Chapitre XII : Lois de probabilité

(1)

Chapitre XII : Lois de probabilité

I-Combinaisons :

Définition 1 : Soit n un entier naturel différent de zéro. L'entier naturel factoriel n, notée n! est définie par : n!=1 ×2 ×3 ×⋯×n.

Par convention 0!=1.

Définition 2 : Soit n et p deux entiers naturels avec0 pn. Soit E un ensemble à n éléments.

Une combinaison de p éléments de E est un sous ensemble de E constitué de p éléments.

Exemples : Soit E={a , b , c , d , e}.

• A={a ,b} est une combinaison de deux éléments de E.

• ∅ est la seule combinaison ayant 0 élément.

Propriété 1 : Soit n et p deux entiers naturels avec0 pn. Soit E un ensemble à n éléments.

^.

Démonstration :

Conséquence : Triangle de Pascal

Le triangle de Pascal permet de donner la liste des



ⁿ^p



en utilisant la dernière propriété.

p

n 0 1 2 3 4 5 6 7

0 1

1 1 1

2 1 2 1

3 1 3 3 1

4 5 6 7

Propriété 4 : (Formule du binôme de Newton)

Pour tout nombre complexe a et b et pour tout entier naturel on a : abⁿ=

∑

k=0

n



ⁿ^k



^a^k^b^n−k^.

Lycée Dessaignes Page 1 sur 3

(2)

II-Lois de probabilité discrète :

Définition 3 : On appelle épreuve de Bernoulli toute expérience aléatoire ne comportant que deux issues appelées succès, de probabilité p, ou échec, de probabilité q = 1-p .

La loi de probabilité est appelé loi de Bernoulli de paramètre p . Exemples :

1 . Jet d'une pièce de monnaie : pile correspond au succès et face correspond à l'échec.

Cette expérience aléatoire admet une loi de probabilité de Bernoulli de paramètre p=1 2 . 2 . Jet d'un dé cubique non pipé dont les faces sont numérotés de 1 à 6.

On note succès le fait d'obtenir le 6.

On note échec le fait d'obtenir un autre résultat.

Cette expérience aléatoire admet une loi de probabilité de Bernoulli de paramètre p=1 6 . Définition 4 : On appelle schéma de Bernoulli toute expérience aléatoire constituée de la répétition d'épreuve de Bernoulli identiques et indépendantes.

Exemple :

On jette 10 fois de suite un dé cubique non pipé dont les faces sont numérotés de 1 à 6, en notant succès le fait d'obtenir le 6.

Propriété 5 : Un schéma de Bernoulli est constituée de la répétition de n épreuves de Bernoulli identiques et indépendantes. Notons X la variable aléatoire qui à chaque liste de n épreuves associe le nombre de succès, alors pour tout k tel que0 knon a :

pX=k=



ⁿ^k



^p^k^¹⁻^p^^n−k

Cette loi de probabilité de la variable aléatoire X est appelé loi binomiale de paramètre n et p . Elle est notée

B

^{(n , p).}

Démonstration : Exemple :

On jette 10 fois de suite un dé cubique non pipé dont les faces sont numérotés de 1 à 6, en notant succès le fait d'obtenir le 6.

Quelle est la probabilité d'obtenir trois fois le chiffre 6?

Propriété 6 : (admise)Soit X une variable aléatoire suivant la loi binomiale

B

(n , p) alors : EX=npetVX=npq.

Exemple :

On jette 10 fois de suite un dé cubique non pipé dont les faces sont numérotés de 1 à 6, en notant succès le fait d'obtenir le 6. Calculer EX et VX.

III- Loi continue :

On considère une variable aléatoire X prenant des valeurs non discrètes.

Définition 5 :On appelle fonction de densité de probabilité toute fonction f définie sur un intervalle [;] les conditions suivantes :

• f est continue sur [;].

• ∀x∈[,] , fx0.

•

∫





fxdx=1.

(3)

Remarque : Lorsque f est définie sur un intervalle non borné du type[;∞[ , par exemple, la dernière condition s'écrit lim

x∞

∫

 x

fxdx=1.

Définition 6 : Soit X une variable aléatoire continue prenant ses valeurs dans un intervalle I et f une fonction de densité de probabilité définie sur I. On dit que la loi p_Xadmet f comme densité de probabilité lorsque, pour tout intervalle [a , b] inclus dans I, on a :

p_X[a , b]=paXb=

∫

a b

f xdx Interprétation graphique :

Exemples de loi de probabilité continue : 1. loi uniforme sur [0, 1] :

Définition 7 : La loi de probabilité qui admet la fonction constante égale à 1 sur [0, 1]

comme densité de probabilité, est appelée loi uniforme sur [0, 1].

Soit a, b deux réels de [0, 1] alors : p_X[a , b]=paXb=

∫

a b

dx=b−a 2. loi exponentielle de paramètre sur [0 , ∞[ :

Propriété 7 : Soitun réel strictement positif et f la fonction définie sur[0 , ∞[par : f x=e^−x, alors f est une densité de probabilité.

Démonstration :

Définition 8 : Soitun réel strictement positif, la loi de probabilité qui admet pour densité de probabilité la fonction f définie sur [0 , ∞[par f x=e^−^xest appelé loi exponentielle de paramètre.

Exemple : Soit X une variable aléatoire suivant la loi exponentielle de paramètre. Que vaut : p_X[a , b].?