D660 – Objectif 2019 [*** à la main et avec l’aide éventuelle d’un automate]
Zig a tracé trois points A,B,C qui forment un triangle équilatéral de côté 6. Il confie à Puce une règle et un compas et lui demande de tracer des cercles et leurs centres à condition que chaque cercle soit circonscrit à un triangle dont les trois sommets ont déjà été tracés.
Q₁ Démontrer qu’avec cinq cercles Puce parvient à tracer un point dont la distance qui le sépare d’un point déjà tracé est strictement supérieure à 10.
Q₂ Puce peut-il prouver sans effectuer tous les tracés à la règle et au compas qu’avec moins de cent cercles il obtient deux points séparés par une distance > 2019.
Pour les plus courageux disposant du logiciel Geogebra : trouver le plus petit nombre possible de cercles que Puce doit tracer pour obtenir deux points séparés par une distance > 2019.
Solution proposée par Jacques Guitonneau
Q1 Soit ABC le triangle équilatéral d’origine. D le centre de ce triangle, et O le milieu de BC et l’origine des coordonnées (axe des X sur droite BC, des Y sur droite OA.
On construit ensuite le point E centre du cercle circonscrit à BCD, de coordonnées (0 ;-√3), puis F centre du triangle équilatéral CDE, de coordonnées (1 ; 0), puis G centre du cercle circonscrit à ABF, de coordonnées (-1 ; 4.√3/3).
Enfin on calcule les coordonnées du centre du cercle circonscrit à ABG. Celui-ci H se trouve sur la droite CDG, et a pour coordonnées x et (3-x) .√3/3 . On HB²=HG², avec HB²=(x+3)²+ (3-x)²/3= (x+1)².4/3 qui conduit à la solution x=-8.
Le diamètre de la figure vaut alors HC de longueur 11.2.√3/3 soit 12,701.
Q2 On peut obtenir une figure d’un diamètre supérieur à 2019, avec beaucoup moins de 400 points ; Je ne propose pas 40 mais 56 points.
On poursuit la figure de la façon suivante : I centre du triangle BDE, puis J centre du cercle circonscrit à ACI, puis K centre du cercle circonscrit à ACJ, L centre du triangle DFI, et enfin L centre du cercle circonscrit à BCL.
Le triangle HKM, obtenu avec 13 points, est équilatéral, de centre D, et de taille augmentée de HD/AD soit 8/3 par rapport au triangle initial.
En répétant l’opération avec 9 points supplémentaires on peut obtenir un nouveau triangle équilatéral de taille multipliée par 8/3
Donc on a les tailles des triangles suivantes : 3 points 6
13 points 16 (il faut construire le centre D de la figure) 22 points 42,7
31 points 113,8 40 points 303,4 49 point 809,1.
Il suffit de 7 points supplémentaires pour obtenir un côté du triangle suivant de taille 2157,5 ; Soit 56 points au total.
Ci-dessus figure schématique de la construction des 13 premiers points.
