Constructions règle-compas

NOM : ENONCE ET FEUILLE – REPONSE Respecter les consignes.

Partie A

Le texte ci-dessous s’inspire d’un texte attribué à Jean Billan et daté de 1564 (?).

Il s’agit de construire un carré de même aire que le rectangle, à la règle non graduée et au compas.

Soit ABCD le rectangle donné, de côtés a et b. On supposera que AB = a et que BC = b.

On construit successivement

• E milieu de [BC]

• F l’intersection du cercle, de centre C et de rayon CE, et de la demi-droite [CD)

• la perpendiculaire à [CD] passant par F

• G une des intersections du cercle de centre D et rayon DE, et de la perpendiculaire à [CD] passant par F.

Jean Billan affirme que le carré de côté [FG] a la même aire que le rectangle.

Il suffirait alors de construire un carré s’appuyant sur [FG].

Il s’agit de savoir, avec des moyens « modernes », si la construction permet d’obtenir ce qui est souhaité.

1) Ecrire DE en fonction (à l’aide) de a et b.

2) Ecrire DF en fonction de a et b.

3) Présenter alors un calcul de GF.

4) Conclure.

Partie B

Le quadrillage indique l’unité de longueur et d’aire. Construire à la règle et au compas un segment de longueur 35 . On ne s’interdit pas d’utiliser les facilités offertes par le quadrillage.

NOM : ENONCE ET FEUILLE – REPONSE Respecter les consignes.

Partie C

On a placé quatre points A, B, C et D sur un cercle tels qu’indiqués sur le dessin. Le quadrilatère ABCD est convexe et ses diagonales se coupent en J.

1) Construire le symétrique du triangle JBC par rapport au point J. On nomme R le symétrique de B et S le symétrique de C.

2) Le triangle JRS vérifie-t-il les contraintes suivantes : il est isométrique à JBC et R est sur (JA) et S est sur (JD) ? Si oui, prouver que les longueurs des côtés de JBC sont proportionnelles aux longueurs des côtés de JAD.

Si non, expliquer pourquoi.

Rappel : th. : l’image d’un segment par une symétrie (centrale ou axiale), par une translation ou par une rotation est un segment de même longueur.

éléments pour un corrigé.

Partie A

Le texte ci-dessous s’inspire d’un texte attribué à Jean Billan et daté de 1564 (?).

Il s’agit de construire un carré de même aire que le rectangle, à la règle non graduée et au compas.

Soit ABCD le rectangle donné, de côtés a et b. On supposera que AB = a et que BC = b.

On construit successivement

• E milieu de [BC]

• F l’intersection du cercle, de centre C et de rayon CE, et de la demi-droite [CD)

• la perpendiculaire à [CD] passant par F

• G une des intersections du cercle de centre D et rayon DE, et de la perpendiculaire à [CD] passant par F.

Jean Billan affirme que le carré de côté [FG] a la même aire que le rectangle.

Il suffirait alors de construire un carré s’appuyant sur [FG].

Il s’agit de savoir, avec des moyens « modernes », si la construction permet d’obtenir ce qui est souhaité.

1) Ecrire DE en fonction (à l’aide) de a et b.

Par exemple, DE =

2

2 b

a + 4 2) Ecrire DF en fonction de a et b.

Si a ≥ b/2, alors DF = a – ^b

2 ; Si a ≤ b/2, alors DF = ^b 2 – a 3) Présenter alors un calcul de GF.

E et G étant sur le cercle de centre D de rayon DE, DE = DG, donc (cf. 1)) DG = a^{2 b2} + 4 .

(GF) étant perpendiculaire à [DC] en F, le triangle DFG est rectangle en F, donc (th. de Pythagore) DG² = DF² + FG² donc FG² = DG² – DF² .

En remarquant que

2 2

b b

a a

2 2

 −  = − 

   

    , on obtient FG² =

2 2

2 b

a 4

 

 + 

 

  –

b 2

a 2

 − 

 

  = a^{2 b2} a^{2 b2} ab

4 4

 

+ − + − 

  = ab.

D’où GF = ab .

4) Conclure. Le carré ayant pour côté GF a une aire égale à ab. La construction est donc exacte.

Partie B

Le quadrillage indique l’unité de longueur et d’aire. Construire à la règle et au compas un segment de longueur 35 . On ne s’interdit pas d’utiliser les facilités offertes par le quadrillage.

éléments pour un corrigé.

Partie C

On a placé quatre points A, B, C et D sur un cercle tels qu’indiqués sur le dessin. Le quadrilatère ABCD est convexe et ses diagonales se coupent en J.

1) Construire le triangle JRS symétrique du triangle JBC par rapport au point J, tel que R est l’image de B.

2) Le triangle JRS vérifie-t-il les contraintes suivantes : il est isométrique à JBC et R est sur (JA) et S est sur (JB) ?

Si oui, prouver que les longueurs des côtés de JBC sont proportionnelles aux longueurs des côtés de JAD.

Si non, expliquer pourquoi.

Rappel : th. : l’image d’un segment par une symétrie (centrale ou axiale), par une translation ou par une rotation est un segment de même longueur.

Les triangles JRS et JBC sont bien isométriques (en utilisant le rappel et un cas d’isométrie), mais le point R n’est pas sur (JA).

Dans le cas d’une erreur de construction du symétrique de JBC, certains obtiennent le dessin (inexact) ci-dessous ; on peut alors faire le raisonnement qui suit :

S est l’image de B par s symétrie centrale de centre J, J est l’image de J par s, et T est l’image de C par s (th.1)

JR = JB et JS = JC et RS = BC (th.2)

JRS et JBC sont isométriques

(les points R et B étant homologues) SRJ JBCn=n. Les points A, B, C et D sont sur le même cercle, et

DBCnet DACn interceptent le même arc DCp (th.3)

DBCn=DACn n n

JBC DBC= et DAJ DACn=n (évident) et DBC = n nDAC

DAJ JBCn= n SRJ JBCn=n

DAJ SRJn=n (th.4)

(DA)//(RS) J, S, D alignés J,R,A alignés (th.5 de Thalès)

JR JS RS JA=JD=AD

JR = JB et JS = JC et RS = BC JB JC BC

JA=JD=AD

Donc les longueurs des côtés de JBC sont proportionnelles aux longueurs des côtés de JAD.

th.1: l’image d’un segment par une symétrie (centrale ou axiale), par une translation ou par une rotation est un segment de même longueur.

th.2 : deux triangles ayant leurs côtés deux à deux égaux sont isométriques.

th.3 : deux angles inscrits d’un cercle interceptant le même arc sont de même mesure.

th.4 : étant donnée une sécante à deux droites, si les angles correspondants sont égaux alors les deux droites sont parallèles.

Th.5 : si deux droites (AA’) et (BB’) sont parallèles et si (AB) et (A’B’) sont sécantes en C alors CA CA ' AA '

CB =CB' = BB'