D654. Tangentes à deux cercles
Problème proposé par Yves Foussard
Deux cercles et leur centres sont dessinés sur une feuille de papier.
Comment Zig et Puce, le premier avec une règle seule et le second avec un compas seul, opèrent-ils pour déterminer les positions des tangentes communes à ces deux cercles, selon que les deux cercles sont sécants, tangents ou non sécants?
Nota:On suppose que la position d'une droite est déterminée dès lors que l'on a tracé deux points de cette droite
.
ZIG :A la règle seule : On sait construire à la règle seule la polaire d'un point par rapport à un cercle ou par rapport à deux droites parallèles. On sait construire la parallèle passant par un point donné à deux droites données parallèles .On construit la polaire du centre C par rapport au cercle (C') et la polaire du centre C' par rapport au cercle (C). On obtient deux droites parallèles (D) et (D').
On construit un point I de la polaire de C' par rapport aux droites (D) et (D').
La polaire (Δ) de I par rapport à (D) et (D') passe par C' et est parallèle à (D) et (D').
De même on sait construire (Δ') passant par C et parallèle à (D) et (D').
Les points (Δ)∩(C) et (Δ')∩(C') permettent de construire les deux centres K et L d'homothétie de (C) et (C').
Si K est extérieur à (C), sa polaire par rapport à (C) coupe (C) en deux points, et deux tangentes communes à (C) et (C') s'obtiennent en joignant K à ces deux points. Idem avec le point L.
PUCE avec un compas seul : Je n'ai pas traité cette partie.
