D656. La construction du vieux taupin
•Soient le triangleABCet son sym´etriqueA0B0Cpar rapport aux bissectrices de ACB. Les points\ A, B, A0 et B0 sont co-cycliques (cercle Γ1, orthogonal au cercle Γ0de centre C et de rayonCR :
CR2=CA.CB = 2×Aire(ABC) sin α .
• Γ2 (centre I) est le cercle inscrit dans ABC; Γ3 (centre IC) est le cercle exinscrit dans l’angleACB.\
Γ3 est tangent enP et P0 `a CAet CB, et enT et T0 `a AB et A0B0. CP est ´egal au demi-p´erim`etre deABC ou deA0B0C :
CA+AB+BC =CA+AT +T B+BC= CP +CP0
•IIC est un diam`etre deΓ1:
BI\CA= π−I\CAB−ABI\C = π−α
2 = BA\0A AIB\= π−BAI\−\IBA= π+α
2 =AB\0B (les trianglesCAB0 et CBA0 sont isoc`eles)
• D’o`u la construction du vieux taupin (qui a eu le temps de cr´eer une bib- lioth`eque de macro-instructions pour tracer une perpendiculaire, une bissectrice, le milieu d’un segment ou l’inverse d’un point par rapport `a un cercle) :
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Il part des 2 droites ∆1 et ∆2 qui se coupent en C sous l’angleα. Le point P sur∆1mat´erialise le demi-p´erim`etre, et le pointR l’aire du triangle sous la forme CR2=CA.CB = 2×Aire(ABC)
sin α .
N.B. : s’il ne dispose que ded2 =Aire(ABC), il taupine dans un coin de la feuille pour revenir `a la forme indiqu´ee.
Il construit le point IC, puis son inverse I par rapport `a Γ1. Le cercle de diam`etreIIC coupe∆1 et∆2 aux pointsA, B,A0 et B0.
La construction n’est possible que si le demi-p´erim`etre est suffisamment grand.
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