Universit´e Joseph Fourier L2 MAT233
2013-2014
Contrˆole de connaissance du 09 octobre 2013
Les documents sont autoris´es. Cependant, tout appareil ´electronique est interdit.
Les trois parties de l’´epreuve sont ind´ependantes.
Premi`ere partie
Soitf :R2→Rla fonction d´efinie commef(x, y) = max(x−y,0).
1. Montrer quef est une fonction continue.
2. Montrer que, pour tousP, h∈R2, la limite
∂h+f(P) := lim
t∈]0,+∞[, t→0
f(P+th)−f(P) t
existe dansR. D´eterminer cette limite.
3. D´eterminer l’ensembleU des pointP ∈R2 o`u la fonctionf est diff´erentiable.
4. Montrer queU est un ouvert deR2.
Deuxi`eme partie
On consid`ere la fonction f d´efinie sur le domaineD= [0,1]×[0,1] comme f(x, y) = (1−x)(1−y)(x+y−1).
5. Montrer quef est une fonction conitnue surD.
6. Montrer que la fonctionf atteint son maximum surD en un point deD◦.
7. Montrer que la fonction f est diff´erentiable sur l’int´erieur de D. D´eterminer sa diff´erentielle.
8. D´eterminer tous les points critiques de la r´estriction def `aD◦. 9. Trouver le maximum global de la fonctionf.
10. Application : on admet que l’aire d’un triangle de cˆot´esa, b, cest d´etermin´e par la formule de H´eron
A=p
p(p−a)(p−b)(p−c),
o`u p= (a+b+c)/2 est le demi-p´erim`etre du triangle. D´eterminer l’aire maximale d’un triangle de p´erim`etre 2.
Troisi`eme partie
Soitf une application deRdversR, o`ud>1 est un entier. Pour tout sous-ensemble AdeRd, on dit que la fonctionf estuniform´ement continue surAsi
δ→0lim sup
(x,y)∈A2 kx−yksup<δ
|f(x)−f(y)|= 0.
11. Soit A un sous-ensemble de Rd. Montrer que, si la fonction f est uniform´ement continue surA, alors sa restriction `aAest une fonction continue.
12. On suppose quef est une fonction continue surRd. Montrer que, siAest un sous- ensemble born´e et ferm´e deRd, alors la fonction f est uniform´ement continue sur A. On peut utiliser le th´eor`eme de Bolzano-Weierstrass.
13. On suppose quef est une fonction continue surRd. Soit`∈R. On suppose de plus que, pour toutε >0, il existeM >0 tel que
|f(P)−`|< εquel que soitP ∈Rd v´erifiantkPksup> M. Montrer que la fonctionf est uniform´ement continue sur Rd.
