Partie II (` a r´ ediger sur une copie s´ epar´ ee)

Universit´e des Sciences et Technologies de Lille U.F.R. de Math´ematiques

Licence (S 5)

M 52 : TOPOLOGIE ET CALCUL DIFF´ERENTIEL 9 mars 2012

Dur´ee 4 heures

Les documents et les calculatrices ne sont pas autoris´es. On aura soin d’´enoncer pr´ecis´ement les th´eor`emes utilis´es.

Le bar`eme est indicatif

Les parties I et II sont `a r´ediger sur des copies s´epar´ees.

Partie I (` a r´ ediger sur une copie s´ epar´ ee)

Exercice 1 (5 points)

Soit (E,k.k) un espace vectoriel norm´e, etC une partiecompacte non vide deE. On suppose ´egalement que Cest convexe, i.e.

∀a, b∈C, ∀t∈[0; 1], (1−t)a+tb∈C Soitf :C→C une application v´erifiant

∀x, y ∈C, kf(x)−f(y)k ≤ kx−yk 1. Peut-on appliquer le th´eor`eme du point fixe `a f?

2. On fixec ∈C, et on posefn(x) = (1−_n¹)f(x) + ¹_nf(c) pour toutx∈C et toutn∈N^∗. Montrer quefn(C)⊂C et quefn admet un unique point fixe, not´exn∈C.

3. V´erifier quef et lesfn sont born´ees surC, et que Sup

x∈C

kfn(x)−f(x)k −−−−−→

n→+∞ 0

4. Montrer que la suite (xn)n admet une sous-suite (xφ(n))n qui converge vers un pointl∈C, et quekxφ(n)−f(xφ(n))k −−−−−→

n→+∞ 0. En d´eduire que f admet un point fixe.

5. Y a-t-il unicit´e du point fixe def?

1

Exercice 2 (5 points)

Soit (E1, d1) et (E2, d2) deux espaces m´etriques. On munit l’espace produit E=E1×E2 de la distancedsuivante : pourx= (x1, x2),y= (y1, y2) dansE,

d(x, y) = max(d1(x1, y1), d2(x2, y2))

Soitpla projection surE1:p(x1, x2) =x1. On rappelle quep:E→E1est une application continue.

1. Soitx= (x1, x2)∈E et r >0. Montrer quep(BE(x, r)) (respectivement p(BFE(x, r)) est une boule ouverte (respectivement une boule ferm´ee) de E1, dont on d´eterminera le centre et le rayon.

2. (a) En d´eduire que l’image parpde tout ouvert de E est un ouvert de E1.

(b) Soit (E^′, d^′) un autre espace m´etrique et une applicationf :E1→E^′. Montrer que si Ω⊂E^′, alorsf⁻¹(Ω) =p (f◦p)⁻¹(Ω)

. En d´eduire quef :E1 →E^′ est continue si et seulement sif ◦p: E →E^′ est continue.

3. (a) L’image parpd’un ferm´e quelconque deEest-elle n´ecessairement un ferm´e de E1? (on pourra consid´erer par exemple E1 =E2 =R, et F ={(x1, x2)∈R×R/ x1x2= 1}).

(b) SoitK un compact deE. Montrer que la restriction p|K : K→E1

envoie tout ferm´e (deK) sur un ferm´e de E1.

Partie II (` a r´ ediger sur une copie s´ epar´ ee)

Exercice 3 (1 points)

Pour (x, y)∈R², on pose

f(x, y) =x⁴−4x³+ 8x²+y²−4xy

Montrer que (0,0) est un point critique def. Est-ce un extremum local def?

Exercice 4 (4 pts)

Soitf :R³→Rla fonction d´efinie par

f(x, y, z) =x²+y⁴−y²+z². On notegrad f la fonction deR³dansR³ d´efinie par

grad f(x, y, z) = ∂f

∂x(x, y, z),∂f

∂y(x, y, z),∂f

∂z(x, y, z)

∈R³.

Pourc∈R, on note

Sc={(x, y, z)∈R³|f(x, y, z) =c}.

2

1. D´eterminer lesc∈Rtels quegrad f ne s’annule pas sur Sc.

2. Montrer queS1est une sous-vari´et´e deR³dont on donnera la dimension.

Ecrire l’´equation du plan tangent affine `aS1 en un point (α, β, γ).

3. Montrer queS1est born´ee. (Indication : on pourra commencer par v´erifier l’in´egalit´ey⁴−y²≥ −¹₄.)

4. Montrer queS1 est un compact. On noteg(x, y, z) =x²+y²+z²le carr´e de la distance du point (x, y, z) `a l’origine. Montrer queg:S1→Ratteint son minimum en au moins un point (x0, y0, z0).

5. Montrer que les vecteurs (x0, y0, z0) et grad f(x0, y0, z0) sont colin´eaires et donner une interpr´etation g´eom´etrique de ce r´esultat.

Exercice 5 (5 points)

Soitf :Rⁿ\ {0} →Rune fonction diff´erentiable en tout point etkun nombre r´eel. On dit que f est homog`ene de degr´e k si, pour tout r´eel t > 0 et tout x∈Rⁿ\ {0},

f(tx) =t^kf(x).

1. Dans cette question on ne supposepas quef est homog`ene. Pour x6= 0 fix´e, on d´efinit la fonction ]0,+∞[→Rpar

ϕ(t) =t^−kf(tx).

Justifier queϕest d´erivable en tout point de ]0,+∞[ et que ϕ^′(t) =t^−(k+1)[tDf(tx).x−kf(tx)].

2. En d´eduire que, sif est homog`ene de degr´ek, elle v´erifie, en tout point x∈Rⁿ\ {0},l’identit´e d’Euler :

n

X

j=1

xj

∂f

∂xj

(x) =kf(x).

En d´eduire qu’en tout pointx∈Rⁿ\ {0}tel quef(x)6= 0,Df(x) est de rang maximal.

3. R´eciproquement, en utilisant la premi`ere question, montrer qu’une fonc- tion diff´erentiable surR<sup>n</sup>\ {0}et v´erifiant l’identit´e d’Euler en tout point est homog`ene de degr´ek.

4. Soit f une fonction diff´erentiable homog`ene de degr´ek ≥1 et c un r´eel strictement positif ; on pose Σc ={x∈Rⁿ\ {0};f(x) =c}. Montrer que Σc est une sous-vari´et´e deRⁿ. De quelle dimension ?

5. Montrer que si c1 et c2 sont deux r´eels strictement positifs, il existe un scalaireλ∈R^∗₊tel que la multiplication parλr´ealise un hom´eomorphisme Σc₁ ≃Σc₂.

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