D656. La construction du vieux taupin ***
D6. Constructions avec règle et compas
Construire à la règle et au compas un triangle dont on connaît la surface, le périmètre et un angle.
Source: Ross Honsberger - A typical problem on an entrance exam for the Ecole Polytechnique
Solution proposée par Jean Nicot
On connait l’angle α du sommet A, le périmètre 2p et la surface S fournie comme l’aire d’un carré de côté k.
On connait les constructions très élémentaires du milieu d’un segment, de la bissectrice d’un angle, d’une perpendiculaire en un point d’un segment, d’une parallèle à une droite, de la quatrième proportionnelle entre des segments, de la moyenne géométrique de deux segments.
On note a, b, c les côtés du triangle ABC, r le rayon de son cercle inscrit.
S=pr = k² soit r/k = k/p d’où la construction de r= KR avec AP=p, PS=AK=k et SR parallèle à PK.
A partir d’un point A et de son angle α, on trace sur une perpendiculaire à un côté la longueur r et on trace une autre perpendiculaire qui sera une parallèle au côté utilisé, à une distance r. Elle coupera la bissectrice de A en un point pris comme centre I du cercle inscrit que l’on projette sur le côté initial en C’. AC’ a donc une longueur L égale à p-a. On connait donc la longueur PC’=a= p-L ainsi que b+c = 2p-a = p+L = AU
D’autre part S=1/2 bc sin α =rp soit 4bc=8rp/sin α. est donc la moyenne géométrique de 4r/sin α et 2p H4R4 est parallèle à AP à une distance AH4 == 4r et R4’A=AR4 AQ2 = 2 * AQ puis AZ moyenne géométrique.
Sur l’ angle droit UAH4, on a le côté AU=p+L=b+c et l’hypoténuse tracée avec un cercle centre U de rayon AZ qui détermine sur le second côté de l’angle droit AV égal à b-c.
Connaissant b+c et b-c, on obtient facilement avec AV= AW= AW’ les longueurs 2b=UW et 2c= 2W’ ce qui détermine b=AC=UW/2 et c=AB=UW’/2. La définition du triangle est complète et sa construction terminée.
construction.
Construction de r et a
Construction de et de b-c, puis b et c et segment BC
