DYNAMIQUE FORTEMENT NON LIN´EAIRE DE L’INTERFACE ENTRE DEUX FLUIDES NON MISCIBLES DANS UN R´ESERVOIR FERM ´E.

DYNAMIQUE FORTEMENT NON LIN´ EAIRE DE L’INTERFACE ENTRE DEUX FLUIDES NON MISCIBLES

DANS UN R´ ESERVOIR FERM ´ E.

HIGHLY NONLINEAR DYNAMICS OF THE INTERFACE BETWEEN TWO NON MISCIBLE FLUIDS IN CLOSED BASIN.

A.A. Mrabet

, J. Costes

, J.-M. Ghidaglia

,

P.-M. Guilcher

, D. Le Touz´ e

, Y.-M. Scolan

(1)

CMLA, ENS Cachan et CNRS, Cachan,

Eurobios SCB, Gentilly,

(3)

HydrOcean, Nantes,

LHEEA ECN et CNRS, Nantes,

(5)

ENSTA Bretagne, LBMS, Brest

R´ esum´ e

On compare les r´esultats de quatre codes de r´esolutions des ´equations de la M´ecanique des Fluides. Les applications portent sur des ´ecoulements g´en´er´es par l’´ecroulement d’une masse de liquide surmont´ee d’un gaz moins lourd. La dynamique de l’interface met en

´evidence la n´ecessit´e de r´esoudre de mani`ere coupl´ee les ´equations dans les deux phases.

On constate que l’´ecoulement est essentiellement potentiel. Cela cesse d’ˆetre le cas quand il se forme une poche de gaz. D`es lors les effets visqueux et compressibles l’emportent.

Summary

Four numerical softwares of the Fluid Mechanics are compared. Applications concern the flow generated by a dam breaking configuration where liquid and gas interact. The simulated dynamics of the interface shows that it is necessary to solve the problems in both phase in a coupled way. The flow is essentialy potential until a gas pocket is formed.

Then viscous and compressible effects become predominant.

1 Introduction

Lors de l’´etude des effets du ballottement dans les cuves il est rare de prendre en compte la dynamique du gaz au dessus du liquide. Pourtant il apparaˆıt que le mouvement de l’interface entre deux fluides non miscibles dans un bassin ferm´e est tr`es influenc´e par le rapport de densit´e des deux fluides mˆeme pour des rapports de densit´e tr`es ´eloign´es de l’unit´e. (voir [10], [11] et [16]).

Ce probl`eme est abord´e num´eriquement de plusieurs fa¸cons en mettant en œuvre plusieurs codes de r´esolution des ´equations de la M´ecanique des Fluides. A ce stade quatre codes sont concern´es:

• le code GERRIS [14] r´esout les ´equations de Navier-Stokes en incompressible par une m´ethode de volumes finis dans les fluides et une m´ethode Volume Of Fluid (VOF)

pour le suivi de l’interface,

• le code Flux-IC [1] r´esout les ´equations d’Euler en compressible par une m´ethode de volumes finis, une m´ethode de capture pr´ecise de l’interface y est d´evelopp´ee (glissement parfait entre les mat´eriaux et suppression de la diffusion num´erique `a l’interface ),

• le code FSID [16] r´esout la dynamique coupl´ee des deux fluides en th´eorie potentielle,

• le code SPH-flow [9] r´esout les ´equations d’Euler en compressible pour les diff´erents fluides par une m´ethode particulaire lagrangienne (SPH).

Ces quatre codes sont d´ecrits succinctement dans la section (2). La section (3) pr´esente les r´esultats de comparaison des codes. Conclusions et perspectives sont dress´ees en section (4)

2 Mod` eles num´ eriques utilis´ es

Les probl`emes aux limites `a r´esoudre sont illustr´es par la figure (1). Dans les couches

h

Ω

Ω

h

h

S

y L

O x

Figure 1: Etat du syst`eme bifluide au repos.

sup´erieure et inf´erieure (respectivement appel´ee gaz et liquide pour simplifier), on r´esout un probl`eme aux limites donn´e en fonction des hypoth`eses faites sur la nature des deux fluides. A l’interface on doit classiquement v´erifier des conditions de continuit´e des vitesses

1La m´ethode VOF(Volume Of Fluid) est une technique num´erique qu’on utilise en CFD (Computa- tional Fluid Dynamics) afin de suivre et d´eterminer la position de la surface libre

et des contraintes. Dans certains mod`eles on peut ajouter une tension superficielle `a l’interface. Dans d’autres, s’appuyant sur des hypoth`eses de fluides parfaits, seule la continuit´e de la vitesse normale est assur´ee. Enfin le rapport des viscosit´es des deux fluides intervient si le respect de la continuit´e des contraintes ne concerne pas seulement la pression. Les masses volumiques sont not´ees ρ

et ρ

; leur rapport r =

f

est compris entre 0 et 1.

2.1 Le code SPH-flow

SPH-flow est un code de calcul bas´e sur la m´ethode SPH, d´evelopp´e conjointement par la soci´et´e HydrOcean le Laboratoire de recherche en Hydrodynamique, Energ´etique et Environnement Atmosph´erique de l’Ecole Centrale Nantes. Son domaine d’application en hydrodynamique navale concerne les probl`emes d’impact, avec grandes d´eformations de la surface libre ou grands mouvements de corps. La th´ematique du ballottement a re¸cu une attention particuli`ere ces derni`eres ann´ees (voir [9] et [10]).

Le syst`eme de lois de conservation pour les equations d’Euler compressibles isen- tropiques s’exprime sous la forme :

L

(φ) + div (F

(φ) − v

φ) = S (1) o` u φ est le vecteur des variables conservatives, F

la matrice des flux eul´eriens, et S le terme source volumique. Le syst`eme d’´equations est ´ecrit ici en rep`ere mobile arbitraire (description Arbitrary-Lagrange-Euler) o` u v

repr´esente le champ de vitesse de transport.

φ =



 ρ ρv

ρv



 , F

(φ) =





ρv

ρv

v

+ p

ρv

v



 , F

(φ) =





ρv

ρv

v

ρv

v

+ p



 (2) Afin de clore le syst`eme inconnues-´equations, l’´equation d’´etat suivante, reliant la pression

`a la masse volumique, est utilis´ee : p = ρ

a

γ

ρ ρ

− 1

(3) o` u γ, ρ

et a

repr´esentent respectivement l’indice adiabatique (rapport des capacit´es thermiques `a pression constante et volume constant), la masse volumique et la vitesse du son dans les conditions nominales. Cette ´equation d’´etat, appel´ee improprement loi de Tait dans la communaut´e SPH, correspond `a la loi des gaz parfaits dans le cas d’un gaz, et `a la loi stiffened gas pour un liquide, dans l’hypoth`ese d’une ´evolution isentropique.

Le d´eplacement et la d´eformation du volume associ´ee au champ de transport v

sont pris en compte `a l’aide des relations suivantes:

dx

dt = v

, dw

dt = w div v

(4)

En pratique, le champ de transport est g´en´eralement pris ´egal au champ de vitesse de l’´ecoulement v

= v (approche lagrangienne).

Le domaine est discr´etis´e par un ensemble P de particules. Chaque particule i de position x

et volume de contrˆole w

transporte ses propri´et´es de vitesse, pression, etc.

Au cours de la simulation, une particule reste d’une seule esp`ece, gaz ou liquide, et

l’interface n’est pas `a proprement parler discr´etis´ee, mais peut ˆetre reconstruite par un

post-traitement adapt´e. L’approche lagrangienne ´evite ainsi intrins`equement toute diffu- sion de l’interface, et permet naturellement la fragmentation des jets, la reconnexion de la surface libre, comme dans le cas du d´eferlement d’une vague.

Le sch´ema discret est de type Volumes Finis, assurant des propri´et´es globales de con- servation de la masse et de la quantit´e de mouvement. La r´esolution s’appuie essentielle- ment sur une boucle en temps explicite de type Runge-Kutta, avec reconstruction des listes d’interaction entre particules, ´evaluation des flux de masse et quantit´e de mouve- ment entre chaque pair de particules, et ´evolution lagrangienne.

Le code de calcul FSID fournit les donn´ees initiales (type d’esp`ece, vitesse, pression) incompressibles pour d´emarrer le code compressible SPH-flow. La diff´erence de mod`ele math´ematique (compressible et incompressible) g´en`ere un l´eger choc num´erique lors du passage de l’un `a l’autre, mais `a convergence du nombre de Mach, les mod`eles sont identiques.

2.2 Le code Gerris

Gerris (voir [14] et [15]) est un logiciel libre d´evelopp´e par S. Popinet en langage C. Il r´esout les ´equations de Navier-Stokes en incompressible. Le suivi de l’interface entre les fluides est de type VOF. Les ´equations `a r´esoudre se formulent en vitesse u et pression p comme suit

ρ( ∂u

∂t + u.grad(u)) = ρg − grad(p) + div(2µD) + σκδ

n (5)

div(u) = 0 (6)

Avec les variables suivantes:

µ : la viscosit´e dynamique, D tenseur des d´eformations.

σ : le coefficient de tension de surface.

κ : la courbure de l’interface.

δ

: la distribution de Dirac situ´e sur l’interface et n sa normale.

On r´esout les ´equations de Navier-Stokes sur des grilles structur´ees cart´esiennes, avec un raffinement de maillage automatique de type quadtree. Gerris ´etant un code incompress- ible, le pas de temps associ´e `a chaque it´eration est g´en´eralement suffisamment grand pour pouvoir r´ealiser une simulation compl`ete de la vague consid´er´ee, depuis sa cr´eation jusqu’`a l’impact en un temps de calcul raisonnable.

Contrairement aux codes FluxIC ou FSID pour lesquels la surface libre correspond toujours `a une ligne continue, l’utilisation du code Gerris dans le contexte d’´ecoulements

`a fort rapport de densit´e, typiquement 1:1000 dans le cas de la simulation de vagues, requiert d’utiliser une fonction de lissage de la surface libre afin de garantir la robustesse de la simulation. Cette fonction, disponible par d´efaut dans la version t´el´echargeable de Gerris, r´ealise une moyenne des quantit´es physiques (densit´e, pression, vitesse) entre une cellule de la surface libre et ses quatre voisines. En pratique on r´ealise cette op´eration deux fois, ce qui permet d’assurer la robustesse de la simulation tout en ´evitant une trop grande diffusion de l’interface entre les fluides.

L’initialisation de Gerris n´ecessite de d´efinir:

• les dimensions du domaine physique et le maillage associ´e, ici 512 × 128,

• la position de la surface libre,

• le champ de pression,

• le champ de vitesse,

• les densit´es des deux fluides.

2.3 Le code FluxIC

FluxIC, o` u IC signifie Interface Capturing, est un code de calcul g´en´eraliste d´evelopp´e par le Centre de Math´ematiques et de Leurs Applications (laboratoire CMLA) de l’Ecole Normale Sup´erieure de Cachan et la Direction des Applications Militaires du Commis- sariat `a l’´energie atomique (CEA DAM). Le probl`eme du ballottement dans les cuves de m´ethanier fait partie de ses domaines d’application et a d´ej`a ´et´e pr´esent´e dans Braeunig et al [1], et Costes et al [6], [7]. Dans ces travaux la version parall`ele hybride (MPI

+ OpenMP

) du code, pr´esent´ee dans [13] et [2], est utilis´ee.

Les ´equations d’Euler en compressible (7) se formulent comme suit:



 

 

∂

ρ + div(ρu) = 0

∂

(ρu) + div(ρu ⊗ u) + grad(p) = ρg

∂

(ρE) + div

(ρE + p)u

= ρgu

(7)

Avec,

ρ la masse volumique,

u ∈ R

le champ de vitesse et d ∈ [[1, 3]] la dimension d’espace p la pression,

E = e +

l’´energie totale o` u e est l’´energie interne.

Les ´equations (7) sont r´esolues selon une m´ethode de Volume Finis, VFFC-NIP (Volumes Finis `a Flux Caract´eristiques) coupl´ee `a la m´ethode NIP (Natural Interface Positioning) d´evelopp´ee par Braeunig et al [1], en s’appuyant notamment sur les travaux de Ghidaglia et al [8].

Il s’agit d’une m´ethode eul´erienne con¸cue pour la simulation d’´ecoulements compress- ibles multi-mat´eriaux ayant des lois d’´etat quelconques. La fermeture math´ematique du syst`eme (7) est assur´ee par l’introduction d’une loi d’´etat adapt´ee `a chaque fluide. Les

´equations d’´etat sont de la forme :

EOS(ρ, e, p) = 0 (8)

Dans cette ´etude, des milieux liquides et gazeux interagissent. On utilise ici une g´en´eralisation de la loi des gaz parfaits dite loi Stiffened Gas dont l’´equation g´en´erale s’´ecrit

p = (γ − 1)ρe − π (9)

o` u γ = C

/C

est l’indice adiabatique du fluide et π une constante caract´erisant la raideur du fluide li´ee `a la vitesse du son dans le fluide dans un ´etat thermodynamique de r´ef´erence.

On utilise le terme de cellule mixte pour d´esigner une cellule contenant plusieurs mat´eriaux.

L’interface entre les mat´eriaux au sein d’une cellule mixte est approch´ee par un segment de droite et les mat´eriaux situ´es de part et d’autre de l’interface sont consid´er´es comme

2MPI( Message Passing Interface) : Paradigme de parall´elisation pour architectures `a m´emoire dis- tribu´ee bas´e sur une approche de communications entre processus par passage de messages

3OpenMP(Open Multi-Processing) : Paradigme de parall´elisation pour architecture `a m´emoire partag´ee bas´e sur des directives `a ins´erer dans le code source

non miscibles. Ainsi l’interface entre les mat´eriaux est repr´esent´ee par une courbe lin´eaire par morceaux. On associe `a chaque mat´eriau pr´esent dans une cellule mixte un volume ainsi que des champs de pression, vitesse et temp´erature.

Cette m´ethode conserve localement, et donc globalement, la masse, la quantit´e du mou- vent, et l’´energie totale, elle permet de plus un glissement parfait `a l’interface entre les fluides ce qui est consistant avec le mod`ele des ´equations d’Euler.

Les codes de calcul (incompressibles) FSID et Gerris fournissent les donn´ees initiales pour d´emarrer le calcul avec le code compressible FluxIC, en effet ni Gerris ni FSID ne permet- tent de simuler le comportement d’une poche de gaz emprisonn´ee. Parmi les ph´enom`enes que capture FluxIC, on d´enombre : la compressibilit´e de la poche de gaz menant `a un com- portement pulsant, l’impact du liquide sur la paroi du r´eservoir ainsi que la propagation d’ondes de choc dans les diff´erentes phases fluides.

En pratique, les donn´ees issues des simulations incompressibles r´ealis´ees avec Gerris ou FSID sont utilis´ees pour initialiser le code FluxIC `a un instant choisi par l’utilisateur.

Cette fa¸con de proc´eder est justifi´ee par le fait que lorsqu’on consid`ere un instant t suff- isamment ´eloign´e de l’instant d’impact, l’´ecoulement peut ˆetre suppos´e incompressible.

Lorsque la vague est suffisamment proche de l’impact et que les effets compressibles de- viennent plus importants, FluxIC poursuit le calcul avec les donn´ees qui lui sont fournies par un code incompressible.

Il ne serait pas pertinent de r´ealiser l’ensemble de la simulation sur un maillage donn´e avec un code volumes finis compressible dans la mesure o` u les effets compressibles ne sont pas pr´epond´erants initialement et o` u le pas de temps associ´e `a une it´eration temporelle dans un tel code est inversement proportionnel `a la vitesse du son dans le fluide, ce qui conduit `a un pas de temps petit pour des couples liquide/gaz tels que l’air/eau ou le gaz naturel liqu´efi´e (GNL).

Les param`etres d’utlisation du code FluxIC sont:

• un maillage cart´esien : 512 × 128,

• la fraction volumique α, les vitesses et les pressions initialis´ees par les donn´ees incompressibles fournies par Gerris ou FSID,

• les densit´es des deux fluides initialis´ees par celles utilis´ees dans Gerris ou FSID.

2.4 Le code FSID

L’acronyme FSID tient pour Free Surface IDentification. Il a ´et´e initialement d´evelopp´e

`a Centrale Marseille pour traiter de vagues fortement non-lin´eaires dans les cuves (voir

Scolan et al, 2007 [17]). De nombreuses applications ont ´et´e faites dans le cadre du projet

SLOSHEL (voir Brosset et al , 2009 [3]) notamment comme outil de recherche de formes

de vagues fortement non-lin´eaires au droit d’un mur. La fa¸con la plus simple d’utiliser

ce code est de partir d’une d´eform´ee initiale de surface libre est de lˆacher le syst`eme

dynamique comme s’il s’agissait de la ”rupture d’un barrage” (dam breaking). Mˆeme s’il

s’agit de ph´enom`enes pratiquement non reproductibles exp´erimentalement, on constate

que ces conditions initiales assez arbitraires am`enent `a identifier toutes les configurations

d’int´erˆet. Celles-ci vont de la remont´ee d’eau le long d’un mur (run-up) sans impact,

jusqu’`a la configuration de la poche de gaz emprisonn´ee par une crˆete qui se retourne,

en passant par la configuration tr`es critique que constitue le flip-through (voir Cooker et

Peregrine, 1990 [4]). Ce ph´enom`ene est connu comme ´etant le r´esultat d’une comp´etition

entre le run-up vertical et la crˆete qui ”essaie” de se retourner. La forme typique de la surface libre est parabolique et sa taille semble diminuer de mani`ere homoth´etique jusqu’`a disparaˆıtre produisant une pression pari´etale importante (voir Cooker, 2009 [5]).

Le code FSID r´esout les ´equations de la th´eorie potentielle (fluide parfait, incompress- ible et ´ecoulement irrotationnel). Dans le cas des configurations ´etudi´ees ici, les deux phases sont trait´ees sous ces mˆemes hypoth`eses. Ceci est discutable si l’´ecoulement dans la phase gazeuse atteint des r´egimes subsoniques voire supersoniques. En outre si l’on pr´edit correctement les vitesses importantes de contournement de la crˆete, on doit aussi s’attendre, de ce fait mˆeme, `a l’arrachement de particules fluides. Cela n’est ´evidemment pas possible avec FSID qui traite de deux fluides non miscibles s´epar´es par une interface d’un seul tenant.

On d´esigne par φ

et φ

les potentiels des vitesses dans les phases liquide et gazeuse respectivement. On s’arrange pour que ces deux solutions v´erifient implicitement les conditions d’imperm´eabilit´e sur les parois du r´eservoir (condition de Neumann homog`ene pour les potentiels des vitesses). On en d´eduit une fonction de Green ´el´ementaire du probl`eme. Ces singularit´es sont distribu´ees dans un proche voisinage de l’interface en dehors du domaine fluide; c’est ce que l’on appelle une technique d´esingularis´ee. Le potentiel des vitesses dans chaque phase s’exprime alors comme la somme de l’influence d’une distribution associ´ee de singularit´es; l’une dans la phase gazeuse pour d´ecrire le mouvement du liquide, l’autre l’une dans la phase liquide pour d´ecrire le mouvement du gaz. Il reste ensuite `a v´erifier, `a l’interface gaz-liquide la continuit´e de la pression p

= p

, et des vitesses normales ∇ ~ φ

· ~n = ∇ ~ φ

· ~n. L’interface est d´efinie par un jeu unique de marqueurs que l’on suit dans leur mouvement de mani`ere Lagrangienne. On introduit une vitesse de convection pond´er´ee V ~ selon la formule

V ~ = (1 − α) ∇ ~ φ

+ α~ ∇ φ

, α ∈ [0 : 1] (10) et les marqueurs de positions Lagrangiennes X ~ sont d´eplac´es selon l’´equation diff´erentielle

d X ~

dt = V ~ (11)

En notant ϕ = φ

− rφ

la combinaison lin´eaire des potentiels attach´es aux deux phases, le transport Lagrangien de ce potentiel est r´ealis´e par le syst`eme diff´erentiel

dϕ

dt = V ~ ·

∇ ~ φ

− r ~ ∇ φ

− 1 2

∇ ~

φ

− r ~ ∇

φ

− (1 − r)gy (12) L’algorithme s’organise autour d’une boucle en temps dans laquelle on int`egre par un sch´ema de type Runge-Kutta 4 les ´equations de transport (11) et (12).

Les param`etres num´eriques du code se limitent essentiellement aux nombre de mar- queurs et `a la distance de d´esingularisation. Il a ´et´e montr´e que le respect des invariants de masse et d’´energie d´epend d’un choix judicieux de la distance `a laquelle on place les singularit´es. Par ailleurs, la valeur du pas de temps joue un rˆole moins important sur les invariants que sur la stabilit´e des r´esultats.

3 R´ esultats et discussions

Les comparaisons portent sur des formes de vague d’int´erˆet pour la soci´et´e GazTransport

et Technigaz. Les codes Gerris ou FSID permettent de choisir rapidement les param`etres

0 2 4 6 8 10 12

0 5 10 15 20

SmallGasPocket IntermediateGasPocket LargeGasPocket FlipThrough

Figure 2: G´eom´etrie du bassin et d´eformations initiales de surface libre.

des formes de surface libre initiale. Celles-ci sont trac´ees sur la figure (2). Ces profils initiaux conduisent `a des formes de poche de gaz de taille variable ainsi qu’au flip-through.

La pr´esence de la bathym´etrie en forme de quart d’ellipse a permis d’identifier des vagues d’int´erˆet au tout d´ebut de l’utilisation du code FSID (en 2008). Depuis lors on pourrait s’en affranchir. Pour l’ensemble de ces quatre cas test, quand la configuration bifluide est ´etudi´ee, le plafond horizontal et plat est plac´e `a une hauteur h

= 12m. Partant des quatre d´eformations initiales de surface libre, on peut rendre compte de l’´etat de l’´ecoulement avant impact et de la diff´erence selon que l’on a du gaz ou du vide au dessus du liquide. Les figures (3) montrent les profils successifs de l’interface pour les quatre conditions initiales illustr´ees par la figure (2). Les diff´erences selon qu’il y a du gaz ou pas, sont manifestes. Le gaz se trouve emprisonn´e dans une poche plus ou moins ouverte le laissant ainsi s’´echapper. Le gaz est ici incompressible et par cons´equent la fermeture de la poche est retard´ee. On note aussi que la dynamique du gaz en s’´echappant provoque une ´erosion (ou un ´emoussement) de la crˆete. Cette ´erosion n’est pas le r´esultat de la couche limite qui, en r´ealit´e, doit se d´evelopper `a l’interface, puisque ici les deux phases sont des fluides parfaits. Enfin on conclut que la pr´esence du gaz dans une poche plus ou moins ´epaisse et plus ou moins ferm´ee tend simplement `a retarder l’impact de la masse fluide sur le mur.

Les figures (4) montrent des comparaisons entre Gerris et FSID dans leur version bifluide pour le cas test dit Large Gas Pocket. Le rapport de densit´e est r = 0.001. Les

´ecarts entre les deux codes sont de l’ordre de quelques pourcents jusqu’`a l’impact de la vague. Contrairement `a Gerris, FSID ne peut pas simuler l’impact. La figure (5) montre le profil de surface libre peu avant l’impact. Des instabilit´es classiques d’interface semblent se d´evelopper. Sur la partie horizontale de la vague, les instabilit´es de type Kelvin- Helmoltz sont probablement `a l’origine des ondulations qui s’y d´eveloppent. Comme constat´e pr´ec´edemment avec le code potentiel, la crˆete que l’on obtient sans gaz ”s’´erode”

consid´erablement. Gerris, et on le voit aussi avec le code SPH (figure 8 de Guilcher et al , 2014 [10]), pr´edit un ”retroussement” de la crˆete; cela est `a peine esquiss´e par FSID.

Il s’agit bien du d´ebut de l’arrachement des particules fluides tel qu’on peut l’observer exp´erimentalement dans Karimi et Brosset (2014), [11] ou Lugni et al (2010), [12]. Un accroissement du maillage dans Gerris doit permettre de simuler la fragmentation de mani`ere plus pr´ecise. La figure (6) est relative au mˆeme cas test Large Gas Pocket. Il s’agit du profil de surface libre juste avant impact obtenu par le code SPH Flow. Le

”nez retrouss´e” de la crˆete est moins marqu´e que sur la figure (5). Cette forme de la

pointe de vague est sensible `a plusieurs param`etres, et peut assez largement varier en

fonction du code de calcul, du choix des algorithmes et de la physique. En premier lieu, le code SPH Flow, initialis´e par FSID, d´emarre avec des donn´ees interm´ediaires mono-fluide. Cela illustre la n´ecessit´e de bien prendre en compte la pr´esence du gaz et sa dynamique `a tout instant de la simulation et par cons´equent depuis les premiers mouvements des fluides. De plus, les algorithmes num´eriques introduisent une dissipation num´erique n´ecessaire `a la stabilisation des sch´emas, mais qui affecte ´egalement l’interface gaz-liquide. Enfin, la condition `a l’interface est de type adh´erence, et l’´echappement violent du gaz tend `a entraˆıner le liquide, ce qui est moins marqu´e dans le cas d’une condition de glissement comme pour FSID. La figure (6) montre aussi le champ de vorticit´e ainsi que le champ du module de la vitesse. La vitesse du gaz dans la zone d’´echappement est tr´es importante, de l’ordre de 200m.s

, et devient localement sup´erieure `a la vitesse du son (r´egime supersonique) juste avant l’impact `a la paroi, indiquant la pr´esence d’effets de compressibilit´e pendant cette phase, et pas uniquement lors de la compression de la poche de gaz attrap´ee. On note aussi le fort d´etachement tourbillonaire, renforc´e par l’utilisation de la condition d’adh´erence `a la surface libre, ´emane de l’interstice laiss´e au fur et `a mesure de la fermeture de la poche de gaz.

Les r´esultats obtenus avec le code compressible Flux-IC sont illustr´es sur les figures (7) pour le cas Large Gas Pocket . Flux-IC est initialis´e par Gerris qui fournit les champs de vitesse et de pression `a un instant que l’on appelle instant de reprise. Comme pour le couplage FSID-SPH Flow, le choix de cet instant (extraction de donn´ees du code incompressible pour l’initialisation du code compressible) a une influence sur la suite des calculs.

Le flip-through est un ph´enom`ene difficile `a reproduire. Les figures (8) illustrent la comparaison des profils successifs de l’interface issue de FSID et Gerris. Les diff´erences n’apparaissent que sur la toute fin de l’´ecoulement quand le jet se d´eveloppe le long du mur vertical (voir figure 9). Figure (10) montre le profil correspondant obtenu par SPH Flow. Le jet y est bien pr´esent. On dispose en outre du champ de vorticit´e. Celle-ci est principalement concentr´ee le long de l’interface et ne met en ´evidence aucun d´etachement tourbillonnaire.

4 Conclusion

On examine ici des configurations d’´ecoulement dans des r´eservoirs ferm´es `a faible taux de remplissage. Les applications touchent au transport terrestre ou maritime de liquide, notamment dans les navires m´ethaniers. En vue d’´evaluer les mouvements de l’interface, il faut ˆetre capable de rendre compte de la dynamique coupl´ee dans les phases liquide et gazeuse. C’est l’objectif de cette ´etude. L’enjeu est d’autant plus grand, que l’on envisage de fortes d´eformations de l’interface. Ici Les dynamiques de l’interface r´esulte d’un classique ´ecroulement de barrage. Cela conduit `a des configurations diverses d’une vague approchant le mur oppos´e. Mˆeme pour des rapports d’aspect faibles, il apparaˆıt clairement que ces dynamiques sont coupl´ees. Quatre solveurs de la M´ecanique des Fluides sont utilis´es. La comparaison de leurs r´esultats montrent que

• en l’absence de formation de poche de gaz, les ´ecoulements sont essentiellement potentiels,

• dans ce mˆeme cas, la pr´esence du gaz ne modifie pas sensiblement le dynamique de

l’interface,

• des instabilit´es classiques d’interface apparaisent lorsque le saut de vitesses tangen- tielles dans les deux phases est important,

• si une poche de gaz se forme, l’´echappement du gaz de la poche provoque l’arrachement de particules fluides,

• si les fluides sont suppos´es compressibles, l’´ecoulement dans le gaz peut devenir supersonique.

Les perspectives s’orientent vers une am´elioration des algorithmes impl´ement´es dans cha- cun des quatre codes num´eriques utilis´es. En outre un des objectifs poursuivis est de coupler ces codes afin d’en exploiter au mieux leurs sp´ecifit´es.

Remerciements: Les auteurs remercient la soci´et´e GazTransport et Technigaz pour le soutien qu’elle fournit `a leurs actions de recherche.

Ce travail est en partie soutenu par le Labex LMH (programme du gouvernement fran¸cais:

ANR-11-IDEX-003-02 et ANR-11-LabX-0056-LMH).

References

[1] Braeunig J.-P., Desjardins B., Ghidaglia J.-M., 2009, A pure eulerian scheme for multi-material fluid flows. European journal of mechanics, B-/fluids.

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tions close to a vertical wall, 22

International Workshop on Water Waves and Float-

ing Bodies, Plitvice, Croatia.

(a)

0 2 4 6 8 10

0 5 10 15 20

y (m)

x (m)

4.5 5 5.5 6 6.5 7

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3

y (m)

x (m)

(b)

0 2 4 6 8 10

0 5 10 15 20

y (m)

x (m)

4.5 5 5.5 6 6.5 7

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3

y (m)

x (m)

(c)

0 2 4 6 8 10

0 5 10 15 20

y (m)

x (m)

4.5 5 5.5 6 6.5 7

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3

y (m)

x (m)

(d)

0 2 4 6 8 10

0 5 10 15 20

y (m)

x (m)

5.6 5.8 6 6.2 6.4

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

y (m)

x (m)

Figure 3: Profils de surface libre fournis par FSID et relatifs aux cas (a): Small Gas

Pocket, (b): Intermediate Gas Pocket, (c): Large Gas Pocket, (d): Flip-Through. Les

profils verts sont relatifs au couple liquide/vide et les profils rouges sont relatifs au couple

liquide/gaz. Rapport de densit´e: r = 0.001.

Figure 4: Profils de surface libre relatifs au cas Large Gas Pocket . Rapport de densit´e:

r = 0.001. FSID: profils rouges, Gerris: profils bleus.

Figure 5: Dernier profil de surface libre avant impact `a t = 2.07s, relatif au cas Large Gas Pocket . La version de Gerris `a interface diffuse est utilis´ee. Rapport de densit´e:

r = 0.001.

Figure 6: Profils de surface libre, champ de vorticit´e et champ du module de la vitesse relatifs au cas Large Gas Pocket obtenus par SPH Flow. Rapport de densit´e: r = 0.001.

Figure 7: Profils de surface libre relatifs au cas Large Gas Pocket `a l’instant t = 2.08s.

Comparaison entre Gerris et le chaˆınage Gerris/FluxIC pour diff´erents instant de reprise.

Figure 8: Profils de surface libre relatifs au cas Flip-Through . Rapport de densit´e: r =

0.001. FSID: profils rouges, Gerris: profils bleus. La version de Gerris `a interface diffuse

est utilis´ee.

Figure 9: Dernier profil de surface libre avant impact `a t = 1.67s, relatif au cas Flip- Through. La version de Gerris `a interface diffuse est utilis´ee. Rapport de densit´e: r = 0.001.

Figure 10: Profils de surface libre et champ de vorticit´e relatifs au cas Flip-Through

obtenus par SPH Flow. Rapport de densit´e: r = 0.001.