m aths au lycée Gustave Eiffel
Une année de mathématiques
en 1 ère S1
Jérôme HERBAUT
une année de
mathématiques en 1 ère s1
cours
1 Le second degré 6
1.1 Fonctions polynômes du second degré . . . 7
1.1.1 Définition . . . 7
1.1.2 Représentation graphique . . . 7
1.1.3 Sens de variation . . . 7
1.1.4 Elément de symétrie . . . 8
1.2 Forme canonique . . . 8
1.2.1 Un exemple . . . 8
1.2.2 Propriété . . . 8
1.2.3 Lien avec le sommet de la parabole . . . 9
1.3 Résoudre une équation du second degré . . . 9
1.3.1 Exemples . . . 9
1.3.2 Généralisation . . . 9
1.3.3 Algorithme de résolution. . . 10
1.3.4 Programmation avec Xcas . . . 11
1.3.5 Factorisation . . . 11
1.3.6 Signe deax2+bx+c . . . 11
1.4 Résumé . . . 12
2 Les vecteurs du plan 13 2.1 Les vecteurs . . . 14
2.1.1 Définitions . . . 14
2.1.2 Caractérisation d’un vecteur . . . 14
2.1.3 Vecteurs égaux. . . 14
2.1.4 Vecteurs opposés . . . 14
2.2 Opérations sur les vecteurs . . . 15
2.2.1 Addition vectorielle . . . 15
2.2.2 Multiplication d’un vecteur par un nombre réel. . . 15
2.3 Vecteurs et coordonnées . . . 16
2.3.1 Coordonnées d’un vecteur . . . 16
2.3.2 Propriétés . . . 16
2.3.3 Calcul de distance, de norme . . . 17
2.4 Colinéarité . . . 17
2.4.1 Définition et caractérisation . . . 17
2.4.2 Applications géométriques. . . 18
2.4.3 Critère de colinéarité . . . 18
2.5 Vecteurs et droites . . . 18
2.5.1 Vecteur directeur d’une droite . . . 18
2.5.2 Equation cartésienne d’une droite. . . 19
2.5.3 Parallèlisme et intersection. . . 19
2.5.4 Lien entre équation cartésienne et équation réduite. . . 19
2.6 Décomposition d’un vecteur dans une base . . . 20
2.6.1 Exemple . . . 20
2.6.2 Décomposition dans une base . . . 20
2.6.3 Application à la résolution de problème . . . 21
6
2.6.4 Repères . . . 21
3 Paramètres statistiques 22 3.1 Paramètres de position . . . 23
3.1.1 La moyenne . . . 23
3.1.2 La médiane. . . 23
3.1.3 Quartiles . . . 23
3.1.4 Les déciles . . . 24
3.2 Paramètres de dispersion . . . 24
3.2.1 L’étendue . . . 24
3.2.2 Intervalle inter-quartiles . . . 24
3.2.3 Les diagrammes en boîtes . . . 25
3.2.4 Variance et écart-type. . . 25
3.3 Utilisation de la calculatrice . . . 29
3.4 Syntaxe deXcas . . . 30
3.4.1 Création des listes. . . 30
3.4.2 Obtention des paramètres statistiques . . . 31
3.4.3 Représentations graphiques . . . 31
4 Fonctions de références et fonctions associées 34 4.1 Le sens de variation . . . 35
4.2 Les fonctions de références . . . 35
4.2.1 Les fonctions affines . . . 35
4.2.2 La fonction carrée . . . 36
4.2.3 La fonction inverse . . . 37
4.2.4 Effets sur les inégalités . . . 37
4.3 La fonction racine carrée . . . 38
4.3.1 Définition . . . 38
4.3.2 Sens de variations . . . 39
4.3.3 Représentation graphique . . . 39
4.3.4 Comparaison dex,x2,√ xsur [0; +∞[ . . . 39
4.4 La fonction valeur absolue . . . 40
4.4.1 Valeur absolue d’un nombre réel . . . 40
4.4.2 Avec un algorithme . . . 40
4.4.3 Proriétés . . . 40
4.4.4 La fonction valeur absolue . . . 40
4.5 Fonctions associées . . . 41
4.5.1 Fonctions de la formex7→u(x) +λ,λréel donné . . . 41
4.5.2 Fonctions de la formex7→λu(x), (λ,0) . . . 42
4.5.3 Fonctions de la formex7→√ u . . . 42
4.5.4 Fonctions de la formex7→ 1 u . . . 42
4.5.5 Exemples d’utilisation . . . 42
5 Angles orientés-Trigonométrie 43 5.1 Repérage sur le cercle trigonométrique . . . 44
5.1.1 Le cercle trigonométrique . . . 44
5.1.2 Correspondance entre les nombres réels et les points du cercle . . . 44
5.2 Angles orientés . . . 45
5.2.1 Mesure d’un angle orienté . . . 45
5.2.2 Le radian . . . 45
5.2.3 Mesure principale. . . 46
5.2.4 Angle orienté de deux vecteurs non nuls . . . 47
5.3 Trigonométrie . . . 48
5.3.1 Fonctions cosinus et sinus . . . 48
5.3.2 Propriétés . . . 49
5.3.3 Valeurs remarquables. . . 49
5.3.4 Périodicité . . . 49
5.3.5 Parité et autres symétries . . . 49
5.3.6 Résumé . . . 51
5.3.7 Cosinus et sinus d’un angle orienté . . . 51
5.3.8 Résolution d’équations . . . 51
6 Dérivation 53 6.1 Introduction . . . 54
6.1.1 Notion de tangente . . . 54
6.1.2 Nombre dérivé. . . 55
6.2 Dérivation en un point . . . 56
6.2.1 Définition . . . 56
6.2.2 Interprétation géométrique . . . 56
6.2.3 Équation de la tangente . . . 56
6.2.4 Interprétation cinématique. . . 57
6.3 Fonction dérivée . . . 58
6.3.1 Dérivées des fonctions de référence . . . 58
6.3.2 Opérations sur les dérivées. . . 58
7 Le produit scalaire 60 7.1 Produit scalaire . . . 61
7.1.1 Définition . . . 61
7.1.2 Vecteurs colinéaires . . . 61
7.1.3 Vecteurs orthogonaux. . . 61
7.1.4 Symétrie . . . 61
7.2 Autres expressions du produit scalaire . . . 62
7.2.1 Avec des projetés orthogonaux. . . 62
7.2.2 Dans un repère . . . 63
7.3 Régles de calculs . . . 64
7.4 Droite et produit scalaire . . . 65
7.4.1 Vecteur normal à une droite . . . 65
7.4.2 Equation cartésienne d’une droite. . . 65
7.4.3 Parallélisme et orthogonalité. . . 66
8 Les suites 67 8.1 Introduction et définitions . . . 68
8.2 Mode de génération d’une suite . . . 69
8.2.1 Suite définie de façon explicite . . . 69
8.2.2 Suite définie par récurrence . . . 69
8.3 Représentation graphique . . . 70
8.3.1 Suite définie parun=f(n) . . . 70
8.3.2 Suite définie parun+1=f(un) . . . 71
8.4 Syntaxe deXcas . . . 71
8.4.1 Cas d’une suite définie de façon explicite . . . 71
8.4.2 Cas d’une suite définie par récurrence . . . 72
8.5 Suites arithmétiques et géométriques . . . 74
8.5.1 Suites arithmétiques . . . 74
8.5.2 Suites géométriques. . . 75
9 Applications de la dérivation 78 9.1 Sens de variations d’une fonction . . . 79
9.2 Extremum local . . . 80
8
10Les Probabilités 82
10.1 Variable aléatoire . . . 83
10.1.1 Exemple . . . 83
10.1.2 Définition . . . 83
10.2 Paramètres d’une variable aléatoire . . . 83
10.2.1 Exemple . . . 83
10.2.2 Définitions . . . 84
10.2.3 Propriétés . . . 85
11Sens de variation d’une suite 86 11.1 Monotonie d’une suite . . . 87
11.1.1 Définitions . . . 87
11.1.2 Méthodes. . . 87
11.1.3 Cas des suites arithmétiques et géométriques . . . 89
11.2 Notion de limite . . . 90
11.2.1 Suite convergente . . . 90
11.2.2 Suite divergente . . . 90
11.2.3 Limite d’une suite arithmétique . . . 92
11.2.4 Limite d’une suite géométrique . . . 92
12La loi binomiale 94 12.1 Introduction . . . 95
12.1.1 Simulation de 20 réalisation de X . . . 95
12.1.2 Réalisation de 500 réalisations de X. . . 96
12.1.3 Vers la loi théorique. . . 97
12.1.4 Espérance mathématique et variance . . . 98
12.2 La loi de Bernoulli . . . 99
12.2.1 L’épreuve de Bernoulli . . . 99
12.2.2 La loi de Bernoulli . . . 99
12.2.3 Variable aléatoire . . . 99
12.3 La loi binomiale . . . 100
12.3.1 Le shéma de Bernoulli . . . 100
12.3.2 Coefficients binomiaux . . . 100
12.3.3 Définitions . . . 100
12.3.4 Propriétés . . . 101
12.4 Les coefficients binomiaux . . . 101
12.4.1 Propriétés des coefficients binomiaux. . . 101
12.4.2 Le triangle dePascal . . . 102
13Fluctuation d’échantillonnage 105 13.1 Vocabulaire et propriété admise en Seconde . . . 106
13.1.1 Rappel . . . 106
13.1.2 Exemple . . . 106
13.2 Utilisation d’une loi binomiale. . . 106
13.2.1 Exemple à l’aide d’un logiciel . . . 106
13.2.2 Définition . . . 108
13.2.3 Méthode . . . 108
13.3 Utilisation d’un algorithme. . . 109
13.3.1 Langage formalisé. . . 109
13.3.2 Programmation . . . 109
13.4 Comparaison des deux méthodes . . . 110
14Applications du produit scalaire 111 14.1 Équations de cercles. . . 112
14.1.1 Forme générale . . . 112
14.1.2 Cercle de diamètre donné . . . 112
14.2 Longueurs et angles dans un triangle . . . 113
14.2.1 Théorème de la médiane . . . 113
14.2.2 Formules d’Al Kashi . . . 113
14.2.3 Aire d’un triangle . . . 114
14.2.4 Formule des sinus . . . 114
14.3 Application à la trigonométrie . . . 115
14.3.1 Formules d’addition . . . 115
14.3.2 Formules de duplication . . . 115
1
Le second degré
C H A P I T R E
Fonctions polynômes du second degré
1
1 1 Définition
Une fonction polynôme du second degré est une fonctionf définie surRpar : f(x) =ax2+bx+c
oùa,betcsont trois nombres réels aveca,0.
Définition 1 - 1
Les fonctions suivantes sont-elles des fonctions polynômes du second degré ? 1. f(x) = 4x−7
3x2 2. g(x) = x52−1 3. h(x) =−4(x+ 1)2+ 7 Exemple
1 2 Représentation graphique
A l’aide de l’animation geogebra on observe que les courbes représentatives ont toute la même allure. Elles sont appelés des paraboles.
La courbe représentative d’une fonction polynôme de degré 2 est une parabole, ouverte vers le haut sia >0 et ouverte vers le bas sia <0.
Propriété 1 - 1
1 3 Sens de variation
12 1.2. FORME CANONIQUE
a >0
x −∞ xS +∞
Variations de f
yS
a <0
x −∞ xS +∞
Variations de f
yS
1 4 Elément de symétrie
Soitfune fonction polynôme de degré 2 etPla parabole qui la représente :
• La parabole admet un axe de symétrie parallèle à l’axe des ordonnées.
• Le point S de la parabole situé sur l’axe de symétrie est appelé sommet de la parabole, son abscisse estx=−b
2a.
• Sia >0 il s’agit d’un minimum et sia <0 d’un maximum.
Propriété 1 - 2
1. Régler la fenêtre de la calculatrice graphique de la façon suivante : Xmin=−6, Xmax= 6
Ymin=−10, Ymax= 10.
2. Représenter une à une, sur la cal- culatrice, les fonctions définies par :
• f(x) =x2−2x−1
• g(x) =−0.5x2+ 3x−4
• h(x) = 2x2−x−6
• k(x) =−3x2−9x−1
Puis faire correspondre chaque courbe à chaque fonction.
3. Calculer les coordonnées du som- met de chaque parabole.
Exemple
Forme canonique
2
2 1 Un exemple
Soit (E) l’équationx2+ 10x−39 = 0.
1. Développer (x+ 5)2et en déduire quex2+ 10x= (x+ 5)2−25.
2. En déduire la résolution de (E) 2 2 Propriété
Propriété et définition
Pour toute fonction polynôme de degré 2 définie surRparf(x) =ax2+bx+c,a,0 il existe 2 nombres réelsαetβtels que :
Pour toutx∈R,f(x) =a(x−α)2+β Cette écriture est appelée forme canonique def.
Propriété 1 - 3
Démonstration.
f(x) =ax2+bx+c=a x2+b ax+c
a
!
=a
x+ b 2a
!2
− b2 4a2+c
a
f(x) =a
x+ b 2a
!2
+−b2+ 4ac 4a2
f(x) =a(x−α)2+β
En posantα=−2ab etβ=−b24a+4ac
Mettre sous forme canonique les fonctions suivantes : 1. f(x) =x2+ 6x−5
2. f(x) =x2−5x+ 7 3. f(x) = 3x2+ 12x−6 Exemple
2 3 Lien avec le sommet de la parabole
Soitf une fonction polynôme de degré 2 de forme canoniquef(x) =a
(x+α)2+β . Le sommet S de la parabolePreprésentantf a pour coordonnées S(α;β) Propriété 1 - 4
Résoudre une équation du second degré
3
3 1 Exemples
Résoudre les équations suivantes : 1. 2x2−10 = 0
2. 4x2−3x= 0
3. 5x2+ 4 = 0 4. x2+ 2x+ 1 = 0
5. x2−10x+ 7 = 0
3 2 Généralisation
On veut résoudre l’équationax2+bx+c= 0, en utilisant la forme canonique l’équation s’écrit :
a
x+ b 2a
!2
+−b2+ 4ac 4a2
= 0 On appelle discriminant le réel∆défini par∆=b2−4ac.
Définition 1 - 2
En utilisant∆l’équation équivaut à x+ b 2a
!2
− ∆ 4a2 = 0
• Si∆<0 alors x+ b 2a
!2
− ∆
4a2 >0 donc l’équation n’a pas de solution.
• Si∆= 0 alors l’équation équivaut à x+ b 2a
!2
= 0 donc une seule solutionx=
− b 2a.
14 1.3. RÉSOUDRE UNE ÉQUATION DU SECOND DEGRÉ
• Si∆>0 alors l’équation équivaut à
x+ b 2a
!
−
√
∆ 2a
! x+ b
2a
! +
√
∆ 2a
!
= 0 donc
x+ b 2a
!
−
√
∆
2a = 0 ou x+ b 2a
! +
√
∆ 2a = 0
x=−b+
√
∆
2a ou x=−b+
√
∆ 2a
Soita,betctrois nombres réels aveca,0 et (E) l’équationax2+bx+c= 0.
Pour résoudre (E) on calcule son discriminant∆=b2−4ac :
• Si∆<0 alors l’équation n’a pas de solution.
• Si∆= 0 alors l’équation admet une unique solution :x=−b 2a.
• Si ∆ > 0 alors l’équation admet deux solutions : x1 = −b−
√
∆
2a et x2 =
−b+
√
∆ 2a . Propriété 1 - 5
Résoudre les équations suivantes : 1. 3x2+x−2 = 0
2. x2−x+ 5 = 0 3. −4x2−20x−25 = 0 Exemple
3 3 Algorithme de résolution
Algorithme 1 :Résoudre une équation du second degré Variables : a, b, c, D,x1,x2
Entrées : coefficienta,betc Traitement
D←−b2−4ac siD>0alors x1←−−b+
√ D 2a
x2←−−b−
√ D
Afficher "l’équation a deux solutions2a x1etx2"
fin
siD = 0alors x1←−−b
Afficher "l’équation a une unique solution2a x1"
fin
siD<0alors
Afficher "l’équation n’a pas de solution"
fin Fin
3 4 Programmation avec Xcas
saisir(a,b,c) ; D :=b^2-4a*c ;
si D>0 alors x1 :=(-b-sqrt(D))/(2*a) ; x2 :=(-b+sqrt(D))/(2*a) ; afficher("L’équation a deux solutions : "+x1+" et "+x2) ; fsi;
si D==0 alors x0 := -b/(2*a) ;
afficher("L’équation a une solution : "+x0) ; fsi;
si D<0 alors afficher("L’équation n’a aucune solution") ; fsi:;
3 5 Factorisation
• Si∆<0 alorsax2+bx+cne peut pas être factorisé.
• Si∆= 0 alorsax2+bx+c=a x+ b 2a
!2
• Si∆>0 alorsax2+bx+c=a(x−x1)(x−x2) oùx1etx2sont les solutions de ax2+bx+c= 0.
Propriété 1 - 6
3 6 Signe deax2+bx+c
Le signe deax2+bx+cest donné dans chacun des tableaux suivants :
• Si∆<0 alors
−∞ +∞
signe de a
• Si∆= 0 alors
−∞ x0 +∞
signe | signe
dea 0 dea
|
• Si∆>0 alors
−∞ x1 x2 +∞
signe | signe | signe
dea 0 opposé 0 dea
| |
oùx1etx2sont les racines deax2+bx+cetx1< x2 Propriété 1 - 7
16 1.4. RÉSUMÉ
Résumé
4
∆=b2−4ac ∆>0 ∆= 0 ∆<0 Solutions de
l’équation ax2+bx+c= 0
2 solutions distinctes : x1=−b−
√
∆
2a x2=−b+
√
∆ 2a
une solution
x0=−2ab aucune solution Factorisation de
ax2+bx+c a(x−x1)(x−x2) a(x−x0)2 pas de factorisation
Signe de ax2+bx+c
−∞ x1 x2 +∞
signe | signe | signe
dea 0 opposé 0 dea
| |
−∞ x0 +∞
signe | signe
dea 0 dea
|
−∞ +∞
signe de a
Courbes pour
a >0 x1 O x2 O x0 O
Courbes pour a <0
x2 O x1 O
x0
O
2
Les vecteurs du plan
C H A P I T R E
18 2.1. LES VECTEURS
Les vecteurs
1
1 1 Définitions
• Soient A et B deux points distincts du plan.
A tout point M du plan, on associe le point M0 tel que ABM0M soit un parallélogramme.
Ce point M0 est appelé image de M par Tous les couples (M; M0) ainsi obtenus représentent le mêmevecteurdu plan.
On note #»u=# » AB =# »
MM0=# » PP0=. . ..
• Si A et B sont confondus, le vecteur obtenu est levecteur nul.
On note #»
0 =# » AA =# »
BB =# » MM =. . .. Définition 2 - 1
b
A
b
B
b
M b
P
b
N
1 2 Caractérisation d’un vecteur Si#»u est un vecteur non nul du plan et# »
AB un représentant du vecteur #»u, alors #»uest caractérisé par :
•
•
•
1 3 Vecteurs égaux
• Des vecteurs sontégauxsi et seulement si ils ont
• Deux vecteurs # » AB et # »
CD du plan sont égaux si et seulement si
Propriété 2 - 1
1 4 Vecteurs opposés
Le vecteur# »
BA est levecteur opposédu vecteur # »
AB. On note# » Définition 2 - 2 BA =
Les vecteurs #»uet−#»u ont Propriété 2 - 2
Opérations sur les vecteurs
2
2 1 Addition vectorielle
Soient #»u et #»v deux vecteurs. Soient A, B et C trois points du plan tels que #»u = # »
AB et
#»v =# » BC.
On définit la somme de #»u et de #»v par la relation de Chasles :
Définition 2 - 3 #»u
#»v
Quels que soient les vecteurs #»u, #»v etw#»du plan, on a :
• #»u+#»v =#»v +#»u (commutativité) ;
• (#»u+#»v) +w#»=#»u+ (#»v +w) (transitivité) ;#»
• #»u+#»
0 = #»u.
Propriété 2 - 3
2 2 Multiplication d’un vecteur par un nombre réel
Soit #»uun vecteur etkun réel, on définit le vecteur #»v =ku#»par :
• Si#»u= 0 ouk= 0 alorsk#»u=#»
0 .
• Sik >0,#»v et#»u ont même direction, même sens et la norme de#»v vautkfois celle de #»u ;
• Sik <0, #»v et #»u ont même direction, sont de sens opposés et la norme de#»v est égale à−kfois celle de #»u.
Définition 2 - 4
Construire ci-dessous les vecteurs : #»v =# »
2u,w#»=−# »3u,#»x=12#»uet #»y =−4
3#»u. Exemple
u#»
Quels que soient les vecteurs #»u, #»v et les réelsketl, on a :
• k(#»u+#»v) = (distributivité par rapport aux vecteurs) ;
• (k+l)#»u= (distributivité par rapport aux réels) ;
• k(l#»u) = (associativité) Propriété 2 - 4
20 2.3. VECTEURS ET COORDONNÉES
Vecteurs et coordonnées
3
3 1 Coordonnées d’un vecteur
Lire les coordonnées des vecteurs ci-contre : Exemple
1 2 3
−1
−2
1 2 3
−1
−2
−3
#»u
#»v
w#»
Dans le repère (O,I,J), on considère les points A(xA;yA), et B(xB;yB)
Alors les coordonnées de # » AB sont Propriété 2 - 5
1 2 3 4 5
−1 1 2 3 4 5
−1 3 2 Propriétés
Soient #»u
x y
, #»v
x0 y0
deux vecteurs et leurs coordonnées dans un repère etkun réel.
• Egalité de deux vecteurs :
Deux vecteurs sont égaux si et seulement si leurs coordonnées sont
#»u=#»v ⇐⇒
• Somme de deux vecteurs :
Le vecteurw#»=u#»+#»v a pour coordonnéesw#»
• Produit d’un vecteur par un réel : Le vecteurw#»=k#»u a pour coordonnéesw#»
Propriété 2 - 6
Soient #»u
1
−3
,#»v
5 3
etw#»
5x x+y
. 1. Déterminer les coordonnées de :
(a) #»u+#»v (b) −#»u (c) 5#»v (d) −#»u+ 5#»v 2. Déterminerxetypour que#»v =w.#»
Exemple
3 3 Calcul de distance, de norme
Dans le repère orthonormé (O,I,J), on consi- dère les points
A(xA;yA), et B(xB;yB) et le vecteuru#»
x y
. Alors :
• La distance AB vaut AB =
• La norme de #»uvautk#»uk= Propriété 2 - 7
1 2 3 4 5
−1 1 2 3 4 5
−1
Soient M(2,1), N(5,2) et P(6,5).
Déterminer les coordonnées de R pour que MNPR soit un parallélogramme.
Quelle est sa particularité ? Exemple
1 2 3 4 5
−1 1 2 3 4 5
−1
Colinéarité
4
4 1 Définition et caractérisation
On dit que deux vecteurs #»uet #»v sontcolinéairessi Définition 2 - 5
Les vecteurs #»uet #»v sont-ils colinéaires ?
#»u #»v #»u #»v u#» #»v
Exemple
• Deux vecteurs sont dits colinéaires si et seulement si ils ont
• Le vecteur nul est colinéaire à tout vecteur.
Propriété 2 - 8
22 2.5. VECTEURS ET DROITES
4 2 Applications géométriques
• Les droites (AB) et(CD) sont parallèles si et seulement si
• Les points A, B et C sont alignés si et seulement si Propriété 2 - 9
4 3 Critère de colinéarité
Soient #»u
x y
et #»v
x0 y0
.
u#»et #»v sont colinéaires si et seulement si Propriété 2 - 10
La quantitéxy0−yx0est appellé ledéterminantdes vecteurs#»u et #»v. Définition 2 - 6
1. Les vecteurs#»u
6
−9
et#»v
−8 12
sont-ils colinéaires ?
2. Les vecteurs#»a
2
−6
et#»
b
−3 7
sont-ils colinéaires ? Exemple
Dans un repère on considère les points A(4; 2),B
3;7
2
,C
1;5 2
et D
1;1 2
.
1. Démontrer que ABCD est un trapèze.
2. Soit E(6, y). Déterminery pour que A, D et E soient alignés.
Exemple
1 2 3 4 5
−1 1 2 3 4 5
−1
Vecteurs et droites
5
Il existe deux types d’équations de droitesy=mx+petx=k. Nous allons les regrouper en un seul groupe appelé équation cartésienne de droite.
5 1 Vecteur directeur d’une droite
SoitD une droite, A et B deux points deD. On appelle vecteur directeur deD tout vecteur non nul #»ucolinéaire à # »
Définition 2 - 7 AB.
Soit A(−1; 3) et B(3;−3). Déterminer plusieurs vecteurs directeurs de (AB).
Exemple
5 2 Equation cartésienne d’une droite 5 2 a Exemple
SoitDla droite passant par A(−1; 3) et dirigé par#»u
2 5
et M(x;y) un point du plan.
Déterminer une condition surxetypour que M appartienne àD.
5 2 b Théorème
• Toute droite du plan admet une équation de la formeax+by+c= 0 oùa,b etcsont des nombres réels tels que (a;b),(0; 0)
Une telle équation est appeléeéquation cartésiennedeD Un point M(x;y) appartient àDsi et seulement siax+by+c= 0.
• Soita,betcdes réels tels que (a;b),(0; 0).
L’ensemble des points M(x;y) vérifiantax+by+c= 0 est une droiteDde vecteur directeur #»u
−b a
Théorème 2 - 1
Une droite admet une infinité d’équations cartésiennes qui sont toutes proportion- nelles.
Remarque
Soit A(4;−3) et B(2; 1).
1. Déterminer une équation cartésienne de (AB).
2. Les points C(−2; 6) et D(3;−1) appartiennent-ils à (AB) ? 3. Déterminer l’abscisse du point E de (AB) d’ordonnée 3.
Exemple
Représenter les droites suivantes :
1. D1: 3x−2y+ 6 = 0 2. D2: 2x+ 5y+ 4 = 0 3. D3: 2x−5 = 0
Exemple
5 3 Parallèlisme et intersection
SoientD1,D2etD3les droites d’équations cartésiennes : D1:−6x+ 4y−5 = 0,D2: 9x−6y+ 1 = 0 etD3: 2x−3y+ 5 = 0.
1. Les droitesD1etD2sont-elles parallèles ?
Si non déterminer les coordonnées de leur point d’intersection.
2. Même question avecD1etD3. Exemple
5 4 Lien entre équation cartésienne et équation réduite Objectif : Passer d’une équation cartésienne à une équation réduite
24 2.6. DÉCOMPOSITION D’UN VECTEUR DANS UNE BASE
1. SoitD1la droite d’équation réduitey=32x−2.
Déterminer une équation cartésienne deD1et un de ses vecteurs directeurs.
2. SoitD2la droite d’équation cartésienne 3x+5y−7 = 0. Déterminer l’équation réduite deD2et en déduire son coefficient directeur.
3. SoitD3la droite d’équation cartésienne 3x+ 4 = 0.
Déterminer l’équation réduite deD3 Exemple
Décomposition d’un vecteur dans une base
6
6 1 Exemple
Exprimer les vecteurs #»s,#»t,w#»et #»z en fonction des vecteurs#»u et #»v.
#»t
#»s
#»z
w#»
#»v
u#»
6 2 Décomposition dans une base
On appelle base du plan tout couple de vecteurs (#»u ,#»v) non colinéaires.
Définition 2 - 8
Soit (#»u ,#»v) une base du plan.
Tout vecteur w#»peut se décomposer sous la formew#»=k#»u+m#»v oùketmsont deux réels.
Propriété 2 - 11
ABCDEF est un hexagone régulier.
O
A B
C
D
E F
1. Exprimer dans la base (# » OA,# »
OB) : (a) # »
AC. (b) # »
DF.
(c) # » CE.
2. Exprimer dans la base (# » CD,# »
CF) : (a) # »
EB. (b) # »
EA.
(c) # » CB.
Exemple
6 3 Application à la résolution de problème Soit RSTU un parallèlogramme.
Soit E l’image de U par la translation de vecteur# »
TU et F le point tel que# » RF =13# »
RT.
1. Démontrer que# » EF =43# »
UT +23# » UR 2. Exprimer# »
ES en fonction de # » UT et# »
UR.
3. Démontrer que E,F et S sont alignés.
6 4 Repères
Soientt A, B et C trois points non alignés du plan alors pour tout point M du plan il existe un unique couple (x;y) tel que # »
AM =x# » AB +y# »
AC.
(x;y) sont les coordonnées du point M dans le repère (A;# » AB,# »
AC).
Théorème 2 - 2
3
Paramètres statistiques
C H A P I T R E
Paramètres de position
1
1 1 La moyenne
On considère une série de notes, obtenues par une classe lors d’un devoir (série A) :
notesxi 3 5 6 7 8 9 13 14 18 20 total
effectifsni 1 1 2 2 4 2 2 3 1 1 19
Calculer la moyenne de la série A : Exemple
On considère une série statistique à caractère quantitatif, dont lespvaleurs sont données parx1,x2, . . .,xpd’effectifs associésn1,n2, . . .,npavecn1+n2+...+np= N (effectif total).
Lamoyenne pondéréede cette série est le nombre notéxqui vaut : Définition 3 - 1
On peut aussi calculer une moyenne à partir des fréquences : Remarque
1 2 La médiane
On divise la série en deux groupes de même effectif.
Soit une série statistique ordonnée dont les N valeurs sontx16x26x36· · ·6xN. Lamédianeest un nombre noté Med qui permet de diviser cette série en deux sous-groupes de même effectif.
ä Si N estimpair, Medest la valeur de cette série qui est située au milieu.
ä Si N estpair, Medest la moyenne des deux nombres situés « au milieu » de la série.
Définition 3 - 2
Une autre classe a obtenu, lors du même devoir, les notes suivantes (série B) :
notesxi 1 2 3 4 13 14 18 19 20 total
effectifsni 3 2 2 4 1 2 4 2 2 22
Déterminer les médianes des séries A et B.
Comparer les moyennes et médianes de ces deux classes. Peut-on dire qu’elles ont le même profil ?
Exemple
1 3 Quartiles
On divise la série en quatre groupes d’effectifs égaux (ou presque).
Lepremier quartiled’une série statistique est la plus petite valeur Q1telle qu’au moins un quart des valeurs sont inférieures ou égales à Q1.
Le troisième quartiled’une série statistique est la plus petite valeur Q3 telle qu’au moins trois quarts des valeurs sont inférieures ou égales à Q3.
Définition 3 - 3
28 3.2. PARAMÈTRES DE DISPERSION
Au moins 50% des observations ont une valeur du caractère comprise entre Q1et Q3.
Propriété 3 - 1
Calcul des quartiles
Pour déterminer le premier quartile d’une série de N valeurs ordonnées, on calcule
N
4 puis on détermine le premier entierpsupérieur ou égal à N4 ; cet entierpest le rang de Q1.
Pour Q3, on fait de même en remplaçant N4 par 3N4 . Théorème 3 - 1
Déterminer les quartiles des séries A et B.
Exemple
1 4 Les déciles
Il s’agit de partager la série en dix sous-séries d’effectifs sensiblement égaux.
déciles
Lepremier déciled’une série statistique est la plus petite valeur D1telle qu’au moins 10 % des valeurs sont inférieures ou égales à D1.
Leneuvième déciled’une série statistique est la plus petite valeur D9telle qu’au moins 90 % des valeurs sont inférieures ou égales à D9.
Définition 3 - 4
Au moins 80% des observations ont une valeur du caractère comprise entre D1et D9.
Propriété 3 - 2
Déterminer les 1eret 9edéciles des séries A et B.
Exemple
Paramètres de dispersion
2
Les paramètres de positions sont insuffisants pour étudier correctement une série statistique : deux séries ayant les mêmes paramètres peuvent être très différentes.
2 1 L’étendue
L’étendued’une série statistique est la différence entre les deux valeurs extrêmes de cette série.
Définition 3 - 5
Dans l’exemple précédent, l’étendue de la série A vaut et l’étendue de la série B du groupe 2 vaut
Exemple
2 2 Intervalle inter-quartiles
On appelleintervalle inter-quartilesl’intervalle [ Q1; Q3].
L’amplitude de cet intervalle est appeléeécart inter-quartiles.
l’écart interquartileest égal à Q3−Q1. Définition 3 - 6
2 3 Les diagrammes en boîtes
La représentation graphique de la dispersion d’une série statistique se fait à l’aide de graphiques appelésdiagrammes en boites, oùboites à moustaches, dont voici deux types de représentation :
• Diagramme en boite sans les déciles
b
Xmin
b
Xmax
b
Q1
b
Q3
b
Me
• Diagramme en boite avec les déciles
b b b b b
b
Xmin
b
D1
b
Q1
b
Q3
b
Me
b
D9
b
Xmax
Les valeurs non comprises entre D1et D9sont représentées par des points.
Représenter ci-dessous les deux diagrammes en boite, avec déciles, des séries de notes A et B :
Exemple
-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 -2
-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8
Quelle remarque peut-on faire sur la dispersion des notes dans ces deux classes ? 2 4 Variance et écart-type
La dispersion peut également se mesurer autour de la moyenne. Considérons une série statistique quelconque :
À partir de ces données, calculez la moyenne xpuis remplissez le tableau suivant proposant deux façons de « mesurer » pour chaque valeur « l’éloignement » par rapport àx.
Calculez dans chacun des cas l’éloignement moyen, c’est-à-dire la moyenne des écarts...
On peut visualiser les écarts sur le schéma suivant :
30 3.2. PARAMÈTRES DE DISPERSION
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
3 7 8.0 14 20
Figure3.1 – Notes de la série A
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
1 3 8.5 18 20
Figure3.2 – Notes de la série B
Valeursxi 0 1 2 3 4 7
Effectifsni 1 2 1 4 3 3
Figure3.3 – Série statistique quelconque
xi−x¯ (xi−x)¯2
Figure3.4 – Essais de mesures de dispersion par rapport à la moyenne
x1
x2
x3
x5 x6
x4
Figure3.5 – Visualisation de l’écart par rapport à la moyenne
On peut prouver (à titre d’exercice...) que la moyenne des écarts correspondant à la première ligne du tableau3.4est toujours nul. On préfère donc utiliser la moyenne
des écarts de la deuxième ligne qu’on appellevariance.
variance et écart type
La varianceest la moyenne des carrés des écarts à la moyenne. C’est un nombre positif.
V =n1(x1−x)2+· · ·+np(xp−x)2
N =
p
X
i=1
ni(xi−x)2 N Il existe une autre expression de la variance :
V =n1x21+· · ·+npxp2
N −x2=
p
X
i=1
nix2i N −x2
L’écart typeσd’une série statistique est égal à la racine carrée de la variance : σ=
√ V Définition 3 - 7
L’écart type permet de mesurer la dispersion d’une série statistique ; à moyenne égale, plus il est important, plus les valeurs observées sont dispersées
Son avantage par rapport à la variance est qu’il est exprimé dans la même unité que les valeurs de la série.
Remarque
Reprenez les séries des exemples3.1.1et3.1.2page23et calculez les moyennes et écarts-type.
Exemple
N = 19 x= 10.000000 Σx= 190.000000 Σx2= 2272.000000 V(x) = 19.578947 σx= 4.424810
Min(x) = 3.000000 Q1(x) = 7.000000 Med(x) = 8.000000 Q3(x) = 14.000000 Max(x) = 20.000000
N = 22 x= 10.000000 Σx= 220.000000 Σx2= 3472.000000 V(x) = 57.818182 σx= 7.603827
Min(x) = 1.000000 Q1(x) = 3.000000 Med(x) = 8.500000 Q3(x) = 18.000000 Max(x) = 20.000000
32 3.2. PARAMÈTRES DE DISPERSION
On a mesuré la quantité enµg/L (microgramme par litre), d’une certaine molécule M dans le sang d’un groupe 50 personnes :
Quantité (µg/L) 130 135 140 145 150 155 160 165 170 175 180 185 190
Effectifs 2 3 3 5 3 4 5 5 5 6 3 2 4
1. (a) Calculer la moyenne xet de l’écart-typeσde cette série. On pourra utiliser la calculatrice.
Arrondir les résultats à 0,1 près.
(b) Les personnes dont la quantité de molécule M dans le sang n’appartient pas à l’intervalle
[x−σ;x+σ] seront convoquées pour réaliser une deuxième prise de sang.
Quelle est la part, en pourcentage, de personnes à convoquer ? 2. (a) Déterminer la médiane, les quartiles les 1er et 9ème déciles de cette
série statistique.
(b) Tracer le diagramme en boîtes, avec les déciles, de cette série.
Exemple
Utilisation de la calculatrice
3
Voici le détail des manipulations à effectuer pour obtenir les paramètres statistiques et la boite à moustaches d’une série statistique à une variablex; chaquexiayant un effectifni.
Pour cela, on entre les données dans une liste statistique et les effectifs ou les fré- quences (s’il y en a) dans une autre, puis on lance les calculs statistiques à une variable en précisant à la machine dans quelle liste sont les données et dans quelle liste sont les effectifs. La machine affiche alors simultanément tous les paramètres statistiques.
Attention :Les quartiles donnés par la calculatrice ne correspondent pas exactement à ceux du cours.
Pour les « casio GRAPH 35+ » Entrée de la série : Sélectionner le menu
(2) STATet entrer dans la colonneLIST1 les valeurs de la série, puis dans la co- lonneLIST2les effectifs correspondants.
Obtention des paramètres :
• Appuyer surF2(CALC), puis surF6(SET) (ouF4sur la graph25).
• Sur la ligne1VAR XLIST, indiquerLIST1 avec les touches de fonctions ; sur la ligne1VAR FREQ, indiquerLIST2. Termi- ner en appuyant surEXIT.
• En appuyant sur la touche de fonc- tion correspondant à1VAR,(F1)on ob- tient les paramètres de la série : x (moyenne),xσn(écart type), Q1, Med, Q3 etc . . ..
Tracé de la boite à moustaches :
• Dans le menu(2) STAT, selectionner le menuGRPH (F1).
• Sélectionner le menuSET(toucheF6ou
F4deux fois sur la graph25).
• Sur la ligneGraph Type, choisir l’option
BOX (en appuyant éventuellement sur
F6).
• Sur la ligneXLIST, indiquerLIST1avec les touches de fonctions ; sur la ligne
Frequency, indiquerLIST2 (F2). Termi- ner en appuyant surEXIT.
• Appuyer sur(F1) GRPH1pour obtenir la boite à moustaches. En appuyant sur
1Varon peut retrouver les paramètres de la série.
Pour les « TI »
Entrée de la série : Appuyer sur la touche STAT, puis sur 1 :EDIT. Dans la colonne L1, saisir les valeurs de la série et dans la colonneL2les effectifs correspondants. Appuyer à nouveau surSTAT.
Obtention des paramètres :
• Sélectionner l’onglet CALC (avec la flèche droite) et appuyer sur la touche
1 :1-VarStats. Appuyer sur2NDpuis1
pour afficherL1, puis,2ND 2pour affi- cherL2(ne pas oublier la «,» entreL1
etL2)
• Appuyer surENTERpour obtenir les pa- ramètres :x(moyenne),σx(écart-type), Q1, Med, Q3etc . . ..
Tracé de la boite à moustaches :
• Sélectionner le menu STATPLOT en ap- puyant sur2NDetf(x) =.
• Appuyer sur1et sélectionner l’option
ON.
• Sur la ligneType, sélectionner la boite à moustaches .
• Sur la ligne XList, choisir L1 (en ap- puyant sur2NDpuis1).
• Sur la ligneFreq, choisirL2
• Dans le menuFenêtre, indiquer comme
Xminun nombre inférieur à la plus pe- tite valeur de la série, et commeXmax, un nombre supérieur à la valeur maxi- male de la série.
• Appuyer sur la toucheGRAPH.
• A la fin de la manipulation il faut fer- mer les graphes statistiques pour reve- nir au modèle de graphique « des fonc- tions » en utilisant Plotsoffdu menu
STAT PLOT.
34 3.4. SYNTAXE DEXCAS
Déterminez, à l’aide de la calculatrice, la moyenne,l’écart type, l’effectif total, l’étendue, la médiane et les quartiles de chacune des séries statistiques suivantes :
1. 18 ; 25 ; 7 ; 9 ; 4 ; 13 ; 12 ; 11 ; 13 ; 15 ; 18 ;19 ; 7 ; 9 ; 54
2. données 5 7 9 10 11 12 13
effectifs 1 3 2 4 2 6 2
3. Modalité [0; 2[ [2; 4[ [4; 6[ [6; 8[
Effectif 17 25 9 2
Exemple
N = 15 x= 15.600000 Σx= 234.000000 Σx2= 5654.000000 V(x) = 133.573333 σx= 11.557393
Min(x) = 4.000000 Q1(x) = 9.000000 Med(x) = 11.000000 Q3(x) = 18.000000 Max(x) = 54.000000
N = 20 x= 10.200000 Σx= 204.000000 Σx2= 2178.000000 V(x) = 4.860000 σx= 2.204541
Min(x) = 5.000000 Q1(x) = 9.000000 Med(x) = 10.500000 Q3(x) = 12.000000 Max(x) = 13.000000
N = 53 x= 2.849057 Σx= 151.000000 Σx2= 565.000000 V(x) = 2.543254 σx= 1.594758
Min(x) = 1.000000 Q1(x) = 1.000000 Med(x) = 3.000000 Q3(x) = 3.000000 Max(x) = 7.000000
Syntaxe de Xcas
4
4 1 Création des listes
On pourra créer 2 listes que l’on placera entre des crochets de la manière suivante : 4 1 a Cas d’un caractère quantitatif
discret
données 5 7 9 10 11 12 13
effectifs 1 3 2 4 2 6 2
L1 :=[5,7,9,10,11,12,13]
[5,7,9,10,11,12,13]
L2 :=[1,3,2,4,2,6,2]
[1,3,2,4,2,6,2]
4 1 b Cas d’un caractère quantitatif continu
Modalité [0; 2[ [2; 4[ [4; 6[ [6; 8[
Effectif 17 25 9 2
intervalles :=[0..2,2..4,4..6,6..8]
[0..2,2..4,4..6,6..8]
eff :=[17,25,9,2]
[17,25,9,2]
4 2 Obtention des paramètres statistiques
moyenne(L1,L2)
51 5
puis une valeur décimale avec :
evalf(moyenne(L1,L2))
10.200000
De même pourla deuxième série :
evalf(moyenne(intervalles,eff))
2.849057
mediane(L1,L2)
10
quartile1(L1,L2)
9
quartile3(L1,L2)
12 1erdécile :
quantile(L1,L2,0.1)
7
9edécile :
quantile(L1,L2,0.9)
12
On obient directement dans une liste les éléments :
xmin, Q1, Med, Q3 etxmaxavec l’instruc- tion
quartiles(L1,L2)
[5,9,10,12,13]
variance(L1,L2)
243 50
ecart_type(L1,L2)
45
√ 6 50
evalf(ecart_type(L1,L2))
2.204541
4 3 Représentations graphiques
4 3 a Nuage de points
Le nuage de points de la 1resérie :
affichage(epaisseur_point_4) ;nuage_points(L1,L2)
5 6 7 8 9 10 11 12 13
1 2 3 4 5 6
36 3.4. SYNTAXE DEXCAS
4 3 b Boîte à moustache
La boîte à moustache de la 1resérie :
moustache(L1,L2)
x
6 8 10 12 14
−2
−1.5
−1
−0.5 0 0.5 1
4 3 c Histogramme Histogramme de la 2esérie :
histogram([[0..2,17],[2..4,25],[4..6,9],[6..8,2]])
x y
0 1 2 3 4 5 6 7 8
0 0.05 0.1 0.15 0.2
4 3 d Camembert
camembert(["[0 ;2[",17],["[2,4[",25],["[4 ;6[",9],["[6 ;8[",2])
[0;2[:32.08%
[2,4[:47.17%
[4;6[:16.98%
[6;8[:3.774% x
y
−3 −2 −1 0 1 2 3 −1
−0.5 0 0.5 1
4 3 e Polygone des fréquences cumulées croissantes
cumulated_frequencies([0..2,17],[2..4,25],[4..6,9],[6..8,2])
x y
0 1 2 3 4 5 6 7 8
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
4 3 f Approximation de la médiane par interpolation linéaire
P :=cumulated_frequencies([0..2,17],[2..4,25],[4..6,9],[6..8,2]) ; D :=droite(y=0.5) ;A :=inter(P,D)
P
D A
x y
0 1 2 3 4 5 6 7 8
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
abscisse(A)
2.760000
4
Fonctions de références et fonctions
associées
C H A P I T R E
Le sens de variation
1
Soitf une fonction définie sur un intervalle I. On dit que
• cette fonction eststrictement croissantesur I si «f conserve l’ordre » sur cet intervalle.
Pour toutaetbde I, sia < balorsf(a)< f(b).
x
y f(x)
f(a) a f(b)
b
• cette fonction eststrictement décroissantesur I si «f inverse l’ordre » sur cet intervalle.
Pour toutaetbde I, sia < balorsf(a)> f(b).
x y
f(x) f(b)
b f(a)
a Définition 4 - 1
Les fonctions de références
2
Pour résoudre des équations ou des inéquations à l’aide des variations de fonctions, il est nécessaire de connaître quelques fonctions dites fonctions de référence.
2 1 Les fonctions affines
Soitf la fonction affine définie parf(x) =mx+psurRoùmetpsont des réels.
• Sim >0 alorsf est strictement croissante surR;
• sim <0 alorsf est strictement décroissante surR;
• sim= 0 alorsf est constante surR.
Propriété 4 - 1
40 4.2. LES FONCTIONS DE RÉFÉRENCES
x y
m >0
x y
m <0 Rappel : la représentation graphique d’une fonction affine est la droite d’équation y=mx+p.
Que pensez-vous des propositions suivantes ? Justifiez vos réponses en utilisant les variations des fonctions affines.
1. sia < balorsa+ 3< b+ 3. 2. sia < balors−a+ 10<−b+ 10.
3. si−x <5 alorsx <−5. 4. si−1
2x <10 alorsx >−20.
Exemple
2 2 La fonction carrée
Soitf la fonction carrée définie parf(x) =x2surR.
• f est strictement décroissante surR−;
• f est strictement croissante surR+. x
f(x) =x2
−∞ 0 +∞
+∞ +∞
0 0
+∞ +∞
x y
Rappel : la représentation graphique de la fonction carrée est une parabole.
Propriété 4 - 2
Que pensez-vous des propositions suivantes ?
Justifiez vos réponses en utilisant les variations de la fonction carrée.
1. si 0< x <5 alorsx2<25. 2. six <−3 alorsx2<9.
3. sia < balorsa2< b2. 4. six >10 alorsx2>0.
Exemple
2 3 La fonction inverse
Soitf la fonction inverse définie parf(x) =1xsurR∗.
• f est strictement décroissante sur ]− ∞; 0[ ;
• f est strictement décroissante sur ]0; +∞[.
x
f(x) =1x
−∞ 0 +∞
0 0
−∞
+∞
0 0
x y
Rappel : la représentation graphique de la fonction inverse est une hyperbole.
Propriété 4 - 3
Que pensez-vous des propositions suivantes ? Justifiez vos réponses en utilisant les variations de la fonction inverse.
1. si 0< x <5 alors 1x< 15. 2. six <−3 alors1x< 13. 3. sia < balors 1a< 1b. 4. six >0 alors 1x>0.
Exemple
2 4 Effets sur les inégalités
On considère une fonction définie surRdont les variations sont données par le tableau suivant :
x
f(x)
−∞ 2 +∞
20 20
0 0
10 10
Que pensez-vous des propositions suivantes ? Justifiez vos réponses.
1. f(10)> f(100). 2. f(−10)< f(−5).
3. f(4)<0. 4. la fonctionf est positive surR.
5. l’équationf(x) = 0 admet une unique solution surR.
Exemple
42 4.3. LA FONCTION RACINE CARRÉE
1. Comparer sans calcul : (a) 5,182et 6,172 (b) (−17,6)2et (−15,8)2
(c) 1
2,37 et 1 3,27 2. Compléter :
(a) Si 46x66 alors x2 (b) Si−5< x <−3 alors x2
(c) Si 16x65 alors 1 x (d) Si−7< x <−2 alors 1
x Exemple
Trouver l’erreur dans cette suite d’inégalités (justifier par l’usage d’une fonction de référence).
a > b a−5> b−5 (a−5)2>(b−5)2
a2−10a+ 20> b2−10b+ 20.
Exemple
Encadrerf(x) dans chacun des cas suivants : 1. f(x) =−4x2+ 3, si
1≤x≤3
2. f(x) = 2x2−5, si
−5≤x≤0 3. f(x) = 5
x+ 2 si, 4≤x≤6
Exemple
La fonction racine carrée
3
3 1 Définition
On appelle fonction racine carrée la fonctionf définie surR+=]0; +∞[ par : f :x7−→
√ x Définition 4 - 2
3 2 Sens de variations
La fonction racine carrée est strictement croissante sur [0; +∞[ x
f(x) =√ x
0 +∞
0 0
+∞ +∞ Propriété 4 - 4
Démonstration.On pourra utiliser, après l’avoir prouvé, que pour tousaetbpositifs, on ab−a=√
b−√ a
√ b+√
a
.
3 3 Représentation graphique
x y
3 4 Comparaison dex,x2,
√
xsur[0; +∞[
Ci-dessous on a représenté les fonctions :x7→x,x7→x2etx7→√ x.
En utilisant le graphique comparerx,x2et√
xsurR+.
x y
y=√ x y=x2
y=x
