DEVOIR MAISON N° 4 TERMINALE S 5 EXERCICE 1 1. On considère l’équation (E) dans l’ensemble des nombres complexes définie par :

DEVOIR MAISON N° 4 TERMINALE S 5

1. On considère l’équation (E) dans l’ensemble des nombres complexes définie par : z² - 6z + 12 = 0 . a) Résoudre l’équation (E) ; on note u et u ses solutions, u étant celle dont la partie imaginaire est positive.

b) Calculer le module et un argument de u ; en déduire le module et un argument de u .

2. a) On considère le nombre complexe u - 4 ; écrire ce nombre complexe sous forme algébrique, puis sous forme trigonométrique.

b) Calculer le module et un argument du nombre complexe 4 u

u− ; en déduire le module et un argument du nombre complexe

4 u u− .

3. Dans le plan complexe rapporté à un repère orthonormé (O ; u,vr r

) , on note A le point d’affixe 4, B le point d’affixe 2 et C le point d’affixe 6 ; M et N sont les points d’affixes u et u .

a) Démontrer que les points O, A, M et N sont sur un même cercle que l’on précisera.

b) Démontrer que les points B, C, M et N sont aussi sur un même cercle que l’on précisera.

c) Construire les deux cercles ainsi obtenus et les points M et N.

EXERCICE 2

Dans le plan complexe rapporté à un repère orthonormé (O ; u,vr r

) (d’unité graphique 2 cm) , on considère le point A d’affixe 2, le point 0 A' d’affixe 2 i et le point ₀ A milieu du segment [₁ A₀ A' ]. Plus généralement, si ₀ A est un point_n d’affixe z , on désigne par n A' le point d’affixe in z , et par n A le milieu de [n An A' ]. On note n r et n θn le module et un argument de z ._n

1. a) Déterminer les affixes des points A , 0 A', 0 A , 1 A', 1 A , 2 A',2 A . Placer ces points sur une figure.3

b) Calculer r , ₀ r , ₁ r , ₂ r et ₃ θ₀, θ₁, θ₂, θ₃.

2. a) Pour tout entier n , exprimer zn₊1 en fonction de z ; en déduire n z en fonction de n .n

b) Etablir les expressions de r et _n θ_n en fonction de n .

c) Déterminer la limite de r quand n tend vers l’infini. Interpréter géométriquement ce résultat.n

d) Comparer les modules et les arguments de z et _n z_n+8. 3. Etablir que ₁ 1 ₁

n n 2 n n

A A+ = A A− . Après avoir exprimer A A_{n n}+₁ en fonction de n , déterminer, en fonction de n , la longueur l de la ligne brisée _n A A A ...A . Déterminer la limite de _{0 1 2 n} l lorsque n tend vers l’infini._n