D656. La construction du vieux taupin
Construire à la règle et au compas un triangle dont on connaît la surface, le périmètre et un angle.
Source: Ross Honsberger - A typical problem on an entrance exam for the Ecole Polytechnique Solution proposée par Claudio Baiocchi
Suivant des critères désormais (malheureusement) désuets, l’Ecole Polytechnique a refusé tout élève dont l’épreuve ne commençait pas par une sentence du type :
Soient trois nombres réels strictement positifs avec . La condition nécessaire et suffisante pour l’existence d’un triangle de surface , de demi-périmètre , et tel que , est donnée par :
le cas d’égalité correspondant à un triangle isocèle par rapport au côté comme base. Lorsque est remplie le triangle est unique, et on va montrer comment le construire à la règle et au compas
Ce qu’une figure peut nous dire
Dans la figure suivante on a tracé : un triangle avec ; le cercle inscrit (en rouge : centre , rayon , points de tangence avec les côtés) ; et le cercle exinscrit dans l’angle (en bleu : centre , rayon , point de tangence avec la droite de ).
On est intéressé à la mesure des segments et . Pour ce qui concerne on part de la bien connue propriété (le semi périmètre de ; donc
et
. Pour ce qui concerne on a
et donc
La propriété (l’égalité étant possible si et seulement si les deux cercles sont tangents) s’écrit donc
Naturellement on peut traduire le rayon inscrit en termes du semi périmètre et de la surface , grâce à la bien connue formule ; en aboutissant ainsi à la formule . On remarquera que l’égalité correspond uniquement au cas où bissectrice et hauteur sortant de coïncident, donc isocèle.
Remarque 1 La longueur du côté BC coïncide avec la longueur du segment . En fait les segments de chacun des couples , et ont même longueur ; la somme des six segments étant , la somme de trois éléments pris un dans chaque couple vaut (qu’on a vu être la longueur de ) ; donc la longueur du segment coïncide avec la longueur de . Du point de vue algébrique on a :
Construction de la figure (première méthode)
Lorsque les grandeurs { } sont données avec , on peut reconstruire une grande partie de la figure précédente, à savoir :
En fait il suffit d’inscrire dans un angle de mesure un cercle (rouge) de rayon ; et un cercle bleu tangent en un point T’ construit avec . Les cercles sont disjoints (sauf au plus un point de bord commun) grâce à qui équivaut à ; et il ne reste qu’à construire une droite tangente commune séparant les deux cercles ; droite qui coupe les côtés de l’angle en et .
Remarque 2 Une des possibles méthodes pour construire à la règle et au compas les tangentes communes à deux cercles sera indiquée plus loin. Dans le cas de la figure les tangentes communes sont quatre, dont deux sont les côtés de l’angle ; les deux autres (coïncidentes si ) sont symétriques par rapport à la bissectrice ; en particulier aussi les triangles qu’on obtient sont symétriques, donc égaux.
Remarque 3 On va désormais abandonner les propriétés liées au cercle exinscrit et on décrira d’autres constructions, toutes basées sur le fait que, à partir du triplet , on peut évaluer la longueur du côté ; voir Remarque 1.
Naturellement toute construction va échouer si les données ne satisfont des conditions de compatibilité convenables ; mais les différentes méthodes qu’on verra semblent mal adaptées à l’obtention de la condition nécessaire et
suffisante .
Trois autres constructions
Ayant obtenu la valeur de , d’après la formule on peut évaluer la longueur de la hauteur sortant de ; la figure suivante, relative au cas d’un angle aigu, ne nécessite alors pas d’explications ; par contre il ne semble pas banal ramener le couple de restrictions « » ( doit être > 0) et « suffisamment petit » (la droite doit couper l’arc de cercle) à la condition nécessaire et suffisante .
Pour une autre construction (elle aussi basée sur la connaissance de , mais sans aucun doute plus compliquée) on va employer le cercle circonscrit. La loi des sinus fournit son rayon
; et une formule peu connue due à Euler dit que la distance entre l’incentre O et le centre du cercle circonscrit vaut Le point est donc à l’intersection de deux cercles : le cercle de centre et rayon et le cercle de centre O et rayon . Encore une fois lire de la figure suivante la condition nécessaire et suffisante ne semble pas facile.
Comme dernier exemple d’utilisation de la connaissance de on va encore faire usage de
: on trace le cercle de centre A et rayon et on remarque que la droite joignant les sommets et doit être une tangente commune à ce cercle et au cercle inscrit :
Naturellement cette fois les tangentes doivent laisser les deux cercles du même côté ; la condition , nécessaire et suffisante pour l’existence de la solution, est bien loin d’être évidente. De la figure on voit que le rayon ne doit pas être trop grand (sinon pas de tangentes communes, car le cercle rouge serait interne à l’autre) ; le fait que ce rayon ne doit non plus être trop petit est peut-être moins évident, mais il suffit d’y réfléchir un petit moment car dans tout triangle chaque hauteur est strictement plus grande que le diamètre inscrit ! Par ailleurs la figure suivante montre ce qui peut se passer lorsque la condition est violée : les tangentes communes laissent les cercles du même côté, mais un des côtés de l’angle est coupé « du mauvais côté », et le cercle qu’on espérait être le cercle inscrit est en fait un cercle exinscrit :
Remarques finales Dans deux cas sur quatre on a utilisé la construction de tangentes communes à deux cercles ; on va discuter le problème du tracement de ces tangentes. Suivant la mesure des rayons et la position réciproque des centres, et laissant de côté les cas limites où les tangentes sont 0 ou (un des cercles est à l’intérieur de l’autre, ou les deux cercles ont même rayon et même centre) le nombre de tangentes communes peut varier de 1 à 4 ; dans les figures suivantes sont les centres des centres ; par rapport aux figures précédentes la bissectrice a été remplacée par la droite joignant les centres et les points nommés n’ont rien à voir avec les notations précédentes.
On trace un rayon dans le cercle de centre .
On trace dans l’autre cercle le diamètre parallèle à .
On trace la droite et on note son intersection avec la droite .
On trace la droite et on note son intersection avec la droite .
A partir de et/ou de on mène les tangentes à un des cercles qui (si existent) sont aussi tangentes à l’autre.
On remarquera chacune des tangentes tracées en bleu laisse les deux cercles du même côté ; tandis que chacune des tangentes tracées en vert sépare les deux cercles, qui sont de côtés opposés par rapport à la droite. Par ailleurs les tangentes de même couleur sont symétriques par rapport à la droite des centres.
