Classe de première S Année scolaire 2007-2008
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Exercices sur les barycentres dans le plan Exercice 1
ABCD est un parallélogramme de centre O.
1) Ecrire D comme barycentre de O et B affectés de coefficients à déterminer.
2) Ecrire D comme barycentre de A, B et C affectés de coefficients à déterminer.
Exercice 2
ABCD est un carré de coté a = 5 cm, G est le barycentre du système : (A ;2) (B ;-1) (C ;2) (D ;1).
1) Construire les points : a) I barycentre du système : (A ;2) (B ;-1).
b) J barycentre du système :(C ;2) (D ;1).
c) K barycentre du système : (A ;2) (C ;2).
d) L barycentre du système : (B ;-1) (C ;2) (D ;1).
2)a) Montrer que G est barycentre des points I et J affectés de coefficients que l’on déterminera.
b) Montrer que G est le milieu du segment [AL].
c) Construire le point G
3) Déterminer et construire l’ensemble des points M du plan qui vérifient les conditions suivantes : a) 2MA − MB + 2MC + MD = − 2MB + 4MC + 2MD
.
b) 2MA − MB + 2MC + MD = 2MA + 2MC − 4MD .
c) Les vecteurs 2MA−MB+2MC+MD et BC sont colinéaires et de sens opposé.
Exercice 3
ABC est un triangle de centre de gravité G (isobarycentre de A, B, C). On appelle I le milieu de [BC].
La parallèle à (BC) menée par G coupe (AC) en E. Faire la figure et construire le point D défini par AD AB
→ →
=2
1) Montrer que AE AC
→ →
= 2
3 . Trouver les coefficients a et b tels que E soit le barycentre de (A,a) ; (C,b) .
2) Montrer que B est le barycentre de (A , 1) ; (D , 1).
3)a) Montrer que I est le barycentre de (A , 1) ; (D , 1) et (C , 2). En déduire que les points I, D et E sont alignés.
b) Préciser la position de I sur [DE].
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http://www.taye.fr Correction Exercice 1
[ ] [ ]
1) est le centre de donc, est le milieu des segments et DB
0 0 2 0 2 0 2 0 (1)
Donc D est le barycentre des poi
O ABCD O AC
OB OD+= ⇔ OD+DB OD+= ⇔ DB+ OD = ⇔ DB− DO = ⇔ − DB+ DO=
[ ]
nts ( ; 1) et (O; 2).
2) O étant le milieu de alors O est le barycentre de ( ;1)( ;1) 0
0 2 0 2
En reportant ce résultat dans la r B
AC A C OA OC
OA OC OD DA DC DO DA DC
−
⇔ + =
+ = ⇔ + + = ⇔ = +
elation (1) on obtient: 0
Soit D barycentre des points: ( ; 1), (A;1) et (C;1).
Autre démarche: utilisation de l'associativité des barycentres:
D est le barycentre des points ( ; 1
DB DA DC B
B
− + + =
−
−
) et (O; 2) O est le barycentre de ( ;1)( ;1)
lors D est aussi barycentre des points: ( ; 1), (A;1) et (C;1).
On remplace (O; 2) par le système de points: ( ;1)( ;1).
A C
A B
A C
−
Exercice 2
Rappel: G est baryventre des points (A,a)(B,b) 0
En utilisant la realation de Chasles , on peut construire le point G: 0 soit . 1) On utilise ce
aGA bGB
aGA bGA b AB AG b AB a b
⇔ + =
+ + = =
+
tte relation pour placer les points I,J et K:
1 1
; ; .
3 2
pour le point L on utilise l'associativité du barycentre:
L est barycentre des points:( , 1)( , 2)( ,1) et st AI AB CJ CD AK AC
B C D J
= − = =
−
barycentre de ( , 2)( ,1)
On remplace ( , 2)( ,1) par leur barycentre affecté de la somme des coefficients: ( , 3).
Donc L est barycentre des points:( , 1) ( , 3) soit: 3 . 2
C D
C D J
B − J BL= BJ
2) est barycentre des points ( , 2)( ,1)( , 2)( ,1) est barycentre des points ( , 2)( ,1)
est barycentre des points ( , 2)( ,1)
a) D'après l'associativité du barycentre, on a: est aussi barycentre
G A B C D
I A B
J C D
G
−
−
des points: ( , 2 1) ( , 2 1) Soit barycentre des points: ( ,1) ( , 3). Donc est sur la droite ( ).
est barycentre des points ( , 2)( ,1) ( , 2)( ,1), est barycentre des points ( , 1) ( , 2)( ,1) Donc
I J
G I J G IJ
G A B C D L B C D
− +
− −
est aussi barycentre de ( , 2) et ( , 2). G est donc le milieu de [ ].
c) G est donc l'intersection de la droite ( ) et (AL).
G A L AL
IJ
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http://www.taye.fr Figure :
3)a) est barycentre des points ( , 2)( ,1)( , 2)( ,1) 2 2 0 est barycentre des points ( , 1) ( , 2)( ,1) 2 0;.
2 2 4
G A B C D GA GB GC GD
L B C D LB LC LD
MA MB MC MD MG
− ⇔ − + + =
− ⇔ − + + =
− + + =
2 2 4
2 4 2 4 2 4 2 4
La relation 2 2 2 4 2
GA GB GC GD MG
MB MC MD ML MB MC MD ML
MA MB MC MD MB MC MD
+ − + + =
− + + = + − + + =
− + + = − + +
devient:
4 4 . M est sur la médiatrice ( ) du segment [ ] . b) 2MA MB 2MC MD 2MA 2MC 4MD
2MA 2MC 4MD 4MK 2KA 2KC
MG = ML ⇔MG=ML d GL
− + + = + −
+ − = + +
4MD 4MK 4MD 4 car KA KC 0.
Donc l'égalité 2MA MB 2MC MD 2MA 2MC 4MD
est équivalente à : 4 4 . M est sur le c
DK
MG DK MG DK
− = − = + =
− + + = + −
= ⇔ =
ercle ( ) de centre G est de rayon . c) Les vecteurs 2 2 est sont colinéaires et de sens opposés signifie que:
2 2 av
c DK
MA MB MC MD BC
MA MB MC MD k BC
− + +
− + + =
ec 0.
D'où 4 et sont colinéaires et de même sens puis que 0.
4
Donc M est sur la demi droite ( ) d'origine G et de vecteur direct' eur . k
MG k BC GM k BC GM k
BC d
BC
<
= ⇔ = − ⇔ <
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http://www.taye.fr Exercice 3
1) G étant le centre de gravité du triangle ABC, on a: 0 3 0
soit en introduisant le point I: 3 2 0 3 2 0 car
GA GB GC GA AB AC GA AI IB IC GA AI IB IC
+ + = ⇔ + + =
+ + + = ⇔ + = +
0.
2 2
3 2 0 .
3 3
En utilisant le théorème de Thalès, on a:
2 2 2
car [ ].
3 3 3
2 3 2 0 3 2 2 0
3
GA AI AG AI AG AI
AG AE
AE AC AE AC E AC
AI AC
AE AC AE AC AE AE EC A
=
+ = ⇔ = ⇒ =
= = ⇒ = ⇒ = ∈
= ⇔ − = ⇔ − − = ⇔
2 0 2 0
E est donc barycentre des points ( ,1) ( , 2).
2) On a 2 est le milieu de [ ], donc B est barycentre de ( ;1) ( ;1).
3)a) Comme est le milieu de [ ], il
E EC EA EC
A C
AD AB B AD A D
I BC
− = ⇔ + =
= ⇔
est barycentre de ( , 2) ( , 2) 2 2 0 (1) B est barycentre de ( ,1) ( ,1) 0 (2)
0 2 0 2
en remplacant dans la relation (1), on obti
B C IB IC
A D BA BD
BA BD BI IA ID IB IA ID
⇔ + =
⇔ + =
+ = ⇔ + + = ⇔ = +
ent: 2 0
est donc barycentre de ( ,1) ( ,1) ( , 2).
D'après la question 1), E est barycentre des points ( ;1) ( ; 2)
L'associativité du barycentre, donne: est aussi barycentre de ( , 3) e IA ID IC
I A D C
A C
I E
+ + =
t ( ,1).
Les points I, E et D sont donc alignés.
b) est barycentre de ( , 3) et ( ,1) 3
4
D
I E D ⇔ DI= DE
