Premi` ere partie : inversions dans le plan.– On identifie R

M1G – G´ eom´ etrie

Corrig´ e du contrˆ ole final du mercredi 8 janvier 2020

Les documents sont autoris´ es mais les calculettes et les portables sont interdits. Il sera tenu compte de la qualit´ e de la r´ edaction pour l’attri- bution d’une note.

L’examen est compos´ e d’un seul probl` eme ayant trois parties relativement ind´ ependantes

Premi` ere partie : inversions dans le plan.– On identifie R

et C et on consid` ere l’inversion de centre l’origine O et de rapport c > 0 :

inv : C

−→ C

z 7−→ c

z

1) i) Montrer que inv ◦ inv = id et en d´ eduire que inv est bijective.

ii) Montrer que l’ensemble des points fixes de inv est un cercle dont on d´ eterminera le centre et le rayon.

iii) Montrer que l’image par inv du cercle C(O, r) de centre O et de rayon r est incluse dans le cercle C(O,

).

iv) Montrer que inv(C(O, r)) = C(O,

).

R´ep.– i) Un calcul direct montre que inv◦inv = id. Ainsi inv est inversible, d’inverse elle-mˆeme. C’est une involution.

ii) On a

inv(z) =z ⇐⇒ k=zz ⇐⇒ |z|²=c

Ainsi l’ensemble des points fixe deinvest un cercle de centre l’origineOet de rayon

√c.

iii) Notons quez= _inv(z)^k . On a donc

z∈C(O, r) ⇐⇒ |z|=r ⇐⇒ |z|=r ⇐⇒

k inv(z)

=r ⇐⇒ |inv(z)|= c r d’o`uz∈C(O, r) ⇐⇒ inv(z)∈C(O,_r^c) et doncinv(C(O, r))⊂C(O,^c_r).

iv) L’inclusion d´emontr´ee `a la question pr´ec´edente est vraie pour tout rayonr. En choisissant un rayon ´egal `a ^c_r, on d´eduit

inv(C(O,c r))⊂C

O, c

(^c_r)

=C(O, r).

En composant parinv on obtient inv◦inv(C(O,c

r))⊂inv(C(O, r)) 1

i.e.C(O,^c_r)⊂inv(C(O, r)) puisqueinv◦inv=id.

2) Soient z

∈ C et r > 0 un r´ eel diff´ erent de |z

|. On consid` ere le cercle C(z

, r) d’´ equation

(z − z

)(z − z

) = r

.

Montrer que l’image par inv de C(z

, r) est un cercle C(z

, r

) de centre z

=

0|²−r²

et de rayon r

=

0|²−r²|

. Suggestion : Poser z =

o` u w = inv(z).

R´ep.– On a

z∈C(z0, r) ⇐⇒ (z−z0)(z−z0) =r²

⇐⇒ (c

w −z0)(c

w−z0) =r²

⇐⇒ c² ww−c

z₀ w +z₀

w

=r²− |z0|²

⇐⇒ c²−c(z0w+z0w) = (r²− |z0|²)ww

⇐⇒ c²

r²− |z0|² =ww+ c

r²− |z0|²(z₀w+z₀w)

⇐⇒ c² r²− |z₀|² =

w+ cz0

r²− |z₀|² w+ cz0

r²− |z₀|²

− c²|z0|² (r²− |z₀|²)²

⇐⇒ c²

r²− |z0|²+ c²|z0|² (r²− |z0|²)² =

w+ cz0

r²− |z0|² w+ cz0

r²− |z0|²

⇐⇒ c²r² (r²− |z0|²)² =

w− cz₀

|z0|²−r² w− cz₀

|z0|²−r²

⇐⇒ w∈C(z_∗, r_∗)

3) Soient α > 0 et γ : R → C la courbe param´ etr´ ee donn´ ee par γ(t) = √

c e

.

i) Reconnaˆıtre γ et dessiner son support.

ii) Montrer que le support de γ et le support de inv ◦γ sont sym´ etriques par rapport ` a l’axe des abscisses.

R´ep.– i) La courbe γest une spirale logarithmique.

ii) On a

inv(γ(t)) = c

√ce^(α+i)t

=

√c e^αte^−it =√

c e^−αte^it

NotonsS la r´eflexion par rapport `a l’axe des abscisses, i. e.S(z) =z. On a alors S(inv◦γ(t)) =√

ce^−(α+i)t=γ(−t).

Ceci montre que le support deγet celui deinv◦γ sont sym´etriques par rapport `a l’axe des abscisses.

Seconde partie : inversion dans l’espace.– Dans l’espace, on note Inv l’inversion de centre l’origine O et de rapport c > 0 :

Inv : R

\ {O} −→ R

\ {O}



 x

x

x



 7−→ c x

+ x

+ x



 x

x

x





Soit P = {x

= 1} le plan horizontal d’altitude 1 et (u, v) 7→ (u, v, 1) une param´ etrisation de P . On consid` ere la surface param´ etr´ ee

g : R

−→ R

u v

7−→ Inv



 u v 1





4) i) Montrer que la matrice de la premi` ere forme fondamentale de g dans la base (

,

) est de la forme λ

(u, v)Id o` u λ : R

→ R

est une fonction que l’on d´ eterminera.

ii) En d´ eduire que g est r´ eguli` ere.

iii) Soit p = (u, v) ∈ R

. Montrer que si W

et W

sont deux vecteurs de R

alors

dg

(W

), dg

(W

) kdg

(W

)kkdg

(W

)k =

W

, W

kW

kkW

k .

R´ep.– i) On a

g(u, v) =

cu

1 +u²+v², cv

1 +u²+v², c 1 +u²+v²

d’o`u

g_u=

c 1−u²+v²

(1 +u²+v²)², c −2uv

(1 +u²+v²)², c −2u (1 +u²+v²)²

g_v=

c −2uv

(1 +u²+v²)², c 1 +u²−v²

(1 +u²+v²)², c −2v (1 +u²+v²)²

et

E=kguk²= c²(1 +u²+v²)²

(1 +u²+v²)⁴ = c² (1 +u²+v²)², F = 0, et G=kgvk²= c²

(1 +u²+v²)². D’o`uIg=λ²(u, v)Idavecλ(u, v) =_1+u^c2+v².

ii) On aEG−F²=λ⁴ et la fonctionλne s’annule jamais. Ainsig est r´eguli`ere.

iii) Par d´efinition de la premi`ere forme fondamentaleIg deg on a Ig(W1, W2) =

dgp(W1), dgp(W2) En particulier

kdgp(W1)k= q

Ig(W1, W1) et kdgp(W1)k= q

Ig(W1, W1).

Or d’apr`es le calcul effectu´e en i) on a

I_g(W₁, W₂) =λ(p)²

W₁, W₂ d’o`u

dgp(W1), dgp(W2)

kdgp(W1)kkdgp(W2)k = λ(p)² W1, W2

λ(p)kW1kλ(p)kW2k =

W1, W2

kW1kkW2k.

5) i) On note Ω le point de coordonn´ ees (0, 0,

). Montrer que pour tout (u, v) on a

k −−−−−→

Ωg(u, v)k = c 2 .

ii) Que peut-on dire du support g( R

) ? En d´ eduire la courbure de Gauss K et la courbure moyenne H de g.

R´ep.– i) On a k−−−−−→

Ωg(u, v)k² =

cu 1 +u²+v²

² +

cv 1 +u²+v²

² +

c−^c₂(1 +u²+v²) 1 +u²+v²

²

= c²u²+c²v²+c²+^c₄²(1 +u²+v²)²−c²(1 +u²+v²) (1 +u²+v²)²

= c² 4

ii) Ainsi l’image g(P) est incluse dans une sph`ere de centre Ω et de rayon <sub>2</sub><sup>c</sup>. La courbure de Gauss de g est donc constante ´egale `a _c⁴2 et la courbure moyenneH constante ´egale `a ²_c.

6) Soit γ : R → R

la courbe de la question 3) t 7−→ ( √

ce

cos t, √

ce

sin t)

Pour tout u ∈ [0, 2π[, on consid` ere la courbe σ

: R

−→ R

donn´ ee par

t 7→ (t cos u, t sin u).

i) On note R

le support de σ

. Quelle est la nature de R

? ii) Soit

T = {(t

, t

, u) ∈ R × R

× [0, 2π[ | ∃k ∈ Z , t

= u + 2kπ, t

= √ ce

}.

Montrer que γ(t

) = σ

(t

) ⇐⇒ (t

, t

, u) ∈ T . iii) Montrer que

kγ⁰(t1)k

, σ

(t

)

ne d´ epend pas du triplet (t

, t

, u) ∈ T . iv) Que vaut le cosinus de l’angle entre (g ◦ γ)

(t

) et (g ◦ σ

)

(t

) pour (t

, t

, u) ∈ T . Justifier.

R´ep.– i)R_uest un rayon issu de O= (0,0) et de direction (cosu,sinu).

ii) On a

γ(t₁) =√

ce^αt1(cost₁,sint₁) et σ_u(t₂) =t₂(cosu,sinu).

D’o`uγ(t1) =σu(t2) ⇐⇒ (t1, t2, u)∈ T. iii) On a

γ⁰(t) =√

ce^αt(αcost−sint, αsint+ cost) d’o`u

γ⁰(t)

kγ⁰(t)k = 1

√1 +α²(αcost−sint, αsint+ cost) Puis

σ⁰_u(t) = (cosu,sinu) et

h γ⁰(t₁)

kγ⁰(t1)k, σ_u⁰(t₂)i = 1

√1 +α²(α(cost₁cosu+ sint₁sinu)−sint₁cosu+ sinucost₁)

= 1

√1 +α²(α(cos(t₁−u) + sin(u−t₁))

= α

√1 +α² cart1=u+ 2kπ.

iv) Le cosinus de l’angle entre (g◦γ)⁰(t1) et (g◦σu)⁰(t2) est donn´e par (g◦γ)⁰(t1)

k(g◦γ)⁰(t1)k, (g◦σu)⁰(t2) k(g◦σu)⁰(t2)k

.

Or

(g◦γ)⁰(t1)

k(g◦γ)⁰(t₁)k, (g◦σu)⁰(t2) k(g◦σ_u)⁰(t₂)k

= dg(γ⁰(t1))

kdg(γ⁰(t₁))k, dg(σ_u⁰(t2)) kdg(σ_u⁰(t₂))k

= γ⁰(t₁)

kγ⁰(t1)k, σ⁰_u(t₂) kσ⁰_u(t2)k

d’apr`es la question 4 iii). Puisquekσ⁰_u(t2)k= 1, on obtient (g◦γ)⁰(t₁)

k(g◦γ)⁰(t1)k, (g◦σ_u)⁰(t₂) k(g◦σu)⁰(t2)k

= γ⁰(t₁)

kγ⁰(t1)k, σ⁰_u(t2)

= α

√ 1 +α².

Troisi` eme partie : ´ energie de Willmore.– Soient 0 < b < a.

On consid` ere la param´ etrisation

f : [0, 2π] × [0, 2π] −→ R

(u, v) 7−→ ((a + b cos u) cos v, (a + b cos u) sin v, b sin u) et on note T (a, b) son support.

7) i) Soit R

la rotation d’angle θ par rapport ` a l’axe (Oz). Montrer que le support T (a, b) est stable par R

i. e. R

(T (a, b)) ⊂ T (a, b).

ii) Faire un dessin du support T (a, b).

R´ep.– Soit

R_θ=





cosθ −sinθ 0 sinθ cosθ 0

0 0 1





On v´erifie par un calcul direct que

Rθ(f(u, v)) =f(u, v+θ) ainsiS est stable parR_θ

8) On note (e

, e

, e

) la base canonique de R

. Pour tout θ ∈ [0, π[, on note e

le vecteur e

= cos θ e

+ sin θ e

. On consid` ere le plan Π

passant par l’origine et engendr´ e par (e

, e

).

i) Montrer que (Oz) ∩ T (a, b) = ∅.

ii) Montrer que T (a, b) ∩ Π

est l’union de deux cercles sym´ etriques par rapport ` a la droite (Oz).

R´ep.– i) Notonsf = (f1, f2, f3) les coordonn´ees def. On a

f(u, v)∈(Oz) ⇐⇒ f1(u, v) =f2(u, v) = 0 ⇐⇒ f₁²+f₂²= 0 ⇐⇒ (a+bcosu)²= 0 Cette derni`ere ´equation n’a pas de solution cara > b >0.

ii) L’´ecriture

f(u, θ) = (a+bcosu)e_θ+bsinu e₃⊂Π_θ et

f(u, θ+π) =−(a+bcosu)eθ+bsinu e3⊂Πθ

montre que les supports des courbes

u7−→f(u, θ) et u7−→f(u, θ+π)

sont dans Π_θ∩T(a, b). D’apr`es l’expression analytique de ces deux courbes, ces sup- ports sont deux cercles sym´etriques par rapport `a la droite (Oz). Tout autre point f(u, v) se trouve dans un plan Π_vo`uv6=θetv6=θ+π,et comme Π_v∩Π_θ= (Oz) l’intersection Π_θ∩T(a, b) ne contient pasf(u, v).

9) i) Montrer que l’´ el´ ement d’aire de f vaut dS = b(a + b cos u)dudv.

ii) En d´ eduire que f est r´ eguli` ere.

iii) D´ eterminer l’aire de f .

R´ep.– i) Un calcul direct montre que

E=b², F = 0, G= (a+bcosu)² d’o`u

dS=p

EG−F²dudv=|b(a+bcosu)|dudv.

Puisquea > b >0 le signe deb(a+bcosu) est positif et dS=b(a+bcosu)dudv.

ii) D’apr`es le cours, on sait que

kfu∧f_vk=p

EG−F²

doncf est r´eguli`ere en (u, v) si et seulement sip

(EG−F²)(u, v)>0, ce qui est le cas ici carp

(EG−F²) =b(a+bcosu) eta > b >0.

iii) On a

Aire(f) = Z

[0,2π]×[0,2π]

b(a+bcosu)dudv= 4abπ².

10) i) Sachant que la matrice dans la base (f

, f

) de l’op´ erateur de Weingarten de f est donn´ ee par

A =



 1

b 0

0 cos u a + b cos u





montrer que

H

dS =

cos u + a

4b(a + b cos u)

dudv o` u H est la courbure moyenne de f.

ii) En d´ eduire que Z

T(a,b)

H

dS = π

a

b √

a

− b

.

Cette int´ egrale s’appelle l’´ energie de Willmore de T (a, b). On admettra pour le calcul que l’on a pour tout µ > 1 :

Z

1

µ + cos u du = π p µ

− 1 . iii) Montrer que pour tout λ > 1, on a

λ

√ λ

− 1 ≥ 2 et en d´ eduire que

Z

T(a,b)

H

dS ≥ 2π

avec ´ egalit´ e si et seulement si a/b = √

2.

R´ep.– i) On a H =1

2tr A=1 2

1

b + cosu a+bcosu

= a+ 2bcosu 2b(a+bcosu)

d’o`u

H²dS = (a+ 2bcosu)²

4b²(a+bcosu)²b(a+bcosu)dudv

= (a+ 2bcosu)² 4b(a+bcosu)dudv

= ((2a+ 2bcosu)−a)² 4b(a+bcosu) dudv

= 4(a+bcosu)²−4a(a+bcosu) +a² 4b(a+bcosu) dudv

= 1

b(a+bcosu)−a

b + a²

4b(a+bcosu)

dudv

=

cosu+ a² 4b(a+bcosu)

dudv

ii) On a Z

T(a,b)

H²dS = Z

[0,2π]×[0,2π]

cosu+ a² 4b(a+bcosu)

dudv

= 2π Z 2π

0

cosu+ a² 4b(a+bcosu)

du

= 2π Z 2π

0

a²

4b(a+bcosu)du

= 4π Z π

0

a²

4b(a+bcosu)du

= πa² b²

Z π 0

1

a

b + cosudu

= π²a² b²

qa² b² −1

= π²a² b√

a²−b² iii) On a

λ²

√

λ²−1 ≥2 ⇐⇒ λ⁴

λ²−1 ≥4 ⇐⇒ λ⁴≥4λ²−4 ⇐⇒ (λ²−2)²≥0.

D’o`u l’in´egalit´e demand´ee. Notons que l’´egalit´e a lieu si et seulement siλ=√ 2.En posantλ=a/bon constate que

Z

T(a,b)

H²dS=π² λ²

√λ²−1 ≥2π² avec ´egalit´e si et seulement sia/b=√

2.

11) On consid` ere la surface param´ etr´ ee Inv ◦ f.

i) Montrer, en utilisant la question 2, que le support de Inv ◦ f est un

tore T (a

, b

) et d´ eterminer a

et b

.

ii) Montrer que Z

T(a^∗,b^∗)

H

dS = Z

T(a,b)

H

dS.

R´ep.– i) On d´eduit imm´ediatement des questions 2) et 8) que le support de Inv◦f est un toreT(a^∗, b^∗) avec

a^∗= ca

a²−b² et b^∗= cb a²−b². ii) D’apr`es 10 ii) on a

Z

T(a^∗,b^∗)

H²dS= π²(a^∗)² b^∗p

(a^∗)²−(b^∗)² En rempla¸cant par les valeurs trouv´ees pr´ec´edemment on trouve

π²(a^∗)² b^∗p

(a^∗)²−(b^∗)² = π²a² b√

a²−b² d’o`u l’´egalit´e demand´ee.