_{O_} désigne le planPprivé du point origineO.

(18)

1. Question de cours

On prend comme pré-requis les résultats suivants :

– sizetz^′sont deux nombres complexes non nuls, alors : arg(zz^′)=arg(z)+arg(z^′) à 2kπprès, aveckentier relatif ;

– pour tout vecteur−→

wnon nul d’affixez, on a : arg(z)=

³−→ u ;−→

w´

à 2kπprès, aveckentier relatif.

a. Soitzetz^′des nombres complexes non nuls, démontrer que : arg³z

z^′

´

=arg(z)−arg(z^′) à 2kπprès, aveckentier relatif.

b. Démontrer que siA,B,Csont trois points du plan, deux à deux distincts, d’affixes respectivesa,b,c, on a :

arg³c−a b−a

´

=³−→

AB,−→

AC´

à 2kπprès, aveckentier relatif.

2. On considère l’applicationf deP\_{{O} dans}P\{O} qui, au pointMdu plan d’affixez, associe le pointM^′ d’affixez^′définie parz^′=1

z. On appelleUetVles points du plan d’affixes respectives 1 et i.

a. Démontrer que pourz6=0, on a : arg¡

z^′¢

=arg(z) à 2kπprès, aveckentier relatif.

En déduire que, pour tout pointMdeP\{O}, les pointsMetM^′=f(M) appartiennent à une même demi-droite d’origineO.

b. Déterminer l’ensemble des pointsMdeP\{O} tels quef(M)=M.

c. Mest un point du planPdistinct deO,UetV, on admet queM^′est aussi distinct deO,UetV. Établir l’égalité :

z^′−1 z^′−i =1

i µz−1

z+i

¶

= −i µz−1

z−i

¶ . En déduire une relation entre arg

µz^′−1 z^′−i

¶ et arg

µz−1 z−i

¶

3. a. Soitzun nombre complexe tel quez6=1 etz6=i et soitMle point d’affixez. Démontrer queMest sur la droite (UV) privée deUet deVsi, et seulement si, z−1

z−i est un nombre réel non nul.

b. Déterminer l’image parf de la droite (UV) privée deUet deV.

Exercice 25 La Réunion, Juin 2006

^{(5 points)}

Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct¡

O;−→u,−→v¢

. L’unité graphique est 2 cm.

On désigne par i le nombre complexe de module 1 et d’argument+π 2. On réalisera une figure que l’on complétera au fur et à mesure des questions.

1. Résoudre dans l’ensembleCdes nombres complexes l’équation : z−4

z =i.

Écrire la solution sous forme algébrique.

2. Résoudre dansCl’équationz²−2z+4=0. Écrire les solutions sous forme exponentielle.

3. SoientA,B,A^′etDles points du plan complexe d’affixes respectives : a=2, b=4, a^′=2i et d=2+2i.

Quelle est la nature du triangleODB?

4. SoientEetFles points d’affixes respectivese=1−ip

3 etf =1+ip 3.

Quelle est la nature du quadrilatèreOE AF?

(19)

5. SoitC le cercle de centreAet de rayon 2. SoitC^′le cercle de centreA^′et de rayon 2.

Soitrla rotation de centreOet d’angle+π 2.

a. On désigne parE^′l’image par la rotationrdu pointE. Calculer l’affixee^′du pointE^′. b. Démontrer que le pointE^′est un point du cercleC^′_.

c. Vérifier quee−d=³p 3+2´¡

e^′−d¢

. En déduire que les pointsE,E^′etDsont alignés.

6. SoitD^′l’image du pointDpar la rotationr. Démontrer que le triangleE E^′D^′est rectangle.

Exercice 26 Polynésie, Juin 2006

^{(5 points)}

Le plan complexe est muni du repère orthonormal direct¡

O;→−u,→−v¢

(unité graphique 2 cm).

On appelleAetBles points du plan d’affixes respectivesa=1 etb= −1.

On considère l’application f qui, à tout pointMdifférent du pointB, d’affixez, fait correspondre le point M^′ d’affixez^′définie par :

z^′=z−1 z+1. On fera une figure qui sera complétée tout au long de cet exercice.

1. Déterminer les points invariants def, c’est-à-dire les pointsMtels queM=f(M).

2. a. Montrer que, pour tout nombre complexezdifférent de−1 :

¡z^′−1¢

(z+1)= −2.

b. En déduire une relation entre¯¯z^′−1¯¯et|z+1|, puis entre arg (z^′−1) et arg(z+1), pour tout nombre complexezdifférent de−1.

Traduire ces deux relations en termes de distances et d’angles.

3. Montrer que siMappartient au cercleC _{de centre}_B et de rayon 2, alorsM^′ appartient au cercleC^′_de centreAet de rayon 1.

4. Soit le pointPd’affixep= −2+ip 3.

a. Déterminer la forme exponentielle de (p+1).

b. Montrer que le pointPappartient au cercleC_.

c. SoitQle point d’affixeq= −poùpest le conjugué dep.

Montrer que les pointsA,P^′etQsont alignés.

d. En utilisant les questions précédentes, proposer une construction de l’imageP^′du pointP par l’applicationf.

Exercice 27 Liban, Mai 2006

(5 points) Le plan complexe est muni d’un repère orthonormé direct¡

O;→−u,→−v¢

. On prendra 2 cm pour unité graphique.

SoitAle point d’affixe i etBle point d’affixe 2.

1. a. Déterminer l’affixe du pointB1image deBpar l’homothétie de centreAet de rapportp 2.

b. Déterminer l’affixe du pointB^′image deB1par la rotation de centreAet d’angle π 4. Placer les pointsA,BetB^′.

2. On appellef la transformation du plan dans lui-même qui, à tout pointMd’affixez, associe le pointM^′ d’affixez^′tel que :

z^′=(1+i)z+1.

a. Montrer queBa pour imageB^′parf.

(20)

b. Montrer queAest le seul point invariant parf. c. Établir que pour tout nombre complexezdistinct de i :

z^′−z i−z = −i.

Interpréter ce résultat en termes de distances puis en termes d’angles.

En déduire une méthode de construction deM^′à partir deM, pourMdistinct deA.

3. a. Donner la nature et préciser les éléments caractéristiques de l’ensembleΣ1des pointsMdu plan dont l’affixezvérifie|z−2| =p

2.

b. Démontrer quez^′−3−2i=(1+i)(z−2).

En déduire que si le pointMappartient àΣ1, alors son imageM^′parf appartient à un cercleΣ2, dont on précisera le centre et le rayon.

c. TracerΣ1etΣ2sur la même figure queA,BetB^′.

Exercice 28 Inde, Avril 2006

(5 points) Le plan complexe est muni d’un repère orthonormal¡

O;→−u,→−v¢

On posez0=2 et, pour tout entier natureln,zn+1=1+i

2 zn. On noteAnle point d’affixezn. 1. Calculerz1,z2,z3etz4et vérifier quez4est un nombre réel.

Placer les pointsA0,A1,A2,A3etA4sur une figure.

2. Pour tout entier natureln, on poseun= |zn|.

Justifier que la suite (un) est une suite géométrique puis établir que, pour tout entier natureln: un=2

µ 1 p2

¶n

.

3. À partir de quel rangn0tous les pointsAnappartiennent-ils au disque de centreOet de rayon 0,1 ? 4. a. Établir que, pour tout entier natureln,zn+1−zn

zn+1 =i.

En déduire la nature du triangleO AnAn+1.

b. Pour tout entier natureln, on poseℓnla longueur de la ligne briséeA0A1A2...An−1An. On a ainsi :ℓn=A0A1+A1A2+...+An−1An.

Exprimerℓnen fonction den. Quelle est la limite de la suite (ℓn) ?

Exercice 29 Amérique du Sud, Novembre 2005

(5 points) Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct¡

O;→−u,→−v¢

Soitf l’application qui, à tout pointMdu plan d’affixeznon nulle, associe le pointM^′d’affixez^′telle quez^′=4 z, oùzdésigne le nombre complexe conjugué dez.

1. Déterminer l’ensemble des points invariants parf.

2. Déterminer l’ensemble des points dont l’image par l’applicationf est le pointJd’affixe 1.

3. Soitαun nombre complexe non nul. Démontrer que le pointAd’affixeαadmet un antécédent unique par f, dont on précisera l’affixe.

4. a. Donner une mesure de l’angle³−−→

OM,−−−→

OM^′´

. Interpréter géométriquement ce résultat.

b. Exprimer¯¯z^′¯¯en fonction de|z|. Sir désigne un réel strictement positif, en déduire l’image parf du cercle de centreOet de rayonr.