Chapitre 13 : Probabilité Partie 4 : Lois de probabilité continues

Chapitre 13: Probabilités : Partie 4 : Lois de probabilité continues Page 1 sur 3

Terminale S. – Lycée Desfontaines – Melle

Chapitre 13 : Probabilité

Partie 4 : Lois de probabilité continues

I. Généralités

Dans toutes les situations étudiées jusqu’à présent, la variable aléatoire prend un nombre fini de valeurs x₁, x2, …, xn. On dit alors que X est discrète. Cependant, il existe des variables aléatoires non discrètes, qui peuvent prendre toutes les valeurs d’un

intervalle de IR. Ces variables sont alors dites continues.

Exemple : on tire sur une cible de 1 mètre de rayon, sans jamais la manquer. La variable aléatoire qui donne la distance, en mètres, du point d’impact au centre est continue car elle peut prend toutes les valeurs de l’intervalle [0;1].

1- Définitions

• Une densité de probabilité sur un intervalle [a;b] est une fonction f définie, continue et positive sur [a;b] et telle que

⌡ ⌠

a b

f(x)dx=1.

• Une densité de probabilité sur un intervalle [a;+õ[ est une fonction f définie, continue et positive sur [a;+õ[

et telle que lim

x↔+õ

⌡ ⌠

a x

f(t)dt=1.

• Soit X une variable aléatoire continue prenant toutes ses valeurs dans un intervalle I et f une densité de probabilité sur I (avec I=[a;b] ou I=[a;+õ[). On dit que X est une variable aléatoire continue de densité f sur I si pour tout intervalle [α;β] inclus dans I, on a : P(αÂXÂβ)=

⌡ ⌠

α β

f(x)dx

2- Propriétés

Soit X une variable aléatoire continue de densité f sur un intervalle I et soit α☻I. Alors :

• P(X=α)=0 • P(XÂα)=P(X<α) • P(XÃα)=1−P(X<α)

II. Deux exemples de lois continues

1. Loi uniforme sur [0;1]

La fonction f définie sur [0;1] par f(x)=1 est continue, positive et

⌡ ⌠

0 1

f(x)dx=

⌡ ⌠

0

11dx=

 

 

x

0 1

=1 donc f est une densité de probabilité. On dit alors que la variable aléatoire X continue sur [0;1] de densité f suit une loi uniforme sur [0;1].

Et on a alors pour tout intervalle [α;β] inclus dans [0;1], P(αÂXÂβ)=

⌡ ⌠

α

β1dx=β−α

Exemple : Un autobus passe toutes les heures à un arrêt donné. Une personne, ne connaissant pas les horaires de passage, se présente à l’arrêt : son temps d’attente est une variable aléatoire T qui suit la loi uniforme sur

[0;1].

La probabilité qu’elle attende exactement 15 minutes est égale à P(T=15)=0.

La probabilité qu’elle attende moins de 15 minutes est P(0ÂT<0,25)=0,25-0=0,25

2. Loi exponentielle (a) Définition

Soit λ un réel strictement positif. La fonction définie sur [0;+õ[ par f(x)=λe^-λx est continue, positive et l i m

x↔+õ

⌡ ⌠

0 x

f(t)dt = lim

x↔+õ

⌡ ⌠

0

xλe^-λtdt = lim

x↔+õ

 

 

−e^-λt

0 x = lim

x↔+õ

(

)

On dit alors que la variable aléatoire X continue sur [0;+õ[ de densité f suit une loi exponentielle de paramètre λ. Et on a alors pour tout intervalle [α;β] inclus dans [0;1], P(αÂXÂβ)=

⌡ ⌠

α βλe^-λtdt

Chapitre 13: Probabilités : Partie 4 : Lois de probabilité continues Page 2 sur 3 Exemple :

On a vu dans un chapitre précédent que si on considère une population macroscopique de noyaux radioactifs et si N(t) représente le nombre de ces noyaux présents à l’instant t, la fonction N est solution de l’équation différentielle y′=-λy où λ est un réel positif caractéristique du noyau étudié. On obtient alors N(t)=N₀×e-^λt où N0 est le nombre de noyaux au départ.

Si on note T la variable aléatoire égale à la durée de vie d’un noyau, on peut estimer que la probabilité pour un noyau d’être encore en vie à l’instant t est égale au rapport du nombre de noyaux restant par le nombre de noyaux initiaux soit P(TÃt)=N(t)

N₀ =e-^λt

A i n s i T suit bien une loi exponentielle de paramètre λ car on retrouve le résultat ci-dessus :

P(TÃt)= l i m y↔ + õ

⌡ ⌠

t y

λe-λxdx =y↔ + l i m õ

 

 

−e-λx t y

= l i m y↔ + õ-e-λy+e-λt =e-λt

Remarque : plus t augmente et plus l’aire diminue cad plus la probabilité P(TÃt) d’obtenir un noyau encore en vie à l’instant t diminue…ce qui est logique…

(b) Propriété et définition Reprenons l’exemple ci-dessus :

Notons A l’événement : "le noyau n’est pas désintégré à l’instant t+h" (avec hÃ0) et B l’événement : "le noyau n’est pas désintégré à l’instant t".

Alors PB(A)=P(A∩B)

P(B) =P(A)

P(B)=P(TÃt+h)

P(TÃt) =e^-λ(t+h)

e^-λt =e^-λh=P(TÃh)

On remarque alors que la probabilité pour un noyau d’être encore "en vie" à l’instant t+h sachant qu’il est "en vie" à l’instant t ne dépend pas de t; les noyaux "ne vieillissent pas": à tout instant t, ils ont la même probabilité de vivre encore h années :

On dit que la variable aléatoire T suit une loi de durée de vie sans vieilllissement ou que T est sans mémoire .

Attention : on a vu que P(TÃt+h)

P(TÃt) =e^-λ(t+h)

e^-λt =e^-λh=P(TÃh) cad P(TÃt+h)=P(TÃt)×P(TÃh).

Or P(TÃh)Â1 donc P(TÃt+h)ÂP(TÃt) ce qui confirme le phénomène d’usure…

La durée de vie d’un individu (au sens statistique du terme) est une variable aléatoire T continue, à valeurs dans [0;+õ[ où l’événement (TÃt), avec tÃ0, signifie que l’individu est vivant à l’instant t.

On dit que T suit la loi de durée de vie sans vieillissement ou que T est sans mémoire si la probabilité que l’individu soit vivant à l’instant t+h (hÃ0), sachant qu’il est vivant à l’instant t (tÃ0), ne dépend pas de t.

Cad si ┐tÃ0, ┐hÃ0, PTÃt(TÃt+h)=P(TÃh) .

On pourrait montrer que seules les variables aléatoires suivant une loi exponentielle sont sans mémoire .

Chapitre 13: Probabilités : Partie 4 : Lois de probabilité continues Page 3 sur 3

III. Exercices

Exercice 1 (Polynésie-juin 2004)

Le laboratoire de physique d’un lycée dispose d’un parc d’oscilloscopes identiques. La durée de vie en années d’un oscilloscope est une variable aléatoire notée X qui suit la loi de durée de vie sans vieillissement (ou encore loi exponentielle de paramètre λ avec λ>0). Toutes les probabilités seront données à 10^-3 près.

1. Sachant que P(X>10)=0,286, montrer qu’une valeur approchée à 10^-3 près de λ est 0,125.

2. Calculer la probabilité qu’un oscilloscope du modèle étudié ait une durée de vie inférieure à 6 mois.

3. Sachant qu’un appareil a déjà fonctionné huit années, quelle est la probabilité qu’il ait une durée de vie supérieure à 10 ans.

4. On considère que la durée de vie d’un oscilloscope est indépendante de celle des autres appareils. Le responsable du

laboratoire décide de commander 15 oscilloscopes. Quelle est la probabilité qu’au moins un oscilloscope ait une durée de vie supérieure à 10 ans?

5. Combien l’établissement devrait-il acheter d’oscilloscopes pour que la probabilité qu’au moins l’un d’entre eux fonctionne plus de 10 ans soit supérieure à 0,999 ?

Exercice 2 (Centres étrangers-juin 2003)

Une entreprise d’autocars dessert une région montagneuse. En chemin, les véhicules peuvent être bloqués par des incidents extérieurs comme des chutes de pierres, la présence de troupeaux sur la route, etc…

Un autocar part de son entrepôt. On note D la variable aléatoire qui mesure la distance, en km, que l’autocar va parcourir jusqu’à ce qu’il survienne un incident. On admet que D suit une loi exponentielle de paramètre λ= 1

82, appelée aussi loi de durée de vie sans vieillissement.

Dans tout l’exercice, les résultats numériques seront arrondis au millième.

1. Calculer la probabilité que la distance parcourue sans incident soit : (a) comprise entre 50 et 10 kms;

(b) supérieure à 300 kms.

2. Sachant que l’autocar a déjà parcouru 350 kms sans incident, quelle est la probabilité qu’il n’en subisse pas non plus au cours des 25 prochains kilomètres?

3. Détermination de la distance moyenne parcourue sans incident : (a) Au moyen d’une intégration par parties calculer I(A)=

⌡ ⌠

0 A 1

82xe^-

x

82dx où A est un réel positif.

(b) Calculer la limite de I(A) lorsque A tend vers +õ (cette limite représente la distance moyenne cherchée).

4. L’entreprise possède N₀ autocars. Les distances parcourues par chacun des autocars entre l’entrepôt et le lieu où survient un incident sont des variables aléatoires deux à deux indépendantes et de même loi exponentielle de paramètre λ= 1

82. d étant un réel positif, on note Xd la variable aléatoire égale au nombre d’autocars n’ayant subi aucun incident après avoir parcouru d kilomètres.

(a) Montrer que Xd suit une loi binomiale de paramètre N0 et e^-λd.

(b) Donner le nombre moyen d’autocars n’ayant subi aucun incident après avoir parcouru d kilomètres.

Exercice 3 (France métropolitaine-juin 2004)

On s’intéresse à la durée de vie, exprimée en semaines, d’un composant électronique. On modélise cette situation par une loi de probabilité p de durée de vie sans vieillissement définie sur l’intervalle [0;+õ[ : la probabilité que le composant ne soit plus en état de marche au bout de t semaines est p

(

)

⌡ ⌠

0

tλe^-λxdx.

Une étude statistique, montrant qu’environ 50% d’un lot important de ces composants sont encore en état de marche au bout de 200 semaines, permet de poser p

(

)

1. Montrer que λ=ln2 200.

2. Quelle est la probabilité qu’un de ces composants pris au hasard ait une durée de vie supérieure à 300 semaines ? On donnera la valeur exacte et une valeur décimale au centième près.

3. On admet que la durée de vie moyenne dm de ces composants est la limite quand A tend vers +õ de

⌡ ⌠

0

Aλxe^-λxdx.

(a) Montrer que

⌡ ⌠

0

Aλxe^-λxdx =-λAe^-λA−e^-λA+1 λ

(b) En déd uire d_m ; on déterminera la valeur exacte et une valeur approchée décimale à la semaine près.