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D656 - La construction du vieux taupin

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Academic year: 2022

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(1)

Construire à la règle et au compas un triangle dont on connaît la surface, le périmètre et un angle.

Source: Ross Honsberger - A typical problem on an entrance exam for the Ecole Polytechnique

Utilisons les notations habituelles : soit ABC le triangle cherché, où a, b, c désignent les longueurs de cotés, S l’aire et p le demi-périmètre. Comme b+c=2p-a,

b2+2bc+c2=4p2-4ap+a2 donc a=p-bc/2p-(b2+c2-a2)/4p. Or 2S=bc sinA, donc bc=2S/sinA et b2+c2-a2 =2bc cosA=4S/tanA

Donc a=p-S(1-cosA)/psinA . Enfin la hauteur issue de A a pour longueur h=2S/a.

Partant d’un segment BC de longueur a, on trace le cercle qui voit BC sous l’angle A (son centre O est tel que OBC=OCB=π/2-A), et la parallèle à BC à distance h, qui coupe le cercle en deux points donnant deux solutions symétriques pour le point A.

D656 - La construction du vieux taupin

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ab c a bc

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