Universit´e Paris Diderot L3 Maths Appliqu´ees
M2303 Analyse de Hilbert et de Fourier Ann´ee 08/09
Feuille d’exercices 2
1. On veut montrer que l’op´eration de convolution dansL1(lR) n’admet pas d’´el´ement unit´e, c’est-`a-dire d’´el´ement f de L1(lR) tel que:
(1) ∀g∈L1(lR) f ∗g=g.
On consid`ere pour cela les fonctionsKτ (τ >0) d´efinies par : Kτ(x) = 1
τ 1l[0,τ](x).
a) Montrer que pour toute fonction f en escalier, f∗Kτ →f dansL1(lR) quandτ →0.
b) En d´eduire que le mˆeme r´esultat est vrai pour toute fonctionf ∈L1(lR).
c) On suppose quef v´erifie (1). ´Etudier la convergence ponctuelle deKτ et conclure.
2. Montrer qu’on peut appliquer l’identit´e de Parseval `a la fonction h(x) = e−|x| (voir exercice 2 feuille 1) et en d´eduire l’´egalit´e
Z
lR
1
(1 +x2)2dx= π 2. 3. Soit f la fonction d´efinie sur lR par:
f(x) =e−x pour x≥0 et f(x) =−ex pour x <0.
a) Calculerfb. A-t-onfb∈L1(lR)? fb∈L2(lR)?
b) Quelle est la transform´ee de Fourier dans L2(lR) de la fonctionx7→ x 1 +x2? c) Montrer `a l’aide de l’identit´e de Parseval que
Z
lR
x2
(1 +x2)2dx= π 2.
4. Montrer que la fonctionx7→ sinx
x est dansL2(lR). Quelle est sa transform´ee de Fourier?
Montrer `a l’aide de l’identit´e de Parseval que Z +∞
−∞
sin2x
x2 dx=π.
5. Montrer par des arguments de continuit´e que les relations (i) `a (iv) de l’exercice 4 de la feuille 1 s’´etendent `a la transformation de Fourier dansL2(lR).
1
6. a) `A l’aide d’une int´egration par parties, montrer que l’int´egrale g´en´eralis´ee Z +∞
1
eitx x dx est convergente pour tout t6= 0,.
Montrer de plus que l’application : t7→
Z +∞
1
eitx
x dx est continue sur lR∗. b) En d´eduire que pour tout ξ /∈ {−1,+1} l’int´egrale g´en´eralis´ee
Z +∞
−∞
sinx
x e−iξxdxest convergente et que l’applicationξ 7→
Z +∞
−∞
sinx
x e−iξxdxest continue sur lR\ {−1,+1}.
c) En utilisant l’exercice 4, montrer que Z +∞
−∞
sinx
x e−iξxdx=π si ξ∈]−1,+1[, 0 si ξ /∈[−1,+1].
7. a) Montrer que la fonction f(x) = arctan 1x
appartient `aL2(lR).
b) `A l’aide d’une int´egration par parties, montrer que l’int´egrale g´en´eralis´ee Z +∞
−∞
f(x)e−iξxdx existe pour toutξ ∈lR∗ et calculer cette int´egrale.
c) En d´eduirefb.
8. a) `A l’aide du th´eor`eme de Fubini, montrer l’identit´e, pourf, g∈L1(lR):
Z
f(x)bg(x)dx= Z
fb(x)g(x)dx.
b) Montrer que cette identit´e s’´etend au cas def, g∈L2(lR).
Indication: on pourra utiliser les deux suites de fonctions de L1(lR)∩L2(lR) d´efinies par fn=f.1l[−n,+n] etgn=g.1l[−n,+n] (qui tendent respectivement versf etg dans L2(lR)).
c) Montrer que pourλ >0 on a Z +∞
−∞
sinx
x e−λ|x|dx= Z +1
−1
λ x2+λ2dx et en d´eduire
Z +∞
0
sinx
x e−λxdx= arctan1 λ.
9. a) `A l’aide d’une int´egration par parties, montrer que l’int´egrale g´en´eralis´ee Z +∞
−∞
x
1 +x2 sin(ξx)dx est convergente pour toutξ 6= 0, ´egale `a 1
ξ Z +∞
−∞
1−x2
(1 +x2)2cos(ξx)dxet continue par rapport `a ξ sur lR\ {0}.
b) En d´eduire les ´egalit´es suivantes (ξ 6= 0 pour la premi`ere):
Z +∞
0
x
1 +x2 sin(ξx)dx= π
2e−|ξ|sgn(ξ) et
Z +∞
0
1−x2
(1 +x2)2 cos(ξx)dx= π
2|ξ|e−|ξ|
o`u sgn(ξ) vaut 1 pour ξ >0 et −1 pourξ <0.
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