3.3 LOI DISCRÈTE 1

(1)

cours 14

3.3 LOI DISCRÈTE 1

(2)

Au dernier cours, nous avons vu

(3)

Au dernier cours, nous avons vu

✓ L’espérance mathématiques

(4)

Au dernier cours, nous avons vu

✓ L’espérance mathématiques

✓ La variance

(5)

Au dernier cours, nous avons vu

✓ L’espérance mathématiques

✓ La variance

✓ L’écart type

(6)

Aujourd’hui, nous allons voir

(7)

Aujourd’hui, nous allons voir

✓ Loi de Bernoulli

(8)

Aujourd’hui, nous allons voir

✓ Loi de Bernoulli

✓ Loi binomiale

(9)

Aujourd’hui, nous allons voir

✓ Loi de Bernoulli

✓ Loi binomiale

✓ Loi géométrique

(10)

On a vu qu’à une expérience aléatoire, on peut associer

une variable aléatoire.

(11)

On a vu qu’à une expérience aléatoire, on peut associer une variable aléatoire.

Ces variables aléatoires possèdent une fonction de probabilité

nommée loi de probabilité.

(12)

On a vu qu’à une expérience aléatoire, on peut associer une variable aléatoire.

Ces variables aléatoires possèdent une fonction de probabilité nommée loi de probabilité.

Or certains types de loi de probabilité reviennent souvent

et portent des noms

(13)

Épreuve de Bernoulli

Une épreuve de Bernoulli est une expérience aléatoire qui ne

comporte que deux résultats.

(14)

Épreuve de Bernoulli

Une épreuve de Bernoulli est une expérience aléatoire qui ne comporte que deux résultats.

Succès et échec.

(15)

Épreuve de Bernoulli

Une épreuve de Bernoulli est une expérience aléatoire qui ne comporte que deux résultats.

Succès et échec.

On note la probabilité de succès par ^p

(16)

Épreuve de Bernoulli

Une épreuve de Bernoulli est une expérience aléatoire qui ne comporte que deux résultats.

Succès et échec.

On note la probabilité de succès par ^p

et la probabilité d’échec par q = 1 p

(17)

Épreuve de Bernoulli

Une épreuve de Bernoulli est une expérience aléatoire qui ne comporte que deux résultats.

Succès et échec.

On note la probabilité de succès par ^p et la probabilité d’échec par q = 1 p

p + q = 1

(18)

(19)

X est une variable aléatoire qui donne 0 en cas d’échec et 1

en cas de succès

(20)

X est une variable aléatoire qui donne 0 en cas d’échec et 1 en cas de succès

P (X = 0) = q

(21)

X est une variable aléatoire qui donne 0 en cas d’échec et 1 en cas de succès

P (X = 0) = q P (X = 1) = q

(22)

X est une variable aléatoire qui donne 0 en cas d’échec et 1 en cas de succès

P (X = 0) = q P (X = 1) = q

1 1

0

(23)

X est une variable aléatoire qui donne 0 en cas d’échec et 1 en cas de succès

P (X = 0) = q P (X = 1) = q

1 1

0 Sa fonction de répartition est

(24)

X est une variable aléatoire qui donne 0 en cas d’échec et 1 en cas de succès

P (X = 0) = q P (X = 1) = q

1 1

0 Sa fonction de répartition est

P (X  x)

(25)

X est une variable aléatoire qui donne 0 en cas d’échec et 1 en cas de succès

P (X = 0) = q P (X = 1) = q

1 1

0 Sa fonction de répartition est

P (X  x) = F (x) =

8 >

<

> :

0 x < 0

q 0  x < 1

1 1  x

(26)

X est une variable aléatoire qui donne 0 en cas d’échec et 1 en cas de succès

P (X = 0) = q P (X = 1) = q

1 1

0 Sa fonction de répartition est

P (X  x)

1 1

0 = F (x) =

8 >

<

> :

0 x < 0

q 0  x < 1

1 1  x

(27)

L’espérance d’une épreuve de Bernoulli est

(28)

L’espérance d’une épreuve de Bernoulli est

E (X ) = 0 · q + 1 · p

(29)

L’espérance d’une épreuve de Bernoulli est

= p

E (X ) = 0 · q + 1 · p

(30)

L’espérance d’une épreuve de Bernoulli est

= p et sa variance est

E (X ) = 0 · q + 1 · p

(31)

L’espérance d’une épreuve de Bernoulli est

= p et sa variance est

Var(X ) = (0 p)

²

q + (1 p)

²

p

E (X ) = 0 · q + 1 · p

(32)

L’espérance d’une épreuve de Bernoulli est

= p et sa variance est

Var(X ) = (0 p)

²

q + (1 p)

²

p

= p

²

q + q

²

p

E (X ) = 0 · q + 1 · p

(33)

L’espérance d’une épreuve de Bernoulli est

= p et sa variance est

Var(X ) = (0 p)

²

q + (1 p)

²

p

= p

²

q + q

²

p

E (X ) = 0 · q + 1 · p

(34)

L’espérance d’une épreuve de Bernoulli est

= p et sa variance est

Var(X ) = (0 p)

²

q + (1 p)

²

p

= p

²

q + q

²

p

E (X ) = 0 · q + 1 · p

= pq (p + q )

(35)

p + q = 1

L’espérance d’une épreuve de Bernoulli est

= p et sa variance est

Var(X ) = (0 p)

²

q + (1 p)

²

p

= p

²

q + q

²

p

E (X ) = 0 · q + 1 · p

= pq (p + q )

(36)

p + q = 1

L’espérance d’une épreuve de Bernoulli est

= p et sa variance est

Var(X ) = (0 p)

²

q + (1 p)

²

p

= p

²

q + q

²

p

E (X ) = 0 · q + 1 · p

= pq (p + q ) = pq

(37)

p + q = 1

L’espérance d’une épreuve de Bernoulli est

= p et sa variance est

Var(X ) = (0 p)

²

q + (1 p)

²

p

= p

²

q + q

²

p

Une autre façon de trouver la variance est E (X ) = 0 · q + 1 · p

= pq (p + q ) = pq

(38)

p + q = 1

L’espérance d’une épreuve de Bernoulli est

= p et sa variance est

Var(X ) = (0 p)

²

q + (1 p)

²

p

= p

²

q + q

²

p

Une autre façon de trouver la variance est

Var(X ) = E (X

²

) E (X )

²

E (X ) = 0 · q + 1 · p

= pq (p + q ) = pq

(39)

p + q = 1

L’espérance d’une épreuve de Bernoulli est

= p et sa variance est

Var(X ) = (0 p)

²

q + (1 p)

²

p

= p

²

q + q

²

p

Une autre façon de trouver la variance est

Var(X ) = E (X

²

) E (X )

²

E (X

²

) = 0

²

· q + 1

²

· p E (X ) = 0 · q + 1 · p

= pq (p + q ) = pq

(40)

p + q = 1

L’espérance d’une épreuve de Bernoulli est

= p et sa variance est

Var(X ) = (0 p)

²

q + (1 p)

²

p

= p

²

q + q

²

p

Une autre façon de trouver la variance est

Var(X ) = E (X

²

) E (X )

²

E (X

²

) = 0

²

· q + 1

²

· p E (X ) = 0 · q + 1 · p

= p

= pq (p + q ) = pq

(41)

p + q = 1

L’espérance d’une épreuve de Bernoulli est

= p et sa variance est

Var(X ) = (0 p)

²

q + (1 p)

²

p

= p

²

q + q

²

p

Une autre façon de trouver la variance est

Var(X ) = E (X

²

) E (X )

²

E (X

²

) = 0

²

· q + 1

²

· p E (X ) = 0 · q + 1 · p

= p

= p p

²

= pq (p + q ) = pq

(42)

p + q = 1

L’espérance d’une épreuve de Bernoulli est

= p et sa variance est

Var(X ) = (0 p)

²

q + (1 p)

²

p

= p

²

q + q

²

p

Une autre façon de trouver la variance est

Var(X ) = E (X

²

) E (X )

²

E (X

²

) = 0

²

· q + 1

²

· p E (X ) = 0 · q + 1 · p

= p

= p p

²

= pq (p + q ) = pq

(43)

p + q = 1

L’espérance d’une épreuve de Bernoulli est

= p et sa variance est

Var(X ) = (0 p)

²

q + (1 p)

²

p

= p

²

q + q

²

p

Une autre façon de trouver la variance est

Var(X ) = E (X

²

) E (X )

²

E (X

²

) = 0

²

· q + 1

²

· p E (X ) = 0 · q + 1 · p

= p

= p p

²

= pq (p + q ) = pq

(44)

p + q = 1

L’espérance d’une épreuve de Bernoulli est

= p et sa variance est

Var(X ) = (0 p)

²

q + (1 p)

²

p

= p

²

q + q

²

p

Une autre façon de trouver la variance est

Var(X ) = E (X

²

) E (X )

²

E (X

²

) = 0

²

· q + 1

²

· p E (X ) = 0 · q + 1 · p

= p

= p p

²

= p(1 p)

= pq (p + q ) = pq

(45)

p + q = 1

L’espérance d’une épreuve de Bernoulli est

= p et sa variance est

Var(X ) = (0 p)

²

q + (1 p)

²

p

= p

²

q + q

²

p

Une autre façon de trouver la variance est

Var(X ) = E (X

²

) E (X )

²

E (X

²

) = 0

²

· q + 1

²

· p E (X ) = 0 · q + 1 · p

= p

= p p

²

= p(1 p) = pq

= pq (p + q ) = pq

(46)

p + q = 1

L’espérance d’une épreuve de Bernoulli est

= p et sa variance est

Var(X ) = (0 p)

²

q + (1 p)

²

p

= p

²

q + q

²

p

Une autre façon de trouver la variance est

Var(X ) = E (X

²

) E (X )

²

E (X

²

) = 0

²

· q + 1

²

· p E (X ) = 0 · q + 1 · p

= p

= p p

²

= p(1 p) = pq

= pq (p + q ) = pq

(47)

Loi binomiale

Si notre expérience aléatoire consiste à répéter fois une épreuve de Bernoulli de probabilité de succès et qu’on s’intéresse au

nombre de succès, la variable aléatoire

n

p

(48)

Loi binomiale

Si notre expérience aléatoire consiste à répéter fois une épreuve de Bernoulli de probabilité de succès et qu’on s’intéresse au

nombre de succès, la variable aléatoire

n p

X : le nombre de succès

(49)

Loi binomiale

Si notre expérience aléatoire consiste à répéter fois une épreuve de Bernoulli de probabilité de succès et qu’on s’intéresse au

nombre de succès, la variable aléatoire

n p

X : le nombre de succès

aura comme loi de probabilité la loi binomiale

(50)

Loi binomiale

Si notre expérience aléatoire consiste à répéter fois une épreuve de Bernoulli de probabilité de succès et qu’on s’intéresse au

nombre de succès, la variable aléatoire

n p

X : le nombre de succès

aura comme loi de probabilité la loi binomiale

B (n; p)

(51)

Loi binomiale

Si notre expérience aléatoire consiste à répéter fois une épreuve de Bernoulli de probabilité de succès et qu’on s’intéresse au

nombre de succès, la variable aléatoire

n p

X : le nombre de succès

aura comme loi de probabilité la loi binomiale B (n; p)

et on dit que la variable aléatoire suit une loi binomiale.

(52)

Loi binomiale

Si notre expérience aléatoire consiste à répéter fois une épreuve de Bernoulli de probabilité de succès et qu’on s’intéresse au

nombre de succès, la variable aléatoire

n p

X : le nombre de succès

aura comme loi de probabilité la loi binomiale B (n; p)

et on dit que la variable aléatoire suit une loi binomiale.

X ⇠ B (n; p)

(53)

Lorsqu’on est dans la situation ou on répète une épreuve, le résultat

d’une épreuve n’influence pas le résultat d’une autre.

(54)

Lorsqu’on est dans la situation ou on répète une épreuve, le résultat d’une épreuve n’influence pas le résultat d’une autre.

S

₁

: succès lors de la première épreuve.

(55)

Lorsqu’on est dans la situation ou on répète une épreuve, le résultat d’une épreuve n’influence pas le résultat d’une autre.

S

₁

: succès lors de la première épreuve.

E

₂

: échec lors de la deuxième épreuve.

(56)

Lorsqu’on est dans la situation ou on répète une épreuve, le résultat d’une épreuve n’influence pas le résultat d’une autre.

P (S

₁

\ E

₂

)

S

₁

: succès lors de la première épreuve.

E

₂

: échec lors de la deuxième épreuve.

(57)

Lorsqu’on est dans la situation ou on répète une épreuve, le résultat d’une épreuve n’influence pas le résultat d’une autre.

P (S

₁

\ E

₂

) = P (S

₁

)P (E

₂

)

S

₁

: succès lors de la première épreuve.

E

₂

: échec lors de la deuxième épreuve.

(58)

Lorsqu’on est dans la situation ou on répète une épreuve, le résultat d’une épreuve n’influence pas le résultat d’une autre.

P (S

₁

\ E

₂

) = P (S

₁

)P (E

₂

) = pq

S

₁

: succès lors de la première épreuve.

E

₂

: échec lors de la deuxième épreuve.

(59)

Lorsqu’on est dans la situation ou on répète une épreuve, le résultat d’une épreuve n’influence pas le résultat d’une autre.

P (S

₁

\ E

₂

) = P (S

₁

)P (E

₂

) = pq

En d’autres termes, les évènements sont indépendants.

S

₁

: succès lors de la première épreuve.

E

₂

: échec lors de la deuxième épreuve.

(60)

Supposons que _X _⇠ _B _(n; _p)

(61)

Supposons que _X _⇠ _B _(n; _p)

et qu’on cherche P (X = k)

(62)

Supposons que _X _⇠ _B _(n; _p) et qu’on cherche P (X = k)

pour obtenir succès lors de épreuves, k n

(63)

Supposons que _X _⇠ _B _(n; _p) et qu’on cherche P (X = k)

pour obtenir succès lors de épreuves, k n

il a bien fallu obtenir échecs. n k

(64)

Supposons que _X _⇠ _B _(n; _p) et qu’on cherche P (X = k)

pour obtenir succès lors de épreuves, k n il a bien fallu obtenir échecs. n k

Le nombre de façons d’obtenir parmi épreuves est _k _n

✓ n k

◆

(65)

Supposons que _X _⇠ _B _(n; _p) et qu’on cherche P (X = k)

pour obtenir succès lors de épreuves, k n il a bien fallu obtenir échecs. n k

Le nombre de façons d’obtenir parmi épreuves est _k _n

✓ n k

◆ P (X = k ) =

✓ n k

◆ p

^k

q

^{n k}

(66)

Supposons que _X _⇠ _B _(n; _p) et qu’on cherche P (X = k)

pour obtenir succès lors de épreuves, k n il a bien fallu obtenir échecs. n k

Le nombre de façons d’obtenir parmi épreuves est _k _n

✓ n k

◆ P (X = k ) =

✓ n k

◆ p

^k

q

^{n k}

(67)

Supposons que _X _⇠ _B _(n; _p) et qu’on cherche P (X = k)

pour obtenir succès lors de épreuves, k n il a bien fallu obtenir échecs. n k

Le nombre de façons d’obtenir parmi épreuves est _k _n

✓ n k

◆ P (X = k ) =

✓ n k

◆ p

^k

q

^{n k}

(68)

On peut remarquer que

(69)

On peut remarquer que

X

n

k=0

P (X = k ) =

X

n

k=0

✓ n k

◆ p

^k

q

^{n k}

(70)

On peut remarquer que

X

n

k=0

P (X = k ) =

X

n

k=0

✓ n k

◆ p

^k

q

^{n k}

= (p + q )

ⁿ

(71)

On peut remarquer que

X

n

k=0

P (X = k ) =

X

n

k=0

✓ n k

◆ p

^k

q

^{n k}

= (p + q )

ⁿ

binôme de Newton

(72)

On peut remarquer que

X

n

k=0

P (X = k ) =

X

n

k=0

✓ n k

◆ p

^k

q

^{n k}

= (p + q )

ⁿ

= 1

ⁿ

binôme de Newton

(73)

On peut remarquer que

X

n

k=0

P (X = k ) =

X

n

k=0

✓ n k

◆ p

^k

q

^{n k}

= (p + q )

ⁿ

= 1

ⁿ

= 1

binôme de Newton

(74)

On peut remarquer que

X

n

k=0

P (X = k ) =

X

n

k=0

✓ n k

◆ p

^k

q

^{n k}

= (p + q )

ⁿ

= 1

ⁿ

= 1

binôme de Newton

B (16; 0, 5)

(75)

On peut remarquer que

X

n

k=0

P (X = k ) =

X

n

k=0

✓ n k

◆ p

^k

q

^{n k}

= (p + q )

ⁿ

= 1

ⁿ

= 1

binôme de Newton

B (16; 0, 5) B (16; 0, 2)

(76)

Pour trouver l’espérance et la variance d’une loi binomiale, il suffit de

(77)

Pour trouver l’espérance et la variance d’une loi binomiale, il suffit de

X ⇠ B (n; p)

(78)

Pour trouver l’espérance et la variance d’une loi binomiale, il suffit de X ⇠ B (n; p)

X = X

₁

+ X

₂

+ · · · + X

_n

(79)

Pour trouver l’espérance et la variance d’une loi binomiale, il suffit de X ⇠ B (n; p)

X = X

₁

+ X

₂

+ · · · + X

_n

X

_i

épreuve de Bernoulli

(80)

Pour trouver l’espérance et la variance d’une loi binomiale, il suffit de X ⇠ B (n; p)

X = X

₁

+ X

₂

+ · · · + X

_n

X

_i

épreuve de Bernoulli

E (X

_i

) = p

(81)

Pour trouver l’espérance et la variance d’une loi binomiale, il suffit de X ⇠ B (n; p)

X = X

₁

+ X

₂

+ · · · + X

_n

X

_i

épreuve de Bernoulli

E (X

_i

) = p Var(X

_i

) = pq

(82)

Pour trouver l’espérance et la variance d’une loi binomiale, il suffit de X ⇠ B (n; p)

X = X

₁

+ X

₂

+ · · · + X

_n

X

_i

épreuve de Bernoulli

E (X

_i

) = p Var(X

_i

) = pq

E (X ) = E (X

₁

+ X

₂

+ · · · + X

_n

)

(83)

Pour trouver l’espérance et la variance d’une loi binomiale, il suffit de X ⇠ B (n; p)

X = X

₁

+ X

₂

+ · · · + X

_n

X

_i

épreuve de Bernoulli

E (X

_i

) = p Var(X

_i

) = pq

E (X ) = E (X

₁

+ X

₂

+ · · · + X

_n

)

= E (X

₁

) + E (X

₂

) + · · · + E (X

_n

)

(84)

Pour trouver l’espérance et la variance d’une loi binomiale, il suffit de X ⇠ B (n; p)

X = X

₁

+ X

₂

+ · · · + X

_n

X

_i

épreuve de Bernoulli

E (X

_i

) = p Var(X

_i

) = pq

E (X ) = E (X

₁

+ X

₂

+ · · · + X

_n

)

= E (X

₁

) + E (X

₂

) + · · · + E (X

_n

) = np

(85)

Pour trouver l’espérance et la variance d’une loi binomiale, il suffit de X ⇠ B (n; p)

X = X

₁

+ X

₂

+ · · · + X

_n

X

_i

épreuve de Bernoulli

E (X

_i

) = p Var(X

_i

) = pq

E (X ) = E (X

₁

+ X

₂

+ · · · + X

_n

)

= E (X

₁

) + E (X

₂

) + · · · + E (X

_n

) = np

Var(X ) = Var(X

₁

+ X

₂

+ · · · + X

_n

)

(86)

Pour trouver l’espérance et la variance d’une loi binomiale, il suffit de X ⇠ B (n; p)

X = X

₁

+ X

₂

+ · · · + X

_n

X

_i

épreuve de Bernoulli

E (X

_i

) = p Var(X

_i

) = pq

E (X ) = E (X

₁

+ X

₂

+ · · · + X

_n

)

= E (X

₁

) + E (X

₂

) + · · · + E (X

_n

) = np

Var(X ) = Var(X

₁

+ X

₂

+ · · · + X

_n

)

= Var(X

₁

) + Var(X

₂

) + · · · + Var(X

_n

)

(87)

Pour trouver l’espérance et la variance d’une loi binomiale, il suffit de X ⇠ B (n; p)

X = X

₁

+ X

₂

+ · · · + X

_n

X

_i

épreuve de Bernoulli

E (X

_i

) = p Var(X

_i

) = pq

E (X ) = E (X

₁

+ X

₂

+ · · · + X

_n

)

= E (X

₁

) + E (X

₂

) + · · · + E (X

_n

) = np

Var(X ) = Var(X

₁

+ X

₂

+ · · · + X

_n

)

= Var(X

₁

) + Var(X

₂

) + · · · + Var(X

_n

) = npq

(88)

Exemple On lance une paire de dés à quatre reprise et on veut

savoir le nombre de fois qu’on a eu une somme de 7

(89)

Exemple On lance une paire de dés à quatre reprise et on veut savoir le nombre de fois qu’on a eu une somme de 7 La probabilité d’avoir une somme de 7 sur deux dés est ⁶

36 = 1

6

(90)

Exemple On lance une paire de dés à quatre reprise et on veut savoir le nombre de fois qu’on a eu une somme de 7 La probabilité d’avoir une somme de 7 sur deux dés est ⁶

36 = 1 6 : le nombre de fois qu’on obtient une somme de 7

X

(91)

Exemple On lance une paire de dés à quatre reprise et on veut savoir le nombre de fois qu’on a eu une somme de 7 La probabilité d’avoir une somme de 7 sur deux dés est ⁶

36 = 1 6 : le nombre de fois qu’on obtient une somme de 7

X

X ⇠ B

✓

4; 1 6

◆

(92)

Exemple On lance une paire de dés à quatre reprise et on veut savoir le nombre de fois qu’on a eu une somme de 7 La probabilité d’avoir une somme de 7 sur deux dés est ⁶

36 = 1 6 : le nombre de fois qu’on obtient une somme de 7

X

X ⇠ B

✓

4; 1 6

◆ P (X = 3) =

✓ 4 3

◆ ✓ 1 6

◆

3

✓ 5 6

◆

(93)

Exemple On lance une paire de dés à quatre reprise et on veut savoir le nombre de fois qu’on a eu une somme de 7 La probabilité d’avoir une somme de 7 sur deux dés est ⁶

36 = 1 6 : le nombre de fois qu’on obtient une somme de 7

X

X ⇠ B

✓

4; 1 6

◆ P (X = 3) =

✓ 4 3

◆ ✓ 1 6

◆

3

✓ 5 6

◆ = 20

1296

(94)

Exemple On lance une paire de dés à quatre reprise et on veut savoir le nombre de fois qu’on a eu une somme de 7 La probabilité d’avoir une somme de 7 sur deux dés est ⁶

36 = 1 6 : le nombre de fois qu’on obtient une somme de 7

X

X ⇠ B

✓

4; 1 6

◆ P (X = 3) =

✓ 4 3

◆ ✓ 1 6

◆

3

✓ 5 6

◆ = 20

1296 = 5

324

(95)

Exemple On lance une paire de dés à quatre reprise et on veut savoir le nombre de fois qu’on a eu une somme de 7 La probabilité d’avoir une somme de 7 sur deux dés est ⁶

36 = 1 6 : le nombre de fois qu’on obtient une somme de 7

X

X ⇠ B

✓

4; 1 6

◆ P (X = 3) =

✓ 4 3

◆ ✓ 1 6

◆

3

✓ 5 6

◆ = 20

1296 = 5

324 ⇡ 0, 015

(96)

Exemple On lance une paire de dés à quatre reprise et on veut savoir le nombre de fois qu’on a eu une somme de 7 La probabilité d’avoir une somme de 7 sur deux dés est ⁶

36 = 1 6 : le nombre de fois qu’on obtient une somme de 7

X

X ⇠ B

✓

4; 1 6

◆ P (X = 3) =

✓ 4 3

◆ ✓ 1 6

◆

3

✓ 5 6

◆ = 20

1296 = 5

324 ⇡ 0, 015

E (X ) = 4 1

6

(97)

Exemple On lance une paire de dés à quatre reprise et on veut savoir le nombre de fois qu’on a eu une somme de 7 La probabilité d’avoir une somme de 7 sur deux dés est ⁶

36 = 1 6 : le nombre de fois qu’on obtient une somme de 7

X

X ⇠ B

✓

4; 1 6

◆ P (X = 3) =

✓ 4 3

◆ ✓ 1 6

◆

3

✓ 5 6

◆ = 20

1296 = 5

324 ⇡ 0, 015

E (X ) = 4 1

6 = 0, ¯ 6

(98)

Exemple On lance une paire de dés à quatre reprise et on veut savoir le nombre de fois qu’on a eu une somme de 7 La probabilité d’avoir une somme de 7 sur deux dés est ⁶

36 = 1 6 : le nombre de fois qu’on obtient une somme de 7

X

X ⇠ B

✓

4; 1 6

◆ P (X = 3) =

✓ 4 3

◆ ✓ 1 6

◆

3

✓ 5 6

◆ = 20

1296 = 5

324 ⇡ 0, 015

E (X ) = 4 1

6 = 0, ¯ 6 Var(X ) = 4

✓ 1 6

◆ ✓ 5 6

◆

(99)

Exemple On lance une paire de dés à quatre reprise et on veut savoir le nombre de fois qu’on a eu une somme de 7 La probabilité d’avoir une somme de 7 sur deux dés est ⁶

36 = 1 6 : le nombre de fois qu’on obtient une somme de 7

X

X ⇠ B

✓

4; 1 6

◆ P (X = 3) =

✓ 4 3

◆ ✓ 1 6

◆

3

✓ 5 6

◆ = 20

1296 = 5

324 ⇡ 0, 015

E (X ) = 4 1

6 = 0, ¯ 6 Var(X ) = 4

✓ 1 6

◆ ✓ 5 6

◆ = 0, ¯ 5

(100)

Faites les exercices suivants

#3.14 à 3.20

(101)

Loi géométrique

Si notre expérience aléatoire consiste à répéter une épreuve de

Bernoulli de probabilité de succès et ce, jusqu’au premier succès. ^p

(102)

Loi géométrique

Si notre expérience aléatoire consiste à répéter une épreuve de

Bernoulli de probabilité de succès et ce, jusqu’au premier succès. ^p On dira alors que la variable aléatoire donnant le nombre d’épreuves

nécessaire à l’obtention du premier succès

(103)

Loi géométrique

Si notre expérience aléatoire consiste à répéter une épreuve de

Bernoulli de probabilité de succès et ce, jusqu’au premier succès. ^p On dira alors que la variable aléatoire donnant le nombre d’épreuves

nécessaire à l’obtention du premier succès

X ⇠ G(p)

(104)

Loi géométrique

Si notre expérience aléatoire consiste à répéter une épreuve de

Bernoulli de probabilité de succès et ce, jusqu’au premier succès. ^p On dira alors que la variable aléatoire donnant le nombre d’épreuves

nécessaire à l’obtention du premier succès X ⇠ G(p)

qu’elle suit une loi géométrique.

(105)

Loi géométrique

Si notre expérience aléatoire consiste à répéter une épreuve de

Bernoulli de probabilité de succès et ce, jusqu’au premier succès. ^p On dira alors que la variable aléatoire donnant le nombre d’épreuves

nécessaire à l’obtention du premier succès X ⇠ G(p)

qu’elle suit une loi géométrique.

Remarque:

(106)

Loi géométrique

Si notre expérience aléatoire consiste à répéter une épreuve de

Bernoulli de probabilité de succès et ce, jusqu’au premier succès. ^p On dira alors que la variable aléatoire donnant le nombre d’épreuves

nécessaire à l’obtention du premier succès X ⇠ G(p)

qu’elle suit une loi géométrique.

Remarque:

p 6 = 0

(107)

Loi géométrique

Si notre expérience aléatoire consiste à répéter une épreuve de

Bernoulli de probabilité de succès et ce, jusqu’au premier succès. ^p On dira alors que la variable aléatoire donnant le nombre d’épreuves

nécessaire à l’obtention du premier succès X ⇠ G(p)

qu’elle suit une loi géométrique.

Remarque:

p 6 = 0

car chercher un succès lorsqu’il est impossible est un peu futile.

(108)

(109)

P (X = 1) = p

(110)

Pour trouver _P _(X ₌ _k)

P (X = 1) = p

(111)

Pour trouver _P _(X ₌ _k)

on a dû avoir échecs suivi d’un succès k 1

P (X = 1) = p

(112)

Pour trouver _P _(X ₌ _k)

on a dû avoir échecs suivi d’un succès k 1 P (X = k ) = q

^k ¹

p

P (X = 1) = p

(113)

Pour trouver _P _(X ₌ _k)

on a dû avoir échecs suivi d’un succès k 1 P (X = k ) = q

^k ¹

p

Ici l’ensemble de réalisation de notre variable aléatoire est

P (X = 1) = p

(114)

Pour trouver _P _(X ₌ _k)

on a dû avoir échecs suivi d’un succès k 1 P (X = k ) = q

^k ¹

p

Ici l’ensemble de réalisation de notre variable aléatoire est { 1, 2, 3, . . . }

P (X = 1) = p

(115)

Pour trouver _P _(X ₌ _k)

on a dû avoir échecs suivi d’un succès k 1 P (X = k ) = q

^k ¹

p

Ici l’ensemble de réalisation de notre variable aléatoire est { 1, 2, 3, . . . }

puisqu’à priori on ne sait pas combien d’essais ça peut prendre.

P (X = 1) = p

(116)

X

1 k=1

P (X = k ) =

X

1 k=1

q

^k ¹

p

(117)

X

1 k=1

P (X = k ) =

X

1 k=1

q

^k ¹

p

= p

X

1 k=1

q

^k ¹

(118)

X

1 k=1

P (X = k ) =

X

1 k=1

q

^k ¹

p

= p

X

1 k=1

q

^k ¹

(119)

X

1 k=1

P (X = k ) =

X

1 k=1

q

^k ¹

p

= p

X

1 k=1

q

^k ¹

t = k 1

(120)

X

1 k=1

P (X = k ) =

X

1 k=1

q

^k ¹

p

= p

X

1 k=1

q

^k ¹

= p

X

1 t=0

q

^t

t = k 1

(121)

X

1 k=1

P (X = k ) =

X

1 k=1

q

^k ¹

p

= p

X

1 k=1

q

^k ¹

= p

X

1 t=0

q

^t

t = k 1

(122)

X

1 k=1

P (X = k ) =

X

1 k=1

q

^k ¹

p

= p

X

1 k=1

q

^k ¹

= p

X

1 t=0

q

^t

t = k 1

(123)

on obtient donc une série géométrique convergente car

0 < q < 1 X

1

k=1

P (X = k ) =

X

1 k=1

q

^k ¹

p

= p

X

1 k=1

q

^k ¹

= p

X

1 t=0

q

^t

t = k 1

(124)

on obtient donc une série géométrique convergente car

0 < q < 1 X

1

k=1

P (X = k ) =

X

1 k=1

q

^k ¹

p

= p

X

1 k=1

q

^k ¹

= p

X

1 t=0

q

^t

t = k 1

= p 1

1 q

(125)

on obtient donc une série géométrique convergente car

0 < q < 1 X

1

k=1

P (X = k ) =

X

1 k=1

q

^k ¹

p

= p

X

1 k=1

q

^k ¹

= p

X

1 t=0

q

^t

t = k 1

= p 1

1 q = p

p

(126)

on obtient donc une série géométrique convergente car

0 < q < 1 X

1

k=1

P (X = k ) =

X

1 k=1

q

^k ¹

p

= p

X

1 k=1

q

^k ¹

= p

X

1 t=0

q

^t

t = k 1

= p 1

1 q = p

p

(127)

on obtient donc une série géométrique convergente car

0 < q < 1 X

1

k=1

P (X = k ) =

X

1 k=1

q

^k ¹

p

= p

X

1 k=1

q

^k ¹

= p

X

1 t=0

q

^t

t = k 1

= p 1

1 q = p

p = 1

(128)

on obtient donc une série géométrique convergente car

0 < q < 1 X

1

k=1

P (X = k ) =

X

1 k=1

q

^k ¹

p

= p

X

1 k=1

q

^k ¹

= p

X

1 t=0

q

^t

t = k 1

= p 1

1 q = p

p = 1

(129)

(130)

E (X ) =

X

1 k=1

kq

^k ¹

p

(131)

E (X ) =

X

1 k=1

kq

^k ¹

p = p

X

1 k=1

kq

^k ¹

(132)

E (X ) =

X

1 k=1

kq

^k ¹

p = p

X

1 k=1

kq

^k ¹

(133)

Calculer ça directement est assez compliquer; utilisons une astuce.

E (X ) =

X

1 k=1

kq

^k ¹

p = p

X

1 k=1

kq

^k ¹

(134)

Calculer ça directement est assez compliquer; utilisons une astuce.

E (X ) =

X

1 k=1

kq

^k ¹

p = p

X

1 k=1

kq

^k ¹

X

1 k=0

x

^k

= 1

1 x

on sait que la série de puissance

(135)

Calculer ça directement est assez compliquer; utilisons une astuce.

E (X ) =

X

1 k=1

kq

^k ¹

p = p

X

1 k=1

kq

^k ¹

X

1 k=0

x

^k

= 1 1 x on sait que la série de puissance

en dérivant de chaque côté la dernière égalité, on obtient

(136)

Calculer ça directement est assez compliquer; utilisons une astuce.

E (X ) =

X

1 k=1

kq

^k ¹

p = p

X

1 k=1

kq

^k ¹

X

1 k=0

x

^k

= 1 1 x on sait que la série de puissance

en dérivant de chaque côté la dernière égalité, on obtient X

1

k=0

x

^k

!

₀

=

X

1 k=0

x

^k ⁰

(137)

Calculer ça directement est assez compliquer; utilisons une astuce.

E (X ) =

X

1 k=1

kq

^k ¹

p = p

X

1 k=1

kq

^k ¹

X

1 k=0

x

^k

= 1 1 x on sait que la série de puissance

en dérivant de chaque côté la dernière égalité, on obtient X

1

k=0

x

^k

!

₀

=

X

1 k=0

x

^k ⁰

=

X

1 k=1

kx

^k ¹

(138)

Calculer ça directement est assez compliquer; utilisons une astuce.

E (X ) =

X

1 k=1

kq

^k ¹

p = p

X

1 k=1

kq

^k ¹

X

1 k=0

x

^k

= 1 1 x on sait que la série de puissance

en dérivant de chaque côté la dernière égalité, on obtient X

1

k=0

x

^k

!

₀

=

X

1 k=0

x

^k ⁰

=

X

1 k=1

kx

^k ¹

= 1

(1 x)

²

=

✓ 1 1 x

◆

₀

(139)

Calculer ça directement est assez compliquer; utilisons une astuce.

E (X ) =

X

1 k=1

kq

^k ¹

p = p

X

1 k=1

kq

^k ¹

X

1 k=0

x

^k

= 1 1 x on sait que la série de puissance

en dérivant de chaque côté la dernière égalité, on obtient X

1

k=0

x

^k

!

₀

=

X

1 k=0

x

^k ⁰

=

X

1 k=1

kx

^k ¹

= 1

(1 x)

²

=

✓ 1 1 x

◆

₀

(140)

Calculer ça directement est assez compliquer; utilisons une astuce.

E (X ) =

X

1 k=1

kq

^k ¹

p = p

X

1 k=1

kq

^k ¹

X

1 k=0

x

^k

= 1 1 x on sait que la série de puissance

en dérivant de chaque côté la dernière égalité, on obtient

= p 1

(1 q )

²

X

1 k=0

x

^k

!

₀

=

X

1 k=0

x

^k ⁰

=

X

1 k=1

kx

^k ¹

= 1

(1 x)

²

=

✓ 1 1 x

◆

₀

(141)

Calculer ça directement est assez compliquer; utilisons une astuce.

E (X ) =

X

1 k=1

kq

^k ¹

p = p

X

1 k=1

kq

^k ¹

X

1 k=0

x

^k

= 1 1 x on sait que la série de puissance

en dérivant de chaque côté la dernière égalité, on obtient

= p 1

(1 q )

²

X

1 k=0

x

^k

!

₀

=

X

1 k=0

x

^k ⁰

=

X

1 k=1

kx

^k ¹

= 1

(1 x)

²

=

✓ 1 1 x

◆

₀

(142)

Calculer ça directement est assez compliquer; utilisons une astuce.

E (X ) =

X

1 k=1

kq

^k ¹

p = p

X

1 k=1

kq

^k ¹

X

1 k=0

x

^k

= 1 1 x on sait que la série de puissance

en dérivant de chaque côté la dernière égalité, on obtient

= p 1

(1 q )

²

= p p

²

X

1 k=0

x

^k

!

₀

=

X

1 k=0

x

^k ⁰

=

X

1 k=1

kx

^k ¹

= 1

(1 x)

²

=

✓ 1 1 x

◆

₀

(143)

Calculer ça directement est assez compliquer; utilisons une astuce.

E (X ) =

X

1 k=1

kq

^k ¹

p = p

X

1 k=1

kq

^k ¹

X

1 k=0

x

^k

= 1 1 x on sait que la série de puissance

en dérivant de chaque côté la dernière égalité, on obtient

= p 1

(1 q )

²

= p p

²

X

1 k=0

x

^k

!

₀

=

X

1 k=0

x

^k ⁰

=

X

1 k=1

kx

^k ¹

= 1

(1 x)

²

=

✓ 1 1 x

◆

₀

(144)

Calculer ça directement est assez compliquer; utilisons une astuce.

E (X ) =

X

1 k=1

kq

^k ¹

p = p

X

1 k=1

kq

^k ¹

X

1 k=0

x

^k

= 1 1 x on sait que la série de puissance

en dérivant de chaque côté la dernière égalité, on obtient

= p 1

(1 q )

²

= p

p

²

= 1 p

X

1 k=0

x

^k

!

₀

=

X

1 k=0

x

^k ⁰

=

X

1 k=1

kx

^k ¹

= 1

(1 x)

²

=

✓ 1 1 x

◆

₀

(145)

Var(X ) = E (X

²

) E (X )

²

(146)

Var(X ) = E (X

²

) E (X )

²

= E (X

²

)

✓ 1 p

◆

2

(147)

Var(X ) = E (X

²

) E (X )

²

E (X

²

) =

X

1 k=1

k

²

q

^k ¹

p

= E (X

²

)

✓ 1 p

◆

2

(148)

Var(X ) = E (X

²

) E (X )

²

E (X

²

) =

X

1 k=1

k

²

q

^k ¹

p

En utilisant la dérivée seconde de la série géométrique

= E (X

²

)

✓ 1 p

◆

2

(149)

Var(X ) = E (X

²

) E (X )

²

E (X

²

) =

X

1 k=1

k

²

q

^k ¹

p

X

1 k=0

x

^k

!

₀₀

=

X

1 k=2

k (k 1)x

^k ²

En utilisant la dérivée seconde de la série géométrique

= E (X

²

)

✓ 1 p

◆

2

(150)

Var(X ) = E (X

²

) E (X )

²

E (X

²

) =

X

1 k=1

k

²

q

^k ¹

p

X

1 k=0

x

^k

!

₀₀

=

X

1 k=2

k (k 1)x

^k ²

= 2

(1 x)

³

=

✓ 1 1 x

◆

₀₀

En utilisant la dérivée seconde de la série géométrique

= E (X

²

)

✓ 1 p

◆

2

(151)

Var(X ) = E (X

²

) E (X )

²

E (X

²

) =

X

1 k=1

k

²

q

^k ¹

p

X

1 k=0

x

^k

!

₀₀

=

X

1 k=2

k (k 1)x

^k ²

= 2

(1 x)

³

=

✓ 1 1 x

◆

₀₀

En utilisant la dérivée seconde de la série géométrique

= E (X

²

)

✓ 1 p

◆

2

(152)

Var(X ) = E (X

²

) E (X )

²

E (X

²

) =

X

1 k=1

k

²

q

^k ¹

p

X

1 k=2

k (k 1)x

^k ²

=

X

1 k=2

k

²

x

^k ²

X

1 k=2

kx

^k ²

X

1

k=0

x

^k

!

₀₀

=

X

1 k=2

k (k 1)x

^k ²

= 2

(1 x)

³

=

✓ 1 1 x

◆

₀₀

En utilisant la dérivée seconde de la série géométrique

= E (X

²

)

✓ 1 p

◆

2

(153)

Var(X ) = E (X

²

) E (X )

²

E (X

²

) =

X

1 k=1

k

²

q

^k ¹

p

X

1 k=2

k (k 1)x

^k ²

=

X

1 k=2

k

²

x

^k ²

X

1 k=2

kx

^k ²

X

1

k=0

x

^k

!

₀₀

=

X

1 k=2

k (k 1)x

^k ²

= 2

(1 x)

³

=

✓ 1 1 x

◆

₀₀

En utilisant la dérivée seconde de la série géométrique

= E (X

²

)

✓ 1 p

◆

2

(154)

Var(X ) = E (X

²

) E (X )

²

E (X

²

) =

X

1 k=1

k

²

q

^k ¹

p

X

1 k=2

k (k 1)x

^k ²

=

X

1 k=2

k

²

x

^k ²

X

1 k=2

kx

^k ²

X

1

k=0

x

^k

!

₀₀

=

X

1 k=2

k (k 1)x

^k ²

= 2

(1 x)

³

=

✓ 1 1 x

◆

₀₀

En utilisant la dérivée seconde de la série géométrique

= E (X

²

)

✓ 1 p

◆

2

(155)

Var(X ) = E (X

²

) E (X )

²

E (X

²

) =

X

1 k=1

k

²

q

^k ¹

p

X

1 k=2

k (k 1)x

^k ²

=

X

1 k=2

k

²

x

^k ²

X

1 k=2

kx

^k ²

X

1 k=2

k

²

x

^k ²

= 2

(1 x)

³

+

X

1 k=2

kx

^k ²

X

1

k=0

x

^k

!

₀₀

=

X

1 k=2

k (k 1)x

^k ²

= 2

(1 x)

³

=

✓ 1 1 x

◆

₀₀

En utilisant la dérivée seconde de la série géométrique

= E (X

²

)

✓ 1 p

◆

2

(156)

Var(X ) = E (X

²

) E (X )

²

E (X

²

) =

X

1 k=1

k

²

q

^k ¹

p

X

1 k=2

k (k 1)x

^k ²

=

X

1 k=2

k

²

x

^k ²

X

1 k=2

kx

^k ²

X

1 k=2

k

²

x

^k ²

= 2

(1 x)

³

+

X

1 k=2

kx

^k ²

X

1

k=0

x

^k

!

₀₀

=

X

1 k=2

k (k 1)x

^k ²

= 2

(1 x)

³

=

✓ 1 1 x

◆

₀₀

En utilisant la dérivée seconde de la série géométrique

= E (X

²

)

✓ 1 p

◆

2

(157)

Var(X ) = E (X

²

) E (X )

²

E (X

²

) =

X

1 k=1

k

²

q

^k ¹

p

X

1 k=2

k (k 1)x

^k ²

=

X

1 k=2

k

²

x

^k ²

X

1 k=2

kx

^k ²

X

1 k=2

k

²

x

^k ²

= 2

(1 x)

³

+

X

1 k=2

kx

^k ²

X

1

k=0

x

^k

!

₀₀

=

X

1 k=2

k (k 1)x

^k ²

= 2

(1 x)

³

=

✓ 1 1 x

◆

₀₀

En utilisant la dérivée seconde de la série géométrique

= E (X

²

)

✓ 1 p

◆

2

(158)

Var(X ) = E (X

²

) E (X )

²

E (X

²

) =

X

1 k=1

k

²

q

^k ¹

p

X

1 k=2

k (k 1)x

^k ²

=

X

1 k=2

k

²

x

^k ²

X

1 k=2

kx

^k ²

X

1 k=2

k

²

x

^k ²

= 2

(1 x)

³

+

X

1 k=2

kx

^k ²

X

1

k=0

x

^k

!

₀₀

=

X

1 k=2

k (k 1)x

^k ²

= 2

(1 x)

³

=

✓ 1 1 x

◆

₀₀

En utilisant la dérivée seconde de la série géométrique

= E (X

²

)

✓ 1 p

◆

2

(159)

Var(X ) = E (X

²

) E (X )

²

E (X

²

) =

X

1 k=1

k

²

q

^k ¹

p

X

1 k=2

k (k 1)x

^k ²

=

X

1 k=2

k

²

x

^k ²

X

1 k=2

kx

^k ²

X

1 k=2

k

²

x

^k ²

= 2

(1 x)

³

+

X

1 k=2

kx

^k ²

X

1

k=0

x

^k

!

₀₀

=

X

1 k=2

k (k 1)x

^k ²

= 2

(1 x)

³

=

✓ 1 1 x

◆

₀₀

En utilisant la dérivée seconde de la série géométrique

= E (X

²

)

✓ 1 p

◆

2

3.3 LOI DISCRÈTE 1

cours 14