Chapitre 13: Probabilités : Partie 3 : Lois de probabilité discrètes Page 1 sur 2
Terminale S. – Lycée Desfontaines – Melle
Chapitre 13 : Probabilité
Partie 3: Lois de probabilité discrètes
I. Epreuve et loi de Bernouilli
1- Définitions
• Une épreuve de Bernouilli est une expérience aléatoire qui ne comporte que deux issues (nécessairement contraires), l’une appelée "succès" (notée S) et l’autre "échec" (notée E ou ÒS), de probabilités respectives p et q=1−p .
• On appelle loi de Bernouilli de paramètre p, la loi de probabilité de la variable aléatoire X prenant la valeur 1 en cas de succès et 0 en cas d’échec.
On peut représenter dans un tableau la loi de Bernouilli :
Exemple : Le lancé d’une pièce de monnaie équilibrée, avec pour issues contraires PILE (de probabilité p=1
2) et FACE (de probabilité q=1−p=1
2 est une épreuve de Bernouilli. La loi de Bernouilli associée peut se résumer dans le tableau ci-contre :
2- Propriétés
Soit X la variable aléatoire d’une loi de Bernouilli de paramètre p.
L’espérance et la variance de X sont E(X)=p et V(X)=p(1−p) Dans l’exemple ci-dessus, on obtient E(X)=1
2 et V(X)=1 2×1
2=1 4
II. Schéma de Bernouilli et loi binomiale
1. Définitions
Un schéma de Bernouilli est la répétition de n épreuves de Bernouilli identiques et indépendantes.
On appelle loi binomiale de paramètres n et p et on note B(n;p) la loi de probabilité de la variable aléatoire X qui à chaque liste de n résultats associe le nombre de succès.
2. Propriétés
Soit X la variable aléatoire d’une loi binomiale B(n;p). On a alors ┐k, 0ÂkÂn, P(X=k)=
n
k pk(1−p)n−k . L’espérance et la variance de X sont E(X)=np et V(X)=np(1−p)
Exemple : On répète trois fois le lancer d’un dé cubique équilibré, le succès étant S : "l’apparition du numéro 6". On peut représenter ce schéma de Bernouilli à l’aide de l’arbre ci-contre :
On s’intéresse ici à la probabilité de l’événement "obtenir exactement une fois le chiffre 6"cad P(X=1) : Au regard de l’arbre, on constate que cet événement sera obtenu dans les trois cas suivants :
(
S,ÒS,ÒS)
,(
ÒS,S,ÒS)
et(
ÒS,ÒS,S)
avec à chaque fois une probabilité égale à 1 6×56×5
6 (car les épreuves sont indépendantes) :
De plus, les trois événements
(
S,ÒS,ÒS)
,(
ÒS,S,ÒS)
et(
ÒS,ÒS,S)
so nt inco mp atib les d onc P(X=1)=P( (
S,ÒS,ÒS) )
+P( (
ÒS,S,ÒS) )
+P( (
ÒS,ÒS,S) )
=3×
16×56× 56
Valeurs possibles xi de X 0 1
P
(
X=xi)
1−p pValeurs possibles xi de X 0 1 P
(
X=xi)
12
1 2
Ce qui revient donc bien à calculer directement à l’aide de la formule P(X=1) =
3 1 ×
1 6
1×
5 6
5 =3×1
6×
5 6
2 =25
72
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III. Exercices
Exercice 1
Des études statistiques montrent que lors d’une naissance, la probabilité d’avoir un garçon est d’environ 51%. On choisit au hasard une famille de 4 enfants où l’on suppose les fécondations indépendantes.
1. Expliquer pourquoi cette situation peut-être modélisée par une loi binomiale.
2. Calculer la probabilité que dans cette famille il y ait au moins un garçon.
Exercice 2
Une chaine de supermarchés vend des sacs à ses clients pour le transport de leurs achats. On considère que la probabilité qu’un sac soit défectueux est 0,03. Les sacs sont livrés par lots de 10 et leurs défectuosités sont supposées indépendantes. X est la variable aléatoire qui compte le nombre de sacs défectueux dans un lot de 10.
1. Expliquer pourquoi X suit une loi binomiale dont on précisera les paramètres.
2. Calculer la probabilité pour que dans un lot de 10 sacs, 2 au maximum soient défectueux. Donner le résultat à 10-4 près.
3. Calculer l’espérance de la variable aléatoire X.
Exercice 3
Dans une entreprise spécialisée dans la fabrication de tables et salons de jardin en bois, on effectue une étude afin d’améliorer la rentabilité.
La fabrication d’une table nécessite 12 planches. La probabilité qu’une planche présente un nœud dans le bois, ce qui fragilise la table, est de 0,04.
Une table est mise à la vente au tarif normal si elle possède au plus une planche fragile.
Elle n’est pas mise en vente si elle possède strictement plus de trois planches fragiles.
Elle est vendue en promotion dans les autres cas.
On note X la variable aléatoire donnant le nombre de planches fragiles par table à la sortie de la fabrication.
1. Donner, en justifiant, la loi de probabilité de X. Préciser ses paramètres.
2. Calculer la probabilité qu’une table soit vendue au prix normal.
3. Calculer la probabilité qu’elle soit vendue en promotion.
Exercice 4
Lors d’un examen, un questionnaire à choix multiple (QCM) est utilisé. On s’intéresse à 5 questions de ce QCM supposées indépendantes. A chaque question est associé 4 affirmations, numérotées 1, 2, 3 et 4, dont une seule est exacte.
Un candidat doit répondre à chaque question en donnant seulement le numéro de l’affirmation qu’il juge exacte; sa réponse est correcte si l’affirmation qu’il a retenue est vraie, sinon sa réponse est incorrecte.
Dans cet exercice, les probabilités demandées seront données sous forme fractionnaire.
1. Un candidat répond à chaque question au hasard, càd qu’il considère les quatre affirmations correspondantes équiprobables.
(a) Calculer la probabilité de chacun des événements suivants :
A : "le candidat répond correctement à la première des cinq questions";
B : "le candidat répond correctement à deux questions au moins sur les cinq".
(b) On attribue la note 4 à toute réponse correcte et la note -1 à toute réponse incorrecte.
Si le total est négatif, la note est ramenée à 0.
Calculer la probabilité de l’événement C : "le candidat obtient une note au moins égale à 10 pour l’ensemble des cinq questions".
2. On suppose maintenant qu’un candidat connaît la réponse correcte à deux questions et qu’il répond au hasard aux trois autres questions.
Quelle est alors la probabilité de l’événement C décrit au 1.b.
