Première S2 Exercices sur le chapitre 11 : E3. 2007 2008
E3 Savoir construire le barycentre de plusieurs points.
P 190 n ° 30.
Soit ABC un triangle. Soit G le barycentre du système ( A ; 1 ) ; ( B ; 3 ) ; ( C ; 5 ).
Soit H le barycentre du système ( A ; 1 ) ; ( B ; 3 ).
Alors ÄHA + 3 ÄHB = Å0 ⇔ ÄAH = 1 3
3+ ÄAB = 0,75 ÄAB .
Ainsi G est le barycentre de ( H ; 4 ) ; ( C ; 5 ). Ainsi ÄHG = 5 4
5+ ÄHC = 59 ÄHC .
Soit ABC un triangle. Soit G le barycentre du système ( A ; 0 ) ; ( B ; 1 ) ; ( C ; 4 ).
Donc G vérifie ÄGB + 4 ÄGC = Å0 ⇔ ÄGB = 4 1
+4 ÄBC = 45 ÄBC
P 190 n ° 31.
ABCD est un parallélogramme. G est le barycentre du système ( A ; 2 ) ; ( B ; 3 ) ; ( C ; -1 ) ; ( D ; - 3 ).
Alors 2 ÄGA + 3 ÄGB − ÄGC − 3 ÄGD = Å0 ⇔ 2 ÄGA + 3 ÄGA + 3 ÄAB − ÄGA − ÄAC − 3 ÄGA − 3 ÄAD = Å0
⇔ ÄGA = 3 ÄBA + ÄAC + 3 ÄAD = 3 ÄBD + ÄAC ⇔ ÄAG = ÄCA + 3 ÄDB .
N ° 32 p 191.
a. Soient A, B, C et D quatre points du plan tels que 2 ÄAB + ÄCD − 3 ÄAC = Å0.
Pour démontrer que A est le barycentre de B, C et D affectés de coefficients à déterminer, je recherche a, b, et c tels que a ÄAB + b ÄAC + c ÄAD = Å0
2 ÄAB + ÄCD − 3 ÄAC = Å0 ⇔ 2 ÄAB + ÄCA + ÄAD − 3 ÄAC = Å0 ⇔ 2 ÄAB − 4 ÄAC + ÄAD = Å0 2 − 4 + 1 ≠ 0. Donc A est le barycentre du système ( B ; 2 ) ; ( C ; - 4 ) ; ( D ; 1 ).
b. Soient A, B, C et D quatre points du plan tels que 2 ÄAB + ÄCD − 3 ÄAC = Å0.
Pour démontrer que B est le barycentre de A, C et D affectés de coefficients à déterminer, je recherche a, b, et c tels que a ÄBA + b ÄBC + c ÄBD = Å0
2 ÄAB + ÄCD − 3 ÄAC = Å0 ⇔ 2 ÄAB + ÄCB + ÄBD − 3 ÄAB − 3 ÄBC = Å0
⇔ ÄBA − 4 ÄBC + ÄBD = Å0
1 − 4 + 1 ≠ 0. Donc B est le barycentre du système ( A ; 1 ) ; ( C ; - 4 ) ; ( D ; 1 ).
Remarque : ne pas rester trop longtemps sur ces exercices car un des objectifs est l'associativité.
