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( S1.S2.S3.S4 ) ( 3V / 4 ) T T T T

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Academic year: 2022

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D352. Un produit maximal

Problème proposé par Dominique Roux

Soit un point M à l'intérieur d'un tétraèdre. Quelle est la position de ce point qui rend maximal le produit des distances de M aux faces du tétraèdre?

Soient d1,d2,d3,d4 les distances de M aux faces du tétraèdre initial

T

, et S1, S2, S3, S4 les aires des faces de ce tétraèdre

T

. Le volume V de

T

est la somme des volumes des quatre tétraèdres qui ont pour bases les faces de

T

et pour quatrième sommet le point M.

Donc V = V1+V2 +V3 +V4 = (S1.d1+S2.d2+S3.d3+S4.d4) /3.

Le produit V1.V2.V3.V4 = (S1.S2.S3.S4).(d1.d2.d3.d4)/81 est maximal en même temps que le produit d1.d2.d3.d4.

La somme V1+V2 +V3 +V4 étant constante, le produit V1.V2.V3.V4 est maximal quand les quatre termes sont égaux à V/4.

Le point M qui rend maximal le produit des distances de M aux faces du tétraèdre est celui situé aux distances suivantes des faces respectives :

d1 = 3V

4S1 , d2 = 3V

4S2 , d3 = 3V

4S3 , d4 = 3V 4S4 . Le maximum du produit d1.d2.d3.d4 est (3V/4)4

(S1.S2.S3.S4)

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