Analyse de Hilbert et de Fourier
U4AH36 (6 ECTS, coef. 2)
Modalit´es d’´evaluation : contrˆole continu et examen terminal
Pr´e-requis :L1, L2 Math´ematiques, ainsi que le cours deTopologie et Calcul Diff´erentielde S5
Parcours int´egrant obligatoirement cette UE : Math´ematiques fonda- mentales et math´ematiques appliqu´ees
Parcours pouvant int´egrer cette UE : tous les autres parcours.
Programme des enseignements
– Rappels et compl´ements d’analyse : fonctions uniform´ement continues, convergence uniforme, th´eor`eme de Stone-Weierstrass.
– Espaces pr´e-hilbertiens ; espaces de Hilbert ; projection sur un convexe ferm´e ; syst`emes orthogonaux et bases hilbertiennes ; in´egalit´e de Bessel et ´egalit´e de Parseval.
– S´erie de Fourier d’une fonction deL2(0,2π). Convergence quadratique et isomor- phismeL2(0,2π)∼l2(Z).
– Convergence ponctuelle de la s´erie de Fourier : cas des fonctionsC1 par morceaux et th´eor`eme de Dirichlet, convergence uniforme pour les fonctions continues etC1 par morceaux.
– Application des s´eries de Fourier ; par exemple : recherche de solution d’EDP ou d’EDO par s´eries de Fourier, in´egalit´e iso-p´erim´etrique.
– Transform´ee de Fourier dansL1(R) et dansL2(R). Convolution. Lien entre s´eries de Fourier et transform´ee de Fourier. Interpr´etation temps-fr´equence.
Objectifs :Mise en œuvre de la th´eorie de l’int´egrale de Lebesgue, d´ej`a vue en S5 maths appliqu´eeset en cours d’apprentissage en S6maths fondamentales.
