IE4 Dérivée et barycentre+Correction

Classe de première S Année scolaire 2009-2010

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Interrogation de 1°S : dérivation et barycentre Exercice 1 :

Donner la dérivée et le domaine de définition et de dérivabilité de chaque fonction.

a.

^{f x} ( ) ^{= 3 x}

²

^{+ 2 x + 3}

b.

^{f x} ( ) ⁼ ( ^{2 x}

²

^{+ x} ) ^x

c.

( )

2

3 f x 1

= x

−

d.

( )

³2

1

3 1

f x x x

= − +

e.

^{f x} ( ) ^{= cos 3} ( ) ^x

f.

^{f x} ( ) ( ^{= 4 x + 5} )

⁶

Exercice 2 :

(C) représente une fonction dérivable sur ℝ et la droite T est tangente à (C) au point d’abscisse a.

Dans chaque cas déterminer f’(a) et donner une équation de la tangente T.

Exercice 3 :

Soit ABC un triangle quelconque.

1) Construire : le barycentre G des points pondérés (A; 3) (B ; 3) le barycentre E des points pondérés (B; 3) (C ; 1) le barycentre F des points pondérés (A ; 3) (C ; 1) 2) Soit I le barycentre des points pondérés (A ; 3) (B ; 3) (C ; 1) Démontrer que : A, I et E sont alignés

B, I et F sont alignés C, I et G sont alignés

Que peut-on en déduire pour les droites (AE), (BF) et (CG) ?

3) Déterminer et construire l’ensemble des points M du plan tels que : a) 3MB+MC = 3MA+MC

b) 3MB+MC = 4BE

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http://www.taye.fr Correction Exercice 1

( )

( ) ( ) ^{[ [ ] ]}

( )

2

2

2

3 2 3 est définie sur et dérivable sur , c'est une fonction polynôme.

Sa dérivée est '( ) 2 3 2.

b) 2 est définie sur

a

0; , e ) La foncti

lle est dér on

ivable sur 0; : '( ) 4 1 2

f x x x

f x x

f x x x x

x x

f x x x

= + +

= +

= + +∞ +∞

= + + +

ℝ ℝ

( ) { }

( )

( ) ( )

2

2

2 2

3 4 2

2 2 2

10 3

.

2 2

c) 3 est définie sur 1,1 , elle est dérivable sur chaque intervalle de et:

1

'( ) 6 .

1

1 3 6 6

d) est définie sur et dérivable sur

3 1 3 1

e)

: '( )

f f

f

x x

x x

f x D D

x f x x

x

x x x x

f x D

x x

f

f x

= +

= = − −

−

= − −

− + −

= =

+ = +

ℝ

ℝ ℝ

( ) ( ) ( )

( ) ( )

⁶

( )

⁵

cos 3 est définie est dérivable sur : '( ) 3sin 3 . f) 4 5 est définie est dérivable sur : '( ) 24 4 5 .

x x f x x

f x x f x x

= = −

= + = +

ℝ ℝ

Exercice 2

1 1

1: 2, '(2) et (2) 3, l'équation de la tangente est 2.

2 2

2 : 1, '(1) 0 et (1) 2, l'équation de la tangente est 2.

3 : 1, '( 1) 3 et ( 1) 1, l'équation de la tangente est 2

Courbe a f f y x

Courbe a f f y

Courbe a f f

= = = = +

= = = =

= − − = − = − 3 1

2 2 . 3 : 3, '(3) 1 et (3) 1, l'équation de la tangente est 2.

y x

Courbe a f f y x

= +

= = − = − = − +

Exercice 3

( )( ) [ ]

1) est barycentre des points pondérés ;3 ;3 , c'est le milieu du segment .

1 1

est tel que :3 0 . est tel que: 3 0 .

4 4

G A B AB

E EB + EC = ⇔ BE = BC F FA + FC = ⇔ AF = AC

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( )( )( )

2) Soit I le barycentre des points pondérés ;3 ;3 ;1

vérifie la relation 3 3 0 en utilisant la relation de Chasles avec le point E, on obtient:

3 3 3 0

A B C

I IA IB IC

IA IE EB IE EC

+ + =

+ + + + = ⇔

( )( ) ( )( )

0

3 4 3 0 3 4 0,

3 0 car E est barycentre des points ;3 ;1

Donc I est le barycentre des points ;3 ; 4 , les points A,I et E sont alignés.

Le même ra

IA IE EB EC IA IE

EB EC B C

B E

=

+ + + = ⇔ + =

+ =

( )( ) ( )( )

isonnement appliqué avec les points F et G donne :

I est le barycentre des points ;3 ; 4 , les points B,I et F sont alignés.

I est le barycentre des points ;1 ; 6 , les points C,I et G sont alignés.

Conclu

B F C G

( ) ( ) ( )

sion: es droites , sont sécantes au points E

3 4 , de même

.

3 3 4

Donc 3

)a) Comme 3 0, on a 3 0

3

MB MC ME MA MC MF

MB MC MA MC ME l BF CG et AE

EB EC + = EA FC + =

+

+ = + = ⇒

= + ⇔

[ ]

. Les points M sont sur la médiatrice du segment .

b) 3 4 4 4 .

Les points M sont sur le cercle de centre E et de rayon , il passe par le point B.

MF EF

MB MC BE ME BE ME BE

BE

=

+ = ⇔ = ⇔ =