Un produit maximal
Problème D3562 de Diophante
proposé par Dominique Roux
Soit un point M à l'intérieur d'un tétraèdre. Quelle est la position de ce point qui rend maximal le produit des distances de M aux faces du tétraèdre ?
Solution
Soit A, B, C et D les sommets d'un tétraèdre et point Z intérieur au triangle au BCD. On note u, v, w les distances respectives de Z aux plans ACD, ADB, ABC et h la distance de A au plan BCD.
Un point M de AZ se repère par son abscisse relative x (0 pour A ; 1 pour Z).
Ses distances aux faces ACD, ADB, ABC et BCD sont respectivement x*u, x*v, x*w et (1-x)*h, dont le produit vaut K*x3*(1-x).
Ce produit est maximum sur ] 0, 1 [ pour x = 3/4. Autrement dit, le point cherché est au quart de la distance du sommet A au plan de base BCD.
Seul le barycentre G du tétraèdre satisfait cette position quel que soit le choix de la base.
