Sur la fonction semi-continue

B ULLETIN DE LA S. M. F.

Z. DE G EÖCZE

Sur la fonction semi-continue

Bulletin de la S. M. F., tome 39 (1911), p. 256-295

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- 256 —

SUR LA FONCTION SEMI-CONTINUE;

PAR M. ZOARD DE GEOCZE.

Dans un travail antérieur (

) , j'ai exposé la quadrature de deux classes de la surface z =/(.c,y) et j'ai indiqué la quadrature de la surface générale z=f[x^y). Dans ces recherches^ il était né- cessaire de faire usage de certaines propriétés de la fonction semi- continue. Ces propriétés furent établies d'une manière qu'on ne peut considérer comme assez satisfaisante au point de vue de la méthode, car d a n s les démonstrations, il notait pas fait abstrac- tion de la surface. De plus, dans les recherches relatives à la sur- face générale 5==/(.r,y), on ne pourrait suivre que très difficile- m e n t le même chemin. La nécessité s'impose donc d'établir les propriétés en question, en ne considérant que la fonction en elle- même.

Le but de ce travail est de donner ces propriétés de la fonction en faisant abstraction de la surface. Nous remarquons que, selon toute probabilité, les mêmes propriétés suffiront pour la quadra- ture d'une surface quelconque.

(1) Quadrature des surfaces courbes {Mathematische und naturwissen- schaftiichft Berichte ans Ungarn, t. XXVI, 1 9 1 0 ) .

- 257 —

Dans ces recherches, j'ai été obligé d'introduire un nouveau signe au lieu du signe ^ de la sommation. Nous allons exposer l'emploi de ce signe.

Soit x une variable réelle dans l'intervalle (a, [3), (a <^ [3). Nous disons que les points

a == XQ < a-i < a-2 <... < Xi< rr/4-i <... < ;r/_i < xi = ?

forment une division X^'^ de (a, (3).

Etant donnée une suite de divisions X ^ ( ^ = = i, 2, . . .) (

), nous supposons que x^ — .r/ (î === o, i , . . ., lr — i) tende vers zéro

/'

Nous disons que la suite X ^ ( r = = 1 , 2 , . . . ) est de première espèce lorsque les points de sa /

division se trouvent parmi les points de sa (r + i)

^ division (pour cliaque /• == i , 2, . . .).

Soit [i] une valeur formée pour Fintervalle (xi^x^) de X/ : nous écrivons X/[t] au lieu de ^ / [ t ] .

0

Lorsque lim X^[i] existe, nous désignons cette valeur par

r==ao r

X/^[î]. De plus, lorsque cette valeur ne dépend pas de la suite X^., nous la désignons parX[î'].

Soit (u, v) un intervalle partiel de (a, p). Désignons par X^"'^^'] la somme des [i] tels que (x^Xi^) soit compris dans (^, ^ ) e t désignons par X^^^f] la somme des[î] tels que {x^ x^) ait au moins un point commun avec (^, v). Lorsque

\lmX^ ^ [ t ^ l i m ^ ^ r r i^f^^v}[i]=\[mX'i^{^[i],

nous désignons cette limite par X^^^î']. De plus, lorsque cette valeur est indépendante de la suite X^, nous la désignerons par X^[î].

Nous disons que X/ a le quotient u lorsque

u

^

~

—^ - (^y^^ ^ •.•^-î,^y),

u est nécessairement compris entre zéro et un.

(l) Lorsqu'on ne considère que les divisions de (a, ?), on peut écrire X au lieu de X^.

- 288 —

Nous disons q u ^ u n e suite de divisions X.^(r = i , 2, . . .) a un quotient fini lorsqu^l existe un nombre u de manière que chaque division de la suite ait le quotient n.

Dans le Chapitre ï, nous établissons quelques propriétés simples de la fonction semi-continue; les propriétés les plus nécessaires dans la quadrature des surfaces courbes seront exposées dans le Chapitre II.

CHAPITRE 1.

PROPRIÉTÉS GÉNÉRALES DE LA FONCTION.

Soit y(.2-) une fonction réelle, définie pour les points d'un ensemble Q de points situés dans (o, a). Bien e n t e n d u , y(.r) n^est pas nécessairement uniforme et bornée, et pour quelques points x de Q on peut avoir

[ < D ( ^ ) | ==-l-ac.

Nous désignons dans tout ce qui suit par e et ^ des valeurs positives.

(^, v) étîinl un intervalle de (o, a), nous désignerons par^?^/, v) la limite inférieure des valeurs de y ( x ) dont l'argument x (appar- t e n a n t à Q) se trouve dans (tz, ^).

On sait que^ x étant un point ou un point limite de Q,

lim gf(x—£,.r4-iri)

£-1-71=0

existe et que de plus cette valeur est indépendante du mode de variation de e et de T). Nous désignerons celle valeur par g^ (x).

Lorsque pour chaque point x de Q

<p(a0=^(;r),

nous dirons que la fonction est semi-continue (inférieure- ment) (1) .

Dans tout ce qui suit, nous désignons par ^ (x) une fonction

( ' ) La plus grande partie des théorèmes de ce Chapitre et la définition de la fonction semi-continue sont dues à M. Bairc.

— 2S9 -

qui est définie pour tons les points de (o, a), qui est semi-continue et qui n^a pas de valeurs négatives.

THÉORÈME T. — ^(•^) est uniforme. Car g^ (x) l'est et l'on a

<i^)=^(^).

THÉORÈME II. — Sou S positif et donné à l

avance, Pour chaquepoint x' de (o, a) on peut trouver £ et f[ tels que pour les points x de {x

— s, x' -4- 'i\) compris dans (o, a), on ait

(i) <K^)-(K.r)<8 (i).

On a

^(a?^ == lim ^ ( ^ — £ , y ' - + - T i ) . ^(a7)^^4(;r'—£,;r'4-'/}),

£+Tr]=o

el ainsi

^(x')— ^(x)^ lim ^4(.y'-- s, .r'-+-^) — .^(.r'-— £, a?'+ r\).

£ - + - / 1 = 0

On a de plus pour s, •^ assez petits

lim ^(x'- £,a''4-'<i)—^(a''-£,a?'-i--n)<ê;

e-+-Tri=o

donc

<K^)—^(a')<8.

Inversement : lorsque^ pour une fonction ^/{x) définie dans (o, a), ^o/i négative et uniforme^ la condition signalée est remplie^ la fonction est semi-continue.

Diaprés u n théorème de Weierstrass, il existe dans {x'—z,x'-\-r\) au inoins un point x

tel que

^A^) < ^(^- e, x1 -^ r,) + 8;

donc on déduit de (i), en posant x == x

,

<K^/) < ^(^—e, .^+TI) 4-2$.

(

) On pose

^ ^ ' , - ( + 0 0 ) = ^ ^ , , = + - , ^^=°.

— 260 —

A la limite 3 === o, on peut prendre s 4- r[ === o ; donc

^ ( x ' ) ^ Hm g ^ ( x ' — e , x ' •+- T) ).

£ + Y ] = = 0

Mais ayant

^(x

)^ lim ^4(a

—Ê,.r

-+-7)),

£-l-'ïl==0

on aura

(K^')= lim ^ + ( a / — £ , a / + Y î ) ,

£4-Y)==0

c'est-à-dire que ^ (.2?) est semi-continue.

THÉORÈME 111. — Dans chaque intervalle partiel (M, v) de (o, a), il existe au moins un point x

tel que

<KaO=^(M,(Q,

c

est'à-dire que ^ a un minimum absolu dans chaque inter- valle.

On prouve facilement que x étant un point de (o, a) et (Ç,"^) un intervalle quelconque qui contient x

^(a')==Iim^4(Ç,ï]).

YI==Ç

Diaprés un théorème de Weierstrass, il existe dans (//, v) au moins un point x ' tel que pour chaque intervalle (Ç, r\) compris dans («, v) et contenant x ' ^ on ait

^(^)=^(^), ainsi

^ ( y ' ) = = lim^CÇ, TÎ)=^(^).

yi==S

Remarque. — La deuxième partie du théorème II peut aussi servir comme définition de la fonction semi-continue. En prenant au lieu de (i) les inégalités suivantes

<H^) - ^ ( x ) < 8, ^ ( x ) - ^(x

) < 8, la définition sera celle de la fonction continue.

Le théorème présent est Pun de ceux qui montrent une certaine analogie avec les théorèmes sur les fonctions continues. Nous en allons communiquer quelques-uns :

a. L'ensemble des valeurs des minima de ^ (x) est au plus dénombrable.

b. L'ensemble des points x

pour lesquels il existe un intervalle

— 261 —

{x'—s, x' 4- r\)^ de manière que pour les x-^. x' de l'intervalle

^ (a") >> ^ (-^^î e s tî s î ]^ existe, au plus dénombrable.

c. On peut trouver un ensemble dénombrable de points, par- tout dense dans (o, a) et tel qu^en désignant par^(.r — £, x -h^) la limite inférieure des valeurs de ^ {x) pour les points de l'en- semble qui se trouvent dans (x — s, x 4- *^), on ait pour chaque point x de (o, a)

<K» = lim ^4(.y—£,;r-4-ïj).

£ - + - Y 1 = 0 1

d. La somme d'un nombre limité de fonctions semi-continues est aussi une fonction semi-continue.

THÉORÈME IV. — Désignons par o^(^) (A = = = 1 , 2 , ...) des fonctions définies dans (o, a), uniformes^ non négatives^ bor- nées (1) et continues^ ^{x) étant la fonction considérée au débuta on peut trouver des ÇA telles que

00

^(s-) ^^.^^//(•y).

i

Inversement, soient <fh(^) des fonctions comme ci-dessus^ d'ail- leurs quelconques^ la fonction ^î l ^h{^) sera semi-continue.

i

Corollaire. — A est donc la limite de la fonction uniforme,

n

bornée et continue VA y^ (x) pour n = oo. D'après la classification de M. Baire, c'est donc u n e fonction de première classe.

Nous ne démontrerons que la deuxième partie de l'énoncé.

Soit 5 >> o et soit x1 un point de (o, a).

On a

n n-»-l oo

^ <?/^)^^ (p/z(^)â<H.y) =^yA(^).

1 1 i

Choisissons n assez grand pour que nous ayons

n

oS<K^}-^<p,j^)<|.

( ' ) Nous remarquons qu'en désignant par G,, la limite supérieure de y/,, la limite supérieure des G,, peut être égale à + co .

— 262 -

n

La fonction ^ A ^ / i ( x ) est bornée et continue, donc il existe u n (x' — s, x ' -+- 71) tel que pour ses points x on aura

^^(.r')--^^^) < ^ . i i

Donc dans (x

— £, x' -4- r\)

Tt

t^)---^^^^

1

et à plus forte raison

<K^)--<K.r)<o,

et par là (voir théorème II) le théorème est démontré.

THÉORÈME V. — Soit <p (x) une fonction définie dans (o, a), non négative^ d'ailleurs quelconque, uniforme ou non, bornée ou non. La quantité

X ^P ( x^ Xi+1 ) ( v/+i — Xi)

existe.

Son nom est rintégrale par défaut de y dans (o, a) (

) . Son symbole est

r

\ ^(x)dx.

^o

Remarque /. — Lorsque X^ contient X^on aura

X/t ff'9(Xi, X/+1) (Xt+i — Xi) ^ \i^{Xi, Xi+i) (X^ — Xi),

car lorsque {u, v) est compris dans (t, w), g^ {u^>)ïg^ {t, (P).

Remarque I I . — Lorsque

r "

\ (f(x)dx'

^o

(x)dx<-{-y^

^o

(1) DARBOUX, Mémoire sur les fonctions discontinues {Annales de l'École Normale^ 1875).

— 263 —

il existe nécessairement dans chaque intervalle parliel (//., v) de (o, a) des points x tels que y(^') << -(- oo.

Remarque 111. — On a par définition

C "

j ^{x)dx = X^^O/, a^i) 0/4-i - ^).

^///

THÉORÈME V f . — Soit <f(x) une fonction comme ci-dessus et

soit

„/<

I ^(x) dx <4- oo.

^o

Z^m5 c^ cas, pour un intervalle partiel quelconque (^, (;) û?<?

(o,^)

r"

X^^f(.r/, ^-4-1) (^/4-i - ^•) == / ?(.y) ^.

«y,,

Z)<? plus la fonctionw{x) qui est définie par w ( o ) = = o , w{x) == ^ ^ { x ) d x ( o < . r ^ a )

^o

^^^ uniforme^ bornée^ continue et non décroissante.

On a encore^ pour un t compris dans (^, ^),

f ff(x)dv= f ^{x)dx-}- f ^(x)dx.

J fi J\t * /

THÉORÈME VII. — // existe des fonctions semi-continues '^ (.r), telles que dans chaque intervalle partiel de (o, a) il existe des points x' pour lesquels ^ (x ') == -4- oo et que

f ^ ( x ) d x

«^o ait néanmoins une valeur finie.

THÉORÈVÏE VIII. — Soit K>^+ (o, a). L'ensemble des x pour lesquels ^ (x) ^ K est relativement parfait.

L'ensemble des x pour lesquels ^(^);>K. est formé par les points intérieurs de certains intervalles (^A, Vh) {uhïvh')

— 264 -

A == i, 2, . . .) (

) , qui, pris deux à deuXy n'ont aucun point intérieur commun.

Nous appelons ces intervalles^ intervalles adjoints à ^ par R.

Par définition, u n ensemble est r e l a t i v e m e n t parfait ( f e r m é ) lorsqu'il contient son dérivé (l'ensemble de ses points limites).

Désignons par ç un p o i n t limite de l'ensemble des x p o u r les- quels ^ (*r) ^ K .

ç étant un point limite de l'ensemble, quel que soit ( Ç — £ ; Ç + Y ) ) , il existe dans ($ — s, ç + ^ ) des points x ' de l'ensemble et ainsi

donc ^a-e,s+7i)^(^K;

< H O = lim ^ ( Ç - s , ç + r , ) ^ K .

£h-Yl==0

Ainsi Ç appartient à l'ensemble, donc l'ensemble est relativement parfait.

L'ensemble des x pour lesquels A {x) > R est l'ensemble com- plémentaire (

) de l'ensemble ci-dessus. Mais le complémentaire d'un ensemble relativement parfait est formé par l'ensemble des points intérieurs de tels intervalles que nous avons signalé.

THÉORÈME IX. — Lorsque

f <K;r)âto<4-oo,

^o

(1) Toutes les propriétés de + que nous allons établir seront telles, que lors- qu'elles sont valables pour (o, a) elles le seront aussi pour un intervalle partiel quelconque d e ( o , a ) .

Nous pouvons donc supposer que ^ n'est jamais bornée, car dans l'autre cas on peut prendre b > a et définir <^ dans (a, b) de manière que dans (o, b) elle soit non bornée, non négative, semi-continue et que

^

f ^ ( x ) dx < + oo , -

^o et l'on peut changer b en a.

Le nombre des intervalles {u^ v^) tels que u^<. v^ sera donc au moins un.

Pour faire disparaître la distinction qui est causée par le fait que le nombre des intervalles ( u,^ v,,) tels que u^< ^ peut être limité ou non, nous disons que le nombre des intervalles (M,,, v^} tels que u^ v^ est illimité.

(²) Le complémentaire d'un ensemble E compris dans (o,a) est l'ensemble des points de (o,a) qui n'appartiennent pas à l'ensemble E.

— 265 — en prenant K assez grande les quantités

00 00 ,

V A ( P A — ^ ) , V A Ç -^{x')dx

1 \

^

sont aussi petites qu'on le veut.

S o i t 5 ^ ; > o et donné à Favance. On a diaprés la définition de Fintégrale par défaut p o u r un n quelconque

n

KV/.(^~ u,,) ^ C ^(x) dx, i li°-

donc

_^ /.^

K ^ A ( ^ - M A ) ^ / ^>(x)dx, 1 "

ainsi, en prenant

K > 1 Ç ^ ( x ) d x ,

" 1 nous aurons '

^.'(vu— u/t) < ^.

1

Soit s ^> o. L'intégrale par défaut de 'L ayant une valeur finie, on peut choisir une suite X^ telle qu'on ait

< K a " / ) < + 0 0 ( t = I , • • • > ^ — I , ^ = = I , 2, . . . ) .

Prenons un /' assez grand pour que nous ayons r " s

y ^(x)dv——\l,^(Xi,Xi^)(Xi^—XiX -7.

- o 4 .

Soit L une valeur finie plus grande que A (^'/), ((=^ i, . . ., lr— i)- Soit R >> L et prenons K. assez grand pour que nous ayons

oo

LV/<(P/,— u/t)< £-.

•^— 4 1

Prenons n assez grand pour que n o u s ayons •

n oo

V/^/,— U,,}> ^^.'(Vh—Uh).

î l

K étant plus grand que L, chacun des {uhf ^h) est compris dans les (xi,x^).

Supposons par exemple que ( x ^ , x ^ ) contienne quelques-uns par exemple ((/a, ^3), (^g, F») des n premiers (u^i Vh)' Supposons de plus que v^ << / / s -

On aura

^ •'3 • y.('?. r ^» "3 ~j / "+" / < / ~ ^^ u^^ - •r^ )

J" . J" . \J^ \

^'s r r "

~]

-+• / + / —^(V3.Us)(U3—^)\

^ i^i J

^••3 r ^ * 5 ~|

- 4 - ^ ^\ I -^(('s,^)^,-^)

r"i Li-^ J

^ •»•..;

^ / — ^(^^3)[(M3- ^) -t- ( ^ 8 — ^ ) -1- ( ^ 5 — — ^ ) L ' 't' 4

car les trois termes entre parenthèses du membre au milieu ne sont pas négatifs et g^(x^x-,,) n^e.st pas plus grand que chacun des ^(x^uy), ^ ( ^ ^ s ) » ^ ^ ^ ) -

En considérant que g^ (^4,^5) ^ I., on obtient

f -+- f ^ f -^(^^)(^~^)-+-H(^—^)-i-(^—us)].

^r/a ^ " i ^.r,

En faisant la somme des inégalités analogues pour ^===0, ..., /r— i, on aura

n c/ a n

V^ / ^ —X/^+(^,.r/-n)(.r,+i—.r^-+-I.V//(^—^^<i,

i ">' 1° i <2

et, par là,

^ r^

i L^

Corollaire. — Ayant

K ( ^ — ^ ) ^ f ' ^ ( x ) ^ ,

^'111,

— 267 — on aura pour les K. assez grands

K^// (Vh— Uh) < £.

1

THÉORÈME X. — Convenons de dire q u ^ u n ensemble de points d e ( o , a ) est de première catégorie lorsqu^on peul enfermer ses points dans une inunité dénombrable d'intervalles, dont Ja somme de leurs longueurs est aussi petite qu^on le veut. Nous dirons que Fensemble complémentaire d'un ensemble de première caté- gorie est un ensemble de seconde catégorie. Il est évidemment partout dense dans (o, a).

L'ensemble formé par la réunion d'ensembles de première caté- gorie est de première catégorie, même dans le cas ou l'ensemble de ces ensembles est dénombrable. La partie commune à des ensembles de seconde catégorie en nombre dénombrable est un ensemble de seconde catégorie.

Ayant

r "

/ ^)^

^o

V ensemble des x pour lesquels A (.r) = -4- oo est de première catégorie,

Car ses points x sont évidemment situés à Fintérieur des inter- v a l l e s (u/t^ Vh) adjoints à A par un R quelconque et, en prenant K assez grand,

a»

V / t ( P A — M / , )lt\

1

est aussi petite qu^on le veut.

Soit P un ensemble de première catégorie. Soit À > o, donné à l'avance. On peut enfermer P dans certains intervalles (^A, <^) (^ = \, î , . . .) n'ayant pas^ pris deux à deux^ de point intérieur commun^ de manière que

^ ^k

^k ^(x)dx<\.

<— ^tt.

- 268 —

Prenons un K assez grand pour que nous ayons

^°, /*»^ ^

>/. ^(x)dx<:

ï ^

Renfermons l^ensemble P dans des intervalles (^, Wh) tels que K^(^-tk)<\

i - • • • ' • '

• •

' ^ • ' et l'on peut évidemment supposer que ces intervalles n^ont pas, deux à deux, de point intérieur commun.

On aura pour un (/^, w^)

C ^ ( a 7 ) ^ < K ( ^ - ^ ) 4 - V Ç^^^dx,

1 '-4

, ' , '

v^ r^

en désignant par ^ f ^ ( x ) dx la somme des intégrales par

^

^

défaut pour les intervalles qui sont la partie commune des {uhi ^h)

Donc

^^<^^-^^f^<^}^- '

THÉORÈME XI. — Soient ^ (x) et <p (^) des fonctions définies dans (o, a) non négatives.^ et d'ailleurs quelconques. On Œ, en générale

f [<H^)4-y(aO]<^ f ^)dx-^ f ^(x)dx.

•/o *-'o ^o

Lorsque ^ et <p sont semi-continues^ on aura

Ç [ ^ ( - x } ^ ( x ) } d x ^ C ^ x ) d x - + - f ^ ( x ) d x (i).

^ 0 . - ^0 ^ 0

II est évident que nous n'avons à faire la démonstration que

( ' ) On peut démontrer ce théorème à l'aide des intégrales de M. Lebesgue

{voir théorème XIII, corollaire II).

dans le cas où les deux intégrales par défaut du second membre ont une valeur finie; dans Fautre cas, le théorème est évident.

LEMME (<) . — Soit P un ensemble de points de (o,a). Sup- posons qu'il soit tel^ qu'on puisse construire des intervalles situés dans (o, a) qui le renferment dans leurs intérieurs {excepté les points o et a qui^ lorsqu'ils appartiennent à

l'ensemble^ ne peuvent être situés qu'à l'extrémité d'un tel intervalle) et qui n'ont pas^ deux à deux^ de point intérieur commun.

De plus, nous supposons qu^on puisse rendre la longueur de chacun de ces intervalles aussi petite qu'on le veut et que la somme de leurs longueurs puisse être rendue plus petite que rf-4-e, d étant une constante telle que o ^ r f ^ a , £ > o d^ailleurs arbitraire.

Nous appellerons ces intervalles intervalles I.

L/ensemble complémentaire Q de P contient les extrémités des 1 (excepté éventuellement les points o et a).

Nous supposons que, par un certain procédé, on adjoigne à chaque point x de Q un intervalle (t, w) situé dans (o, a) qui le renferme dans son intérieur (excepté, comme ci-dessus, les points o et a).

Soit t^ t^ <^ x << w\ ^ w^ nous considérons les intervalles (^, x), (/i, W(), (^", W i ) aussi comme adjoints à x. Nous appellerons ces intervalles intervalles II.

Soit \ >* o et donné à l'avance.

// existe une division X/ de (o, a), telle que ses intervalles sont intervallesl et II, la longueur de chacun d1 eux est plus petite que )., la somme des longueurs de ses intervalles qui sont de l'ensemble 1 est plus petite que d -4- )..

Démonstration.— Choisissons les intervalles 1 de manière que la longueur de chacun d^eux soit plus petite que ). et que la somme de leurs longueurs soit plus petite que d—\-\. Il existe

( ' ) Ce lemme est une généralisation formelle d'un théorème de M. Borel géné- ralisé par M. Lebesgue.

- 270 —

quelques intervalles ( o , ^ ) , (^1,^2)? (^21^3)5 . . . , tels qu'ils peuvent former les intervalles de la division.

Car le point o appartient ou à P ou à Q. 11 existe donc un intervalle ( o , , y < ) de 1 ou de II tel que x^ — o < X et x^ est un point de Q. Il existe donc un intervalle ( x ^ x ^ ) de 11 tel que x.î — j", <^ X, et ainsi de suite.

Nous allons voir qu'en choisissant convenablement les (a?2ï

ï)1 . . . î («^/<î ^ra+i ) , . . . , et en en prenant quelques-uns de l'ensemble I, nous atteignons le point a à l'aide d'un nombre fini de points a-,/, et le théorème sera démontré.

Supposons qu'il y ait une i n f i n i t é de points Xn. On aura tïmXft=^a. Supposons ç < Œ. Ç appartient ou à P ou à Q. Il

/i=to

existe donc un intervalle (Ç — s, ç 4- r\) de 1 ou de II de l o n g u e u r moindre que X. Soit m le nombre pour lequel Xjn <: £ — s ^^//^i.

On prend

^W-M = ç — s, a7w+2 == S 4- /p

et ainsi lim.y,, >> ç. On démontre de la même manière qu'on peut

ft ïs ao

éviter qu'on ait

lim .r,t == a.

71 = ao

En considérant que, en général, on n'utilise pas tous les I, on voit que la somme des intervalles de la division qui sont pris de l'en- semble l est plus petite que d-}-\.

Soit À > > O . Soit R assez grand pour que, en désignant par (u^ (4)? ( ^ L ^ ) ^

intervalles adjoints à A respectivement à y par K, on ait

06 OO

K

^"^- "A) < 1' K^ «.- u',) < ^,

l 1— oo

I/ ⁽ <-

^{"/. )} +2'' (

^

^-

1 1

Considérons l'ensemble formé par les points intérieurs des ( ^ î ^ ) î ( ^ ^ ) * Cet ensemble est évidemment formé par les points intérieurs de certains intervalles (/<^, Vs) n'ayant pas, d e u x à deux, de point intérieur commun. On a donc

<» 00 00

^..(.',- u,)^ (»4- ^) +]^K.- <) < X,

< i i

- 271 et

•2K^(^—M.ç)<X.

De plus Us et <^j ne peuvent être compris dans aucun des (u^ ^), (u^ v\). On aura donc

^ , ) - 4 - y ( ^ ) ^ K , 4 / ( p , ) - + - < p ( ^ ) ^ 2 K .

Soit P l'ensemble des ^ pour lesquels A (^*) + y (.r)== 4-'», P est évidemment compris dans les (^, Vs)'

Pour chaque point .z* de l'ensemble Q complémentaire de P, on a

^>{X) -+-<p(;c) <-h00.

On p e u t donc trouver (théorème II) s et ^ tels que

£ -4- TI < À , ^(X) < g^(x — £, X -h Ïl) -+- X,

<p(.c) < ^y(.r — £,a7-h ïi) + X et, par suite,

^-^(-C — £, X -+- T))

^ ^(a?) -4- y(.r) < ^(x — e, .r 4- ^) -h ^(a? — s, x -h TQ) -1- aX.

D'après le lemme, on peut construire une division X/, telle que les longueurs de ses intervalles soient plus petites que ^ et que, pour ses intervalles, on ait en général

g^ ( X i , ^+1 ) ^ ^ ( X i , Xi^ ) + ^ ( X^ Xt+i ) -+• ï \,

et pour les intervalles qui ne satisfont pas à cette inégalité

^+<P(.r,,.r^i)^2K,

et la somme des valeurs de aK (x^ — Xi) pour ces derniers inter- valles est plus petite que X.

On aura donc

X/ g^(xi, Xi+i) (x^ — Xi)

^Xi g^(xi, Xi^)(xi^—j;,) -i-X/ g'9(xi,Xi^)(xi^— x i ) -h î X a + X .

Faisons tendre \ vers zéro, nous aurons

( [^(x)-^^(x)}dx^ f\(x)dx-+- f\(x)dx,

«/o '^o ^o

XXXIX. 19

— 272 —

En considérant donc l'inégalité du début, le théorème est démontré.

Remarque. — Le théorème est évidemment vrai pour un nombre limité de fonctions.

CHAPITRE I.

A. — SUITES NORMALES.

THÉORÈME XII. — Soit ^(x) une fonction définie dans (o, a) telle que y 0)^o, d'ailleurs quelconque. Soit, de plus, X^ une suite quelconque de divisions.

Aucune valeur limite de la suite des valeurs

^X/,ly(^)-h.(p(.r^i)J(^4-i—.r/) ( r = î , 2 , .,.) (i) n^ est plus petite que

^a

\ <f(x)dx.

t/O

On a ~~

y(^)^(.2*/,.^-4-i), P^I^^^^-M);

donc

^ [<p(^) + ?(.^-M )] ï ^(xi, x^),

^x//. [y(^) + 0(^+1 )] (^4-1 - Xi) ï X/,^?(.r,, x^) (x^ — xi)

et l'on a

/.<ï

-X/< ^(xi, x^ ) (x^ — xi) = y <p(;r) rf.r.

^o

Remarque. — Considérons dans le plan .ry la figure x = .r,

.r==?(^)-

2 [ ? ( ^ ) + ? ( ^ + 0 ] (^-H—^') est raîre d'un trapèze qui est, dans un certain sens, inscrit dans la figure (fonction).

On a

:jX/,[9(^)+9(^+i)](^i—^,)= ^\i^(xi){xi+^xi^) (.r-i== o, xi^i == a).

(1) Lorsque ? ( o ) = -f. oc, on pose 9(0) = o ; de même, lorsque < p ( a ) = = + x on pose y(«) = o. -i TK / ,

273 —

THÉORÈME XIlt. — A étant comme toujours une fonction dé fi- nie dans (o, a), non négative^ semi-continue; de plus, telleque

f ^ ( x )dx <,-(-<», - , ' • - . . ' î'

^ 0

// existe une suite X/^. ^ divisions de première espèce de quo- tient ^. telle que

i r"

-X/,[<K^)+^(^+i)](^i—^)= / ^(x)dx,

-^ c/o

<°/i remarquant que lorsque A (o) == 4- uo? o'ï prend A» (o)== o ^ ûfe même pour A (a).

Démonstration, — a. Soit ^ (o, a) == c. Soit R > c et 9 > o.

Divisons l'intervalle (c, R) par des points en nombre fini c === co < ci <... < c/».< c/,4.1 <... < Ck = K, de manière que

C I — C Q , . . . , CA—C/I-I, . . . , C A — C / , - I soient pl'is petits que 6.

Désignons par S, l'ensemble de ces x pour lesquels ^(x)^c^

D'après 111 et VHi, cet ensemble existe e t . i l est relativement parfait. Soit d^ sa mesure extérieure au sens de M. Jordan.

.On ^{voir VIU)

o^o?i<a.

Enfermons Si dans des intervalles en nombre fini situés sur (o, rt) de manière que la somme de leurs longueurs soit d^ 4- s, (s, >> o, rfi + £< < a) et que les extrémités de ces intervalles ne soient pas points de S< (exception pour o et a), et que pour ces extrémités on ait

^(^O <t

"

-

Soit d\ le nom collectif de cesî intervalles. On peut, de plus, choisir les d\ de manière qu'à l'extérieur des d\ il existe au moins un intervalle d a n s lequel ^{x) > K (

) . Nous faisons un tel choix.

( « ) Voir la note du théorème VIII.

- 274 —

Désignons par Sa l'ensemble des points pour lesquels A (x} ^Ca et lesquels ne sont pas situés dans l'intérieur des d\ et dont les points o et a ne font pas partie lorsqu'ils forment l'extrémité de l'un des d\. Pour les points de 82, on a encore

^ ( d ? ) > c i .

Sa n'existe pas nécessairement. Mais, lorsqu'il existe, il est relativement parfait, soit d^ sa mesure. On a

d\ -+- si 4- </î< a.

Enfermons Sa dans des intervalles situés sur (o, a), en nombre fini, qui n'ont a u c u n point intérieur commun avec les d\^ de manière qu'à l'extérieur de ces intervalles et à l'extérieur des d\

il existe au moins un intervalle, dans lequel ^(*r)>R. Soit d^ •+- £3 la somme de leurs longueurs

( £ j > 0, di -+- £1 -t- d^ -+- £3 < CL ).

Soit d[, le nom collectif de ces intervalles. Il faut, de plus, que les extrémités des <:/<,, s'ils ne sont pas extrémités des d\ ou de (o, a)y ne soient pas points de Sa, et que, pour ces extrémités, on ait

^(a')<+oc.

Si Sa n'existe pas, soient les d'^ des intervalles tels qu'on obtient lorsque Sa existe et û?a == o? d'ailleurs quelconques.

Soit S;î l'ensemble des x qui ne sont pas situés à l'intérieur des d'^ d[, et aux extrémités communes des d\^ d^ et dont o et a ne font pas partie quand ils appartiennent à des d\ ou à des d'^ et qui satisfont à la condition ^ ( ^ ^ C a . On a encore pour les points

^(.r)>C2.

Si S;» existe, il est aussi relativement parfait. Soit d^ sa mesure.

Enfermons S3 dans des intervalles de nom collectif d'^ situés

dans (o, a), n'ayant a u c u n point intérieur commun avec les

d\^ d'^ et dont le nombre est fini. De plus, nous choisissons les

rfg de manière qu'à l'extérieur des rf;, d^ d^ il existe au moins un

intervalle dans lequel ^ ( . r ) ^ > K . ; que les extrémilés des d . y qui

ne sont pas extrémités de (o, a) et des d\^ d'.^ ne soient pas points

- 275 -

de 83; que de plus, pour ces extrémités on ait

^(x ) << -+- oc.

Soit c/3 4- £3 la somme de leurs longueurs, on a

£ 3 > 0 , ^ l - l - £ i 4 - < / 2 - + - Î 2 + ^ 3 - + - S 3 < ^.

Lorsque 83 n'existe pas, les d'^ seront des intervalles arbitraires, d'ailleurs tels qu'on obtient lorsque 83 existe et d^ = o. Et ainsi de suite.

Nous obtenons un nombre entier positif p ^ À' de manière que (û?i-+- £ 1 ) -+-. ..-h (o?/i4-e/,)-h.. .4-(^-h £,/) < a,

et à l'extérieur des d'^ ..., d\^ ..., d1^ on a A > K . (On voit d'ailleurs qu'on peut prendre p == A'.)

&. Soit X^ une division arbitraire, mais telle qu'on ait

<H.y/)<-+-^ (i=i, . . . , n — i ) .

Soit X^ la division qui est formée par les extrémités des d'^ (A == i, 2, ...,/?) et par les points de X%.

Formons une division X/', qui contienne X^ et qui ait le quo- tient^C).

On observe qu\in intervalle de X^' ne peut contenir plus d'un point de Xj^, et ce point sera une extrémité de l'intervalle de X/'.

Nous choisissons, dans chacun des intervalles ^x.,.^ x'., .^) ( i = i , ..., t^ 2 ^ 4 - i ^ / ' — \ < ^ î t - \ - î ) de X^, un point, de manière que lorsque . 2 - ou ^2/4-1 appartient à X^ le point choisi soit le point de Xj, et que lorsque (^y? x 0,4.,) ne contient aucun point de X^ le point choisi Ç de (.r'.,., x'.^.^^ ) soit tel que

4.(0=^(^-,^,).

( ' ) On peut former une suite de divisions X/^, X/,, ..., de quolieni - » telle que X/, contient XL. Partageons l'intervalle (o, a) en parties égales, de manière qu'entre deux points quelconques voisins de XL il y ait au moins dix points. Les points de X/, seront les points de XL et les extrémités des intervalles égaux, sauf ceux qui sont voisins des points de XL. X/, se construit de la même

manière à l'aide de X/..

— 276 —

La division X/ formée par les points choisis (et par o et a) a évidemment le quotient „-•

Choisissons une valeur finie M, qui est plus grande que les va- leurs de A pour les points de Xj.

Soient, de plus, ( « y , Vs) (s = i , 2, . . . ) les intervalles adjoints à 'b par K.

Posons

^ X / [ ^ ( X { ) 4- ^(x^i)] (Xf+i—x/) = ^\i^(xi)(xi^—Xi-^ ==(/).

Je dis qu'on aura les inégalités suivantes : (a} co^i-+-.. .+c/,-i Û?A+. . .4- Cp-i d p ^ ( l ) ,

(b) ( O i r < ' i ( r f i 4 - £ i ) + . . . 4 - C / , ( â ? A - + - £ A ) - 4 - . . .

-4- Cp(d,,-}- £,,) 4- 48K(£i-+-.. .-4- £,,-+-. .•.+£?)]

oo

4-48^^ Ç ' • H . r ) ^ 4 - ( L + i ) M ^

,

^ •^i

. • • a • • .^

J

(c) Co^i4-...4-CA-iû^+...-4-Cp-iû^ ^(a?)^.

" ' Admettons ces inégalités.

Soit \ ;> o et donné à l'avance. Je dis que la différence des» va- leurs entre lesquelles, d'après (a) et (b)y(V) est compris peutAtre rendue plus petite que X.

La différence positive en question est

[ C i S i - r - . . . 4 - C / , £ / , 4 - . . . - + - ^ £ ^ - h < C i — C o ) û ? l + . . . 4 - ( C / / — C//-i)6/// - + - . . . 4- (c/,——C^i)df,]

-+-48 K(ei4-...4-£/,-+-...4-ep)4-.î8V^ Ç ^(.r)^-h(L-4-i)M^..

i

^ En considérant que

<?/i^K, c / , — c / , - i < 6 (/l = = l , ...,^), <^4-...4-^4-...-4-^< ^^

différence est plus petite que

ac /•p*

a 9 4 - 4 8 V . / + ( ^ ) ^ 4 - 4 9 K ( £ i 4 - . . . 4 - £ A 4 - . . . £ ^ ) 4 - ( L 4 - l ) M ^ , n nt

9 et K sont arbitraires.

- 277 - On prend (Tabord 9 << — •

' 4 a

Diaprés cela, on prend un K >> 9 et tel que IsV-s- f ^r.r)^r<^.

^ ^

On prend un À'> -^r-? et Fon prend £A<" , , ,.. et, d'après cela,K X

1 0 l 4•^9A:IV •

on construit les rfp ...,€3?—

Ainsi/?, L, Mseront déterminés.

On prend enfin // assez grand pour qu'on ait ( L 4 - , ) M ^ < ^

Ainsi, la différence en question sera plus petite que X. Donc à Faide de (c) on conclut que

r "

. (l)^ f ^(a7)d!r-h\.

./o

En prenant donc X/^ =E X/ au lieu de X^, et en prenant- au lieu de À, et en continuant le procède, on aura pour la suite X^, X^, ..., ainsi obtenue

f" ) -X/,.[^(.r()4-^(^-n)](rr^i—^/)^/ ^(x)dx-^——-^

< , - ^o On aura donc, d'après XIIf,

i r "

-X/«[^(al/)4-+(^-^-l)](;r/•-n—^)== / ^{x)dv,

2 »/0

et la suite X / ^ a le quotient-—

DÉFINITION.—Nous dirons que la suite X^ ci-après est normale à A.

c. ]Nous allons démontrer les inégalités (a), (6), (c). On dé- montre facilement (a) en tenant compte de la signification géomé- trique de 1- A(*y/) (.r/^i — ^/-<) et de c^_i rfA et en considérant que

-- 278 — dans les d'. on a

<K^>c/,_

On démontre immédiatement (c), en considérant la définition de l'intégrale par défaut.

Démonstration de (6).

On peut considérer — A ^Xi} (cT^ — ^ i - \ ) comme la contribu- tion du point Xi de X/ à (/).

Nous partageons les xi en trois groupes, l, 1 1 , Tll :

I. X i ^appartient pas à X/ et ^ (.r/) < K. Un tel .r/ est évidem- ment situé à Fintérieur d\ïiï d^

II. X i ^appartient pas à X/ et Fon a

<K.r/)>K.

III. Xi appartient à X/.

Nous allons considérer les contributions des points de ces groupes à (/).

On peut diviser les Xi de 1 compris dans les d'^ (h == const.) en deux classes, a, [3 :

«• ^(Vi)^Ci,\ P. ^ ( X i ) ><•//.

La contribution des a est ^Ch (d^ + e^). On prouve facilement ce fait en supposant que (3 n^existe pas et en considérant la signi- fication géométrique (XII) de — ^(.^), (-^+1 — ^ / - i ) .

Désignons par eh le nombre des intervalles de X / , qui, étant compris dans les d'^ (h === const.), ne contiennent aucun point.T tel que ^(x)^c^

La somme des longueurs de ces intervalles est << s^- Car, pour les points de S^ on a

^(x)^c^

la mesure de S^ est d^i la somme des longueurs des d'^ estû^-j- e^.

L'intervalle le plus petit de X/' a une longueur au moins égale

à ^ (

) - l^onc

, a î^hl' e,<e,.^=^-.

(l) Soit u le quotient de X^', et désignons par x la longueur de son intervalle

- 279 -

11 peut arriver qu^en formant X/, on doive choisir dans chacun de ces intervalles de X/' un point. L'intervalle le plus grand de X/

ayant une longueur au plus égale à —- (() , la contribution des

points p est

^ i s/, l' i [i^a i'\a\

--a-^^-r^T)^^^'

Donc la contribution des points de 1 (A = const.) est

^ c / , ( df, -+-£/,) 4- 48 Ke/,.

En faisant donc la somme de ces quantités pour /<==:!, ..., D, on trouve que la contribution des points 1 est plus petite que le pre- mier terme du second membre de (&).

Chaque point Xi de II est évidemment situé dans un intervalle ( . 2 - , •^'o/j.i) de X/', et l'on a pour ces points

^ ( y / ) = ^ 2 y ^ 2 y + l ) -

Pour les Xi de II, on a A [ x i ) > K. Donc (^,y, ^y+i ) ^{est coîn}- pris à l^intérieur d\in (//,, (^). On a

/'J'2/+^

^(^2/^27+1) ^ 2 y + i - ^ y ) ^ - / ^(x)dr

^ e t

Xi ^ — Xi -i ^ Q^^^ay+i — ^27) ( ² )•

m i n i m u m , on a

. r - ! - ( / ' — i ) ; r — ^ a , rc >-

Pour u = - » on aura

^ > ^a > -^{C T}.

x^ i l ' — t - iV

r — i

M

(1) Soit u le quotient de la division \^ et désignons par x la longueur de son intervalle maximum, on a

x -}- (l — i )ux^a, x^

- ( / - i ) ^ »

On a de plus

(2) On a

. Ga 6a

^T^<-r'

^ 24 or 48/7 . ,. a

^

^^i - •z'. - -7- » ^-n - "c.-, ^ -7- » ^+t - ^, ê ^77 •

— 280 -

DOÏIC

^(^•)(^,^/-^,_.0^48^(^,,^^0(^^^ ^\(x)dx.

• - • • • . • - • • ^ -

La contribution de tous les points de II est ainsi plus petite que ,

4«y^ f ^{x)dx,

, ;i -^

et c'est le deuxième ternie du second membre de (6).

Enfin la contribution d'un point de III est .évidemment plus petite que

^(42^)=^.

Le nombre des points de III étant (L 4- i), on obtient enfin le troisième terme du second membre de (&).

C O K O L L A I R E S .

I.

lim [ CQ di -+-...-+- c/,-1 o^-+-... 4- Cp-i dp ]

/ * "

= lim[ci(^-+-£i)-h-...-4-c/,(^-}-£//)4-...+c/,(^-^£/,)] == j ^ { x ) d x ,

^0 f K == X, G ==3 0, K ( £ i - h . . . - h S / » - h . . .4- £ / , ) = 0].

/*"

II. Désignons par (L) j ^ ( x ) dx Fintégrale de A (.z-), formée

d'après la méthode de M. Lebesgue. On a

r " r '

(L) ^(x)dx= j ^ ( x ) d x r ' ) . r ^ o *-'o

/-»/<

(1) Soit y ( . r ) non négative semi-continue et telle que / y (a*) rf.z*<4-oc.

^o On a, diaprés u n théorème de M. Lebesgue,

( L ) f < H . r ) < ^ 4 - ( L ) F ^ { x ) d x = ( L ) C [ ^ { x ) + y { x } } d x .

-, " 0 - o , Jo

Donc

y rt .<» (l p a

1 ^ { x ) d x + ^ ( x ) d x ^ [ ^ { x ) - ^ - v { x ) } d x .

" P '70 ^O '

Voir XI. — —

— 281 — III. K- étant invariable

lim f co ^i -+-. .. -+- ÇA- i d/, -t-... -h c,,_, dp}

= lim[ci(6/, -h £,) -h...-+- c/,((4-h £/,) -+-.. .-h ^(^-4- £/,)]

=^ 4^)^-^y ^(rr)^ (6=o,£^...-^4-. .+e/,==o).

IV. Pour une suite X^ normale à A on aura

Y\mJ^(xi} 4- ^(vi^ )] O/-H — a-,) === o (x{= const. ).

V.

^X^^ )^f(^•)4-^(.r/-n)](a•/-n—•y/)== /' <}/(rr)^.r,

«^//

la suite X^. élant, bien entendu, normale à »k

THÉORÈME XIV. — Soit ^ la fonction du théorème XIII. Dési- gnons par (Ç, 7i) l'un quelconque des intervalles d. fvoir (a)

de XIII J. L v /

Soit À >> o, un nombre arbitraire.

Xi étant une division, posons (/.)/== i, lorsque Xi est compris dans un (Ç, y,) et A(^.) — ^ (Ç, y.) ^, Posons ().)<==o dans le cas contraire, c'est-à-dire lorsque ^ est ou situé à l'extérieur

^es ( S , ^ ) , ou quoique compris dans un (Ç,YI), lorsqu'on a

^ ( ^ • ) - ^ ( S , î i ) < X .

R ^a/î/ choisi arbitrairement au delà de g'^(o, a), î. e/ to <?^a/i^

rf^ nombres positifs donnés à l'avance^ on peut choisir 9 et les d^ ..., dp une fois pour toutes^ de manière que pour une suite normale à ^, d'ailleurs quelconque, on ait

(A) ^KX/,.(>0/(^•-^î-.^•/--l) < œ,

(B) ^ X/.(^)/<K^•) (^-+-1 - a'/-i) < œ,

dès que r dépasse une certaine limite qui (K, 9, rf,, ..., dp étant fixés) ne dépend que de la suite.

Démonstration. — ,/. Nous supposons que 9 et rf;, ..., d'p sont

- 282 —

choisis. Choisissons dans chacun des (Ç, T\) un (^, y « ) ,

( S < ^ <^ <Ti).

Désignons par

X i << ;y/-4-i -< . . . <, Xmi

les points de la division X^ tels que

^/ ^1 < y/+l <. . . <^m-i < TII ^ a-w.

Les (Ç,-^) et les (Si, 7ii) étant choisis, il est évident qu^en pre- nant r assez grand on aura

^/-l > S? ^w+L< Ï]l

(première condition pour r).

Posons ( i )/== r lorsque i •==. /, ..., m, et posons (i)/== o dans le cas contraire. Bien entendu, nous avons autant de couples /, m que d'intervalles (Ç,ï»).

Posons (a)/== i lorsque xi est compris dans un (Ç, Ç,) ou dans un ("yin^) et posons ( a ) / = = o dans le cas contraire.

Posons, pou ries xi compris dans d'^ (Ji === i,'...,/?),a/==A(^)—c/,.^.

On a, diaprés (a) de XIII, a,^ o.

Soit £ >• o. Je dis que par un choix convenable de 9, des d\^ ..., ci-, et des (Ci, T^) on aura, en prenant r assez grand, (1) -X^(i)/a,(a7(-n—a-,_i) < s,

(2) - KX/,(2)/(.r/+t — ^/-i) < e, ( 3 ) ^(^(.r/K^i-^-i)^.

Admettons ces inégalités. Les points pour lesquels (i)/(X)( === i sont évidemment compris parmi les points pour lesquels (i)('=== « , donc diaprés (i)

-X^(l)l(\)iCti(Xi^i——SCi-.t) < £.

De même, de (2) et (3) on tire

^ K X ^ ( 2 ) / ( X ) , ( a - / ^ — ^ _ i ) < £ ,

^ X ^ ( 2 ) / ( X ) , < i / ( a 7 / ) ( ^ 4 - i — ^ / - i } < £ .

283

^ 'i/î 'H ^'7 — ^

^ '</ ^

?

Lorsque pour un Xi de (Ç, 7,), A (.r,) — g'^ (ç, TJ ) ^r À, on a a, > À, car v.i=^{xi) —Ch-\ cl ^(Ç, 7l) > CA-<. Donc

-X^(i)/(X)/(^4-i—^--i) < £.

Par suite

^ K X ^ ( i ) , ( X ) K ^ 4 - i ~ ^ - i ) < ^- On a donc

^KX^(X),(.r^l-^_l)^iKX^[(î)/-^(2)/J(X),•(^•4-l---^•-l)<

^-^£.

TL ']L À

En prenant donc e << —°—T » (A) est démontre.

On a

K^,

donc A (^') < K + a ^ (pour les Xi compris dans les d^)y on aura ainsi

^x^(i),a)^(^)(^.+-i—.^-i)

< ^ K X / , ( i ) / ( X / ) ( a * / + i — ^ - i ) 4 - -X/,(i)/(X),a,(.r/-+.i--^-.-i) < - . - - + - £ .

^ X ^ ( X ) / ^ ( a ' / ) ( . r / 4 - i — ^ i - i )

^-

.X/J(I},-+-(•2),](X),•<i/(.r/)(.r/-n—a:/-l)^ — -r- £ -4- £.

En prenant donc £ < ,.———.? (B) est démontré.

h. Nous allons maintenant montrer comment on peut satisfaire à (1)^2), (3).

Désignons par 1 la somme des intégrales par défaut de A pour les d'^ (h == i , . . . , / ? ) , c^esl-à-dire pour les (Ç, T^).

Nous choisissons les d'^ de manière qu'on ait

( ' ) (

^ ^») sont les intervalles adjoints à 4' P

' ^-

— ^84 —

Par ces deux conditions, le choix de & eidesd[, . . . , / / , est règle.

Nous choisissons les ( ç i , ^ i ) de manière que :

1° La somme des longueurs des (Ç, Ç , ) et ( ^ i , T i ) , qui se trou- vent dans les d'^ {h == const.), soit plus petite que SA (voir Xlll a);

2° La somme de tous les ^ K ( Ç , — ^ 4 - ^ — ^ , ) soit plus petite

3° La somme II des intégrales par défaut de A pour tous les ($, ^), (^,, Yi) soit plus petite que ÊL-

En prenant r assez grand (deuxième condition), on aura

(}——\\)——'-\I^i^(Xi)(Xi^-Xi-,) <£•

2 4

( Voir corollaire V du théorème X l l l . ) On aura donc de (b)

[(CQdi -4-. . .4- C/,-i^-+-. . .-h C^-i û?p) — I I ]

— •^x/r(ï)t^(s'i)(x^+^—3?i-i) < ^,

et comme II <^» on aura

(c) ^x/r(I)l•tK•r/•)(^4-l--.y(•-l)

— - ( C o r f i 4 - . . . - h C/t-iû?A+. . .-h Cp-i0?p) < £.

On a encore

( d) ^ X/,(i)< ^(xf) (x^i - Xi-, )

= ^ X/r (I)* ^A-i ( ^-+1 — ^-i ) + ^ X/, (i)/ a^a-^i — Xt-i )

=:Corfi4-...-4-c/,-i^+...-i-Cp-i^4-^X^(i),a,(.r^i—.r,-i),

car les termes ^ C A - I (^+, — ^ _ i ) de la somme

^r ^-O)^//-! ( •y/+l —— ^•-l),

— 285 -

pour lesquels A == const., correspondent à un / tel que l^i^m.

[On a autant de couples f, m que de d'^ {h == const. ).]

La contribution de ces pointsà la somme est > c ^ _ , {xm—xi) et la somme des (xni — Xi) (A = const.) est > d^ car

Xm—Xi^'r^— ^

et la somme des '^i — ^ (A == const.) est > ^ (vo^' 1°).

De (c) et (ûî) on tire que

^ X/, (i), ^•(.^•4.1 — ^_) ) < c,

et par là (i) est démontré.

( 2 ) et (3) sont valables au fond de 2° et 3°, tout en prenant r assez grand (voir corollaire V du théorème XIII) et c'est la dernière condition pour /'.

Remarque. — Posons (3)/== i lorsque Xi est compris dans un des d'^ et A ( ^ ) est compris dans ( K — Â , K - + - ) ^ ) et soit (3)< == o dans le cas contraire.

Soit q le nombre entier pour lequel Cq_^ <C K — À ^ C y . Soit ^ un nombre positif arbitraire. En prenant r assez grand,

,X^(3),<K.r,)(.r,-4-i—.r/-i)^(K-r-X)[(û?y4-£y)4-...-+-(^-4-£p)J -4-e'.

Soit (x> o et donné à Pavanée. En prenant K assez grand, (K + X) [(^-+- sy) -+-...-+- (dp -h £„)] < ^

fêtant, bien entendu, invariable.

THÉORÈME XV. — Soit A la fonction de XIII et soit X/^. une suite normale à ^.

Posons (K)<== i lorsque A (xi) >K et posons {K.)i=o lorsque

^ (xi) ^ K. Soit x > o et donné à l

avance.

On peut choisir K arbitrairement au delà d'une certaine limite qui ne dépend que de x, de manière que pour les r assez grands {la grandeur de r dépend de la suite)

<A) ^i,(K)i^(Xi)(xi^-Xi.,, )<•/..

— 386 -

Nous choisissons \^> o arbitrairement, posons w == - et em- ployons le théorème XIV en prenant pour K une valeur telle que

' x ) d x — \ <^/- , Ç ^Ç^di

^0 0

a" (K-4-X)f(rf,,-t-£,).+...+.(û?/,-<-e,,)]<J

b

(voir la démonstration et la remarque du théorème XIV).

Un X i pour lequel (K)(== i est situé : (a) ou à l'extérieur des d'^

(^3) ou à l'intérieur des d'^\ (y) ou il est une extrémité de l'un des d9^

La contribution ^^(xi) (^(+1 — ^-i) des (a) à (A) est d'après ]°

et d'après le corollaire V du théorème XIII, << -^ en prenant /•

assez grand (première condition pour /•). Les points (?) sont de deux espèces, ils satisfont ou ils ne satisfont pas à

^)-^h^)^.

La contribution de la première espèce de ces points à (A) est d'après le théorème XIV, (B), plus petite que w == ^, en prenant r assez grand (deuxième condition pour /•). Les points de la deuxième espèce sont évidemment compris dans les d „, . . .,rf».

Leur contribution a ( A ) est d'après 2° et d'après le corollaire V du théorème XIII, plus petite que J » en prenant r assez grand (troi- sième condition). Enfin les points (v) sont indépendants de r, donc en prenant /• assez grand, leur contribution sera <; 7. Donc

i • 4

la somme en question sera << y,.

THÉORÈME XVI. — Soit Q un ensemble de seconde catégorie de (o, a). Soit ^/{x) une fonction définie sur Q, non négative semi-continue et telle que

f\(x)dxx) dx <-+- oo (l ).

^0

^a

(1) On a par définition j ^(x) dx = X ^(.r,, x^} {x^— ^).

* o

— ^87 —

Le théorème Xlll conserve sa valeur mais X^ aura le quo-

tient , c

est-à-dire qu^il existe une suite de divisions X^ à quo- tient fini (^) telle que

^^[^^^-KK^+i)]^^!—^)^ f ^ ( x ) d x ,

^0

les points de chacune des divisions de la suite étant, bien entendu^ points de Q ( ^ ).

Nous dirons que la suite X/^ est normale à A.

Démonstration. — Nous définissons une fonction ^ (x) pour chaque point de (o, a) de la manière suivante. Lorsque x appar- tient à Q, nous posons

<}/i(^)==^);

dans le cas contraire, nous posons

()/i(;r)== lim ^ 4 ( ; r — e , ; y + ^ ) .

£+y]=o

Ai (a?) est donc ^o, de plus elle est semi-continue. Soi \.x un point de (o, a). Pour un point x quelconque de (x

— s, x ' 4- -r\), on a

+i(^)^^(.r'—e,.r'+ïï),

donc

(o0 ^(^— s, .y^ •n) == ^Gr— s, .y'-+- ïi),

(b) +i(a?')= lim ^(^— £, x'-+- r.) = lim ^ (.y'— e, ^ +-r),

£4--/i=o e+-/i=o

ce qui démontre la proposition.

On conclut de plus de (a) que

f ^,(x)dx^ f ^{x)dx.

•^O */f)

De (b) on conclut que, pour S > o et donné à l'avance et pour a?'quelconque n'appartenant pas à Q, il existe dans chaque

(1) On adjoint les points o et a à Q eb Fon pose <{/(o) == ^(a) = o.

XXXIX. 20

~ â88 -

{x' — s, .2;' 4- ^ ) des x tels de Q que

|^(^-.^)|<8.

Soit X,^ âne division telle que ses points étant points de Q, on

ail pour eux

^(•y)=+(a0<+oo.

D'après le théorème XIII il existe une division X/ de quotient ^»

contenant X,, telle que

| frt^(;r)^---I.X/^(^l(^•)-4- ^1(^4-1)] (^-M-.^) I "

est aussi petite qu'on le veut.

Construisons pour chaque point Xi de X/ un voisinage tel que deux de ces voisinages soient séparés, et tel qu'en choisissant un point x\ quelconque de l'un de ces voisinages, la division de (o, a) formée par les x\ ait le quotient ^. 11 suffit pour cela de prendre les voisinages assez petits.

Lorsque xi est un point de Q, nous prenons x\=xi. Dans l'autre cas, x\ sera un point de Q tel que | ^ {xi) — ^{x^) (, soit assez jpetit pour que

1 1 X/[<K.r;.) -4- +(;r^)] (^ - x,) - l X/[^(^) ^^(^)](^^^)

| 2 • 2

soit aussi petite qu'on le veut.

Par là, en désignant par X^ la division qui est formée par les points x\

F " i

/ ^ ( x ' ) d x — -X/[^(.r/)-+-^(al/-^l)](d7/-^-l—.r;)

^o 2

sera aussi petit qu'on le veut.

En prenant donc X/ au lieu de X^ on obtient, comme dans le théorème XIII, par itération, la suite normale.

Remarque. — Tous les théorèmes que nous avons établis pour la fonction semi-continue qui est définie dans (o, a) sont valables pour la fonction semi-continue définie sur Q, si le théorème n'est

— zo» —-

pas fondé sur le fait que l'intervalle (o, a) est un ensemble parfait.

B. — FONCTION D'APPROXIMATION. — DIVISIONS SEMBLABLES.

THÉORÈME XVII. — Soit A la fonction du théorème XV. Nous supposons qu^il existe une suite m^ (x), m^{x\ . . ., m^Çx), . . ., de fonctions, définies sur Q, non négatives et telles que

i° ms{x)^ms^{x)^{x)^ \\mms{x)=^{x)\

5 = 0 0

2° «Soîï [A >> o donné arbitrairement à V avance et soit x' un point de Q. Pour chaque x1 il existe un (x'—s, x'4-vi) tel que^

lorsque s dépasse une certaine limite^ on ait pour chaque point x de { x — e, x+ïi)

<^/(a•f)—/n,(;r) < {JL.

Bien entendu £, r\ et s dépendent de y. et de x'.

Nous dirons que la fonction ms{x) [qui est un terme de la suite ms{x), 5 = 1 , 2 , . . . ] est une fonction d'approximation de A.

Soient S, 5., x des nombres positifs donnés à l7 avance. Soit X^ une suite normale à ^.

En choisissant une constante K au delà d'une certaine limite qui ne dépend que de x, dès que s dépasse une certaine limite qui dépend de S, \ x^ et dès que r dépasse une certaine

limite qui dépend de la suite X^ :

a. Pour les xi {de la /•^w<? division de la suite X^) qui satis- font à A { x i ) >> K, la somme des valeurs de

^ ( ^ • K ^ - M — — ^ - l )

est plus petite que x.

6. Pour les xi satisfaisant aux deux conditions (i) +(^K, +(.r/)~7n,(^o,

la somme N des valeurs de ^ K ( . r / _ ^ — X i _ ^ ) est plus petite

que À.

- 290 ~

c. Pour les xi qui restent^ on a évidemment

<K.y/)^K, ^(.y/)—/?î,.(.y/)<ô.

Démonstration. — a est évident d'après XV et XVI, et Von voit que le choix du K. ne dépend que de x. Nous choisissons un tel K. Nous n^avons donc à démontrer que 6.

Le complémentaire P de Q est de première catégorie. On peut donc l'enfermer dans un ensemble dénombrable d'intervalles (^, Wk) tels que

——— ^Wk -\

^./ . . ^

•/^.

^ / / ^(x)dx<- (voir X).

^^ ^fi. 4

Lorsque x

est un point de Q et (a, ?) un intervalle qui con- ent x\ on a

^(a,p)~^/)^o.

D'après la définition des ms{x)^ à chaque points' de Q corres- pond un ( x ' — s , ^ + ^ ) de manière que pour les points x de Q situés dans (x

-—£, a^-t-^), dès que s dépasse une certaine limite qui dépend de x

et de 8, on ait

<Ha/)-m^)<|.

Ji

On a donc

^ ( a , p ) — / ^ ( ^ ) < ^

La valeur de K est déjà fixée, nous posons dans le théorème XIV

"\ "' ^ i

^'^ î, w =-et prenons £ << 7. D'après cela, nous choisissons le 6

2 4 4

et construisons les d\, . . . . dp, de manière que le théorème XIV soit valable.

En appliquant le lemme du théorème XI, on voit que pour chaque ( ^ , T(() (théorème XIV) il existe une division telle, qu'en désignant l'un de ses intervalles par (^

, Y/), ou bien il existe un 5, de manière que pour les points x de Q situés dans (S;',^') on ait

^ ( ^ ) - m ^ ) < ^ ( i )

(1) (S> r^ est le d'/t du ihéorémc XIV qui contient le (^, T^) considéré.

- 291 -

(intervalles II), ou un tel s n'existe pas [intervalles [, ces inter- valles sont compris dans les (^? w^)].

Prenons un s plus grand que le plus grand pour tous les H.

Un Xi pour lequel ^ ( ^ - ) ^ K est situé dans un (Ç, Y]) (théo- rème XIV). Donc u n Xi qui satisfait à (i) est situé : ( a ) d a n s ( £ , Ç,), ( ^ n ^ ) ; (?) dans ( ^ , T I , ) .

La contribution /

K(^/^, — r c , _ i ) ) des points de (a) à Nest<;- ( £ < ^ théorème XI v).

Les points de (jâ) sont de deux espèces, ils se trouvent ou dans un II ou dans un I.

Lorsque le point est point d'un II, on a

<\

^(^^)—m,(x,)< ^ et ayant [voir (i)]

^(^)-/7Î,(^)^,

on aura

<K^)-^(ç,^l.

Donc, diaprés le théorème XIV, la contribution de tous ces points à N est <; 7 .

4

Pour les Xi de (jB) qui sont situés dans les I, la contribution à N est. diaprés le choix des (^, (^) qui contiennent les I, << - (voir corollaire V, théorème XIII).

Donc

^ A X X ,

N < 7-4-- 7 + - = Â . 4 4 --ï

THÉORÈME XVIIÎ. — Soient ^ (x) et y {x) des fonctions définies sur Q, non négatives^ semi-continues et telles que

^a ^.a

1 ^(;r)û^<-4-oo, f ^(x)dx<-\-^.

^ ^o

Soit X^. une suite normale à (^ -{- y). X^ est aussi normale à

^ et à y.

Nous omettons la démonstration qui est facile, et nous remar-

— 292 -

quons que le théorème s'applique aussi à la somme d'un nombre limité de fonctions.

THÉORÈME XIX. — Nous disons que les divisions X^'^, Y^\r"> ç i ^ sont semblables lorsqu'on a

y"__ y'

^ = m , yi-=^ ^^(.r;—.r/)-4-y ( ï = = o , ...,/).

Deux suites de divisions seront dites semblables^ lorsque leurs cernes divisions (/•== i , 2, . . . ) le sont.

Soient (x

', x")^ (y^}

'), . . . des intervalles en nombre limité.

Soient Q<, Q_>, ..., des ensembles de points de seconde catégorie de ces intervalles. Soient ^ (x), ^ (y), ... des fonctions défi- nies sur Qi, Qa, ..., non négatives^ semi-continues et telles que

\ 4/1 (x) dx<-^ oo, i 'M.r)^^-^ p^ ^

.

t/.T.' t / V '

// existe des suites -semblables X^''*'^, Y^''^, . . ., normales

à A < , '}a, . . . .

Nous ne considérons que deux intervalles ( x ' , x

) et (ySy^)*

y étant un point de Qa, posons :

— x" — !r1 / — \ x

= -y'—y.^y-y)-^-^.

et désignons par Qa l'ensemble des points *z' == .r de (^\ ^

'). Qa est évidemment de seconde catégorie.

Posons ^3 (.r) === ^ (y) î 'Va (

)

M .1'" » _ i /v y"

\ ^\Wdx^-——,\ +2(y)^y<-4-oo.

t/.r/ J J •'Y'

Ai (a*) et A', (*r) sont donc définies sur l'ensemble Q., qui est la

( ' ) On comprend facilement la signification de Y^''^ qui est tout à fait ana- logue à celle de X^.