L3S6 Math-Eco
Optimisation Non Lin´ eaire
Ann´ee 2010-2011 Contrˆole Terminal Session 2
Dur´ee : 2h Documents interdits ; calculatrice type coll`ege autoris´ee (non programmable).
Le barˆeme est donn´e `a titre indicatif et pourra ˆetre modifi´e.
Exercice 1 Soit f(x, y) = 5x2+ 6y2−xy.
a) D´eterminer le minimum de f sous la contrainte d’in´egalit´ex+ 2y≤24.
b) Ecrire l’algorithme d’Uzawa pour approcher le minimum de f sous les contraintes d’in´egalit´e
x≥0, y≥0, x+y≥1, x+ 2y ≤24.
Exercice 2 Une entreprise fabrique trois types de machines : x1, x2 et x3. La fonction du coˆut conjointe C(x1, x2, x3) est :
C(x1, x2, x3) = 4x21+ 2x22+x23−2x1x2+x2x3−30x2−30x3
Combien de machines de chaque type l’entreprise doit-elle fabriquer pour minimiser son coˆut s’il lui faut un total de 100 machines ?
Exercice 3 R´esoudre le programme dynamique suivant
min Z T
0
(c1u2(t) +c2x(t))dt, sous les contraintes
x0(t) =u(t), x(0) = 0, x(T) =B
Exercice 4 Consid´erons un investisseur qui poss`ede une somme S `a la banque. N’ayant aucun autre revenu que les int´erˆets qui lui sont vers´es, il cherche quelle est la meilleure fa¸con (au sens de son agr´ement) de d´epenser son argent sur l’horizon [0, T]. On suppose que son agr´ement est pour tout tempsE = 2√
r. L’agr´ement futur compte moins que le pr´esent. La fonction qu’il va maximiser est donc
Z T
0
exp(−βt)E(t)dt.
Dans le mˆeme temps, la banque lui verse des int´erˆets proportionnels `a son capital restant `a la banquex(t). L’´equation r´egissant ses ´economies est donc
x0(t) =αx(t)−r(t).
On suppose quex(T) = 0. Ecrire le principe du maximum de Pontryagin et montrer que
x0(t) =αx(t)−r(0) exp((2α−2β)t).
1
Calculer alors la trajectoire et comparer au cas o`u il d´epenserait toujours la mˆeme somme (i.e. r(t) est constant). On pourra utiliser l’in´egalit´e de Cauchy-Schwarz : |Rb
af(x)g(x)dx| ≤ q
Rb
af(x)2dx q
Rb
ag(x)2dx Exercice 5 Soit un syst`eme ´evoluant sous la contrainte dynamique
x(t+ 1) = 0.5x(t) + 0.3u(t), 0≤u(t)≤x(t), x(0) = 1.
On cherche `a d´eterminer le contrˆoleu(t), t= 0,1,2qui maximise la fonction
J(u) =
3
X
t=0
(2x(t)−u(t)).
1) On commence `a poser u(0) =u(1) =u(2) = 1/10. Calculer J(u).
2) ´Ecrire le principe d’Hamilton-Jacobi-Bellman et d´ecrire les ´etapes de la r´esolution du probl`eme d’optimisation.
3) Calculer la solution du probl`eme d’optimisation.
2
