D654. Tangentes à deux cercles Problème proposé par Yves Foussard Deux cercles et leurs centres sont dessinés sur une feuille de papier.
Comment Zig et Puce, le premier avec une règle seule et le second avec un compas seul, opèrent-ils pour déterminer les positions des tangentes communes à ces deux cercles, selon que les deux cercles sont sécants, tangents ou non sécants?
Nota : On suppose que la position d'une droite est déterminée dès lors que l'on a tracé deux points de cette droite
Proposition de solution
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Puce :Construction d’une tangente commune à deux cercles uniquement au compas.
Appelons C1 et C2 les centres des deux cercles.
Dans la page suivante, je propose différentes constructions de base uniquement au compas (*) : http://therese.eveilleau.pagesperso-orange.fr/pages/truc_mat/textes/compas/compas.html Cette animation donne les constructions de base utiles à la plupart d’autres constructions géométriques.
1°)
Chercher d’abord le centre d’homothétie qui permet de transformer le cercle de centre C1 en le cercle de centre C2 .
a)
On va tracer deux parallèles passant par chacun des centres des deux cercles.
dans l’un des cercles choisir un point quelconque M1 qui permet de définir la droite (M1C1 ).
choisir dans l’animation (*) , la construction d’une parallèle à une droite (M1C1) passant par un point C2.
(dans l’animation : parallèle à (AB) passant par C).
On obtient la parallèle (M2C2 ) à la droite (M1C1 ).
-> Il faut maintenant déterminer l’intersection R de cette droite avec le cercle de centre C2.
Pour cela, de M2 tracer un cercle sécant au cercle de centre C2 qui le coupe en P et Q.
et utiliser la dernière des constructions au compas dans (*) :
milieu des arcs d’extrémités P et Q dans un cercle de centre C2. On obtient le point R.
La droite (RM1) avec la droite (C1C2) va permettre de déterminer le centre H de l’homothétie entre les deux cercles.
! Le schéma suivant n’est là que pour la compréhension des étapes. Dans cette construction au compas seul, les droites ne sont pas construites. Ici elles permettent de mieux comprendre le raisonnement utilisé.
C’est pourquoi elles sont dessinées en pointillés.
b)
-
Chercher l’intersection des deux droites sécantes (C1C2) et (RM1). choisir dans (*) , la construction de l’ intersection de deux droites sécantes non
perpendiculaires.Cela nous donne le centre d’homothétie H permettant de passer du cercle de centreC1 au cercle de centre C2.
2°)
-
De ce point H, il suffit de tracer la tangente à l’un des cercles. Cette tangente sera commune aux deux cercles..
si les cercles sont non tangents intérieurement choisir dans (*) , la construction d’une tangente à un cercle menée par un point donné extérieur au cercle.
Le procédé reste le même qu’il s’agisse d’une homothétie positive ou négative.
.
si les cercles sont tangents (l’un intérieur à l’autre une seule tangente extérieure aux deux cercles). choisir dans (*) , la construction d’une tangente en un point du cercle qui est le point de contact.
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Zig : Construction d’une tangente commune à deux cercles uniquement à la règle.
Appelons C1 et C2 les centres des deux cercles.
Je propose cette fois d’utiliser les constructions de la page avec la règle non graduée ici (**) , : http://therese.eveilleau.pagesperso-orange.fr/pages/truc_mat/textes/compas/regle.html
1°)
Chercher d’abord le centre d’homothétie qui permet de transformer le cercle de centre C1 en le cercle de centre C2 .
a)
Même chose que précédemment, en utilisant
choisir dans (**) , la construction d’une parallèle à une droite passant par un point.
Les points d’intersection R et S avec les cercles sont obtenus facilement avec la règle.
b)
-
Chercher l’intersection des deux droites sécantes (C1C2) et (RS) pour obtenir le centre d’homothétie H.Avec la règle pas de souci, il suffit de tracer les droites et de noter leur intersection.
2°)
-
De ce point H, il suffit de tracer la tangente à l’un des cercles.Cette tangente sera commune aux deux cercles.
Pour cela :
si les cercles sont sécants
on va construire la polaire de H par rapport au cercle de centre C1.
Cette polaire coupe le cercle en deux points T et T1 qui sont les points de contact avec le cercle de centre C1 de la tangente commune aux deux cercles.
Nous garderons le point T qui permet de déterminer une des deux tangentes communes , (HT) aux deux cercles.
