D660 – Objectif 2019 [*** à la main et avec l’aide éventuelle d’un automate]
Zig a tracé trois points A,B,C qui forment un triangle équilatéral de côté 6. Il confie à Puce une règle et un compas et lui demande de tracer des cercles et leurs centres à condition que chaque cercle soit circonscrit à un triangle dont les trois sommets ont déjà été tracés.
Q₁ Démontrer qu’avec cinq cercles Puce parvient à tracer un point dont la distance qui le sépare d’un point déjà tracé est strictement supérieure à 10.
Q₂ Puce peut-il prouver sans effectuer tous les tracés à la règle et au compas qu’avec moins de cent cercles il obtient deux points séparés par une distance > 2019.
Pour les plus courageux disposant du logiciel Geogebra : trouver le plus petit nombre possible de cercles que Puce doit tracer pour obtenir deux points séparés par une distance > 2019.
Solution proposée par Daniel Collignon Q1
D = centre cercle circonscrit à ABC E = idem pour ABD
F = idem pour ADE G = idem pour CBF H = idem pour BCG
Le rayon du cercle circonscrit d'un triangle de côtés a,b,c vaut : R = abc/racine((a+b+c)(-a+b+c)(a-b+c)(a+b-c))
Cette formule permet de montrer que HA=(22/3)*racine(3) Q2
Continuons avec I = idem pour BDE J = idem pour ACI K = idem pour ACJ L = idem pour ACD M = idem pour CDL N = idem pour ABM O = idem pour ABN
Nous obtenons alors un nouveau triangle équilatéral HKO de côté 16 (en effet HD=(16/3)*racine(3)=KH*racine(3)/3)
Voir figure en pièce jointe.
Ainsi par l'ajout de 12 points, le diamètre est multiplié par 16/6=8/3
Pour la dilatation suivante, nous pouvons économiser le centre commun aux triangles équilatéraux, à savoir D.
Ainsi en ajoutant 11*4 points, nous obtenons un triangle équilatéral de côté 6*(8/3)^5 = 2^16/3^4 de l'ordre de 809.
En ajoutant encore 7 points (comme pour la construction des points E à K), nous obtenons alors un diamètre de
6*(8/3)^6 = 2^19/3^5 de l'ordre de 2157.
Ainsi par l'ajout de 12+11*4+7=63 points, nous répondons largement à la question.
Pour autant la valeur 63 doit certainement pouvoir encore être abaissée... d'où la question Q3 !
