D647. Petit format sur grand format ***
On jette au hasard une photo de format 10×15 à l’intérieur d’un agrandissement de cette même photo au format 30×45. Montrer qu’il existe un point et un seul commun aux deux photos.
Construire ce point à l’aide d’une règle et d’un compas.
Solution de Claude Felloneau
SoitABC Dle rectangle représentant la photo agrandie etA0B0C0D0le rectangle représentant la photo initiale.
Il existe une unique similitude directe f du plan transformantA enA0etB enB0. Son rapport est A0B0
AB =1
3, son angle estα=
³−→
AB,−−−→
A0B0´
. f transformeABC DenA0B0C0D0. Comme le rapport de f est différent de 1, f admet un unique point invariantΩqui est le seul point commun aux deux photos.
Pour la construction deΩ. On distingue 2 cas :
• Si (AB) est parallèle à (A0B0), alors f est une homothétie et son centreΩ est le point d’intersection des droites (A A0) et (B B0) ou des droites (CC0) et (DD0) si les précédentes sont confondues.
• Si (AB) n’est pas parallèle à (A0B0), alors les droites (AB) et (A0B0) se coupent en un point I tel que³−→
I A,−−→
I A0´
≡
³−→
AB,−−−→
A0B0´
≡α≡
³−→
ωA,−−→
ΩA0´
[π]. DoncΩappartient au cercle CA passant parA,I et A0. De même,Ωappartient au cercleCB passant parB,I etB0. CommeA0B0C0D0est contenu dans le rectangleABC D, les droites (A A0) et (B B0) sont sécantes et les cerclesCAetCBsont donc sécants en deux points. L’un est le pointIet l’autre le pointΩ.
page 1 / 1
