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lois de probabilité
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Une loi de probabilité décrit théoriquement la nature aléatoire d’un processus réel de nature expérimentale, où le hasard intervient, avec des résultats possibles bien identifiés.
Les lois de probabilité permettent de décrire des phénomènes physiques, biologiques, économiques, … Historiquement, les premiers phénomènes qui ont intéressé les mathématiciens ont été jeux de hasard tels les jeux de dés, les tirages de boules dans des urnes ou le jeu de « pile ou face ». Ces premières approches sont des phénomènes discrets, c'est-à-dire dont le nombre de résultats possibles est limité.
Plus tard, des phénomènes aléatoires dont le nombre de résultats possibles est infini ont été étudiés. On peut penser à l’étude de la température moyenne en un point de l’océan ou l’étude de la taille d’un individu.
La première page de l’ouvrage « The Doctrine of Chances » d’Abraham de Moivre (1667-1754) est présentée ci-dessus. C’est un des pionniers du
développement de la théorie des probabilités. Dans ce livre de 1711, apparaissent les premiers développements sur la loi normale que nous étudierons plus loin. A l’époque, ce livre rencontra un grand succès auprès des parieurs.
4.1 Définitions
Pour un phénomène aléatoire donné, on appelle variable aléatoire 𝑿 une caractéristique numérique associée aux événements de ce phénomène.
Exemple : on lance un dé et on examine la face supérieure La variable aléatoire 𝑋 peut par exemple être le nombre obtenu.
La probabilité qu’une variable aléatoire 𝑋 prenne une valeur donnée est égale à la probabilité de l’événement associé à cette valeur.
Dans notre exemple, nous savons que la probabilité d’obtenir n’importe quelle face du dé est d’une chance sur six.
Evénement 𝑋 = 𝑥𝑖 𝑃(𝑋 = 𝑥𝑖)
Obtenir 1 𝑋 = 1 𝑃(𝑋 = 1) =1
6
Obtenir 2 𝑋 = 2 𝑃(𝑋 = 2) =1
6
Obtenir 3 𝑋 = 3 𝑃(𝑋 = 3) =1
6
Obtenir 4 𝑋 = 4 𝑃(𝑋 = 4) =1
6
Obtenir 5 𝑋 = 5 𝑃(𝑋 = 5) =1
6
Obtenir 6 𝑋 = 6 𝑃(𝑋 = 6) =1
6
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On appelle loi de probabilité 𝑓 d’une variable aléatoire 𝑋 la fonction qui renvoie la probabilité d’une valeur donnée 𝑥𝑖 de 𝑋.
𝑓 ∶ ℝ → ℝ ∶ 𝑥𝑖 → 𝑓(𝑥𝑖) = 𝑃(𝑋 = 𝑥𝑖)
On appelle distribution de probabilité de la variable aléatoire 𝑋 le graphe reliant les valeurs 𝑥𝑖 de 𝑋 et leurs probabilités 𝑓(𝑥𝑖). Il peut être représenté sous forme de bâtonnets.
Pour notre exemple, nous avons un graphe « plat » car tous les événements considérés sont équiprobables, on a une loi de probabilité dite uniforme.
On appelle fonction de répartition 𝐹 de la variable aléatoire 𝑋 le graphe reliant les valeurs 𝑥𝑖 et la probabilité d’obtenir un résultat ≤ 𝑥𝑖 .
𝐹 ∶ ℝ → ℝ ∶ 𝑥𝑖 → 𝐹(𝑥𝑖) = 𝑃(𝑋 ≤ 𝑥𝑖)
La probabilité d’obtenir un résultat ≤ 𝑥𝑖 est la somme des probabilités 𝑓(𝑥𝑖) pour toutes les valeurs de 𝑋 ≤ 𝑥𝑖. On a donc :
𝐹 ∶ ℝ → ℝ ∶ 𝑥𝑖 → 𝐹(𝑥𝑖) = ∑ 𝑃(𝑥𝑗)
𝑖
𝑗=𝑂
Le graphique a un maximum =1 car la somme des probabilités de tous les cas possibles vaut toujours 1. Pour notre exemple :
Le graphe nous indique par exemple qu’on a une probabilité de 0.83 d’obtenir 1,2,3,4 𝑜𝑢 5 à un lancer de dé, c’est-à-dire : 𝑃(𝑋 ≤ 5) = 0.83
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On appelle espérance mathématique de la variable aléatoire 𝑋 la valeur la plus probable prise par 𝑋. Elle est notée 𝐸(𝑋) et se calcule comme suit pour une variable aléatoire 𝑋 pouvant prendre 𝑛 valeurs 𝑥𝑖 différentes :
𝐸(𝑋) = 𝑥1. 𝑃(𝑥1) + 𝑥2. 𝑃(𝑥2) + ⋯ + 𝑥𝑛. 𝑃(𝑥𝑛) Ce qui peut aussi s’écrire :
𝐸(𝑋) = ∑ 𝑥𝑖. 𝑃(𝑥𝑖)
𝑛
𝑖=1 Pour notre exemple nous avons :
𝐸(𝑋) = ∑6𝑖=1𝑥𝑖. 𝑃(𝑥𝑖)= 𝑥1. 𝑃(𝑥1) + 𝑥2. 𝑃(𝑥2) + 𝑥3. 𝑃(𝑥3) + 𝑥4. 𝑃(𝑥4) + 𝑥5. 𝑃(𝑥5) + 𝑥6. 𝑃(𝑥6)
= 1. (1
6) + 2. (1
6) + 3. (1
6) + 4. (1
6) + 5. (1
6) + 6. (1
6) =21
6 = 3,5 Ce qui signifie que le nombre moyen obtenu en lançant un dé est 3,5.
On appelle variance de la variable aléatoire 𝑋 une grandeur qui mesure la dispersion des valeurs de 𝑋 autour de la valeur la plus probable prise par 𝑋, c’est-à-dire 𝐸(𝑥). Elle est notée 𝑉(𝑋) et se calcule comme suit pour une variable aléatoire 𝑋 pouvant prendre 𝑛 valeurs 𝑥𝑖 différentes :
𝑉(𝑋) = ∑ 𝑃(𝑥𝑖). (𝑥𝑖− 𝐸(𝑋))2
𝑛
𝑖=1
Pour notre exemple nous avons : 𝑉(𝑋) = ∑4𝑖=1𝑃(𝑥𝑖). (𝑥𝑖− 𝐸(𝑋))2
= 𝑃(𝑥1). (𝑥1− 𝐸(𝑋))2+ 𝑃(𝑥2). (𝑥2− 𝐸(𝑋))2+ 𝑃(𝑥3). (𝑥3− 𝐸(𝑋))2 +𝑃(𝑥4). (𝑥4− 𝐸(𝑋))2+ 𝑃(𝑥5). (𝑥5− 𝐸(𝑋))2+ 𝑃(𝑥6). (𝑥6− 𝐸(𝑋))2
= (1
6) . (1 − 3.5)2+ (1
6) . (2 − 3.5)2+ (1
6) . (3 − 3.5)2 + (1
6) . (4 − 3.5)2+ (1
6) . (5 − 3.5)2 + (1
6) . (6 − 3.5)2= 2.92
On appelle écart-type de la variable aléatoire 𝑋 la racine carrée de la variance. Elle est notée 𝜎(𝑋).
𝜎(𝑋) = √𝑉(𝑋)
Pour notre exemple nous avons : 𝜎(𝑋) = √𝑉(𝑋) = √2.92 = 1.707
On peut remarquer une correspondance entre les valeurs définies ci-dessus et des valeurs rencontrées en statistiques :
Probabilités Statistiques
Probabilité Fréquence relative
Espérance mathématique Moyenne
Variance
Indices de dispersion Ecart-type
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Exercice 1 (P2 : Appliquer) Au jeu de « pile ou face », on gagne 1€ si on obtient « pile » et on perd 2€ si on obtient face.
a. Définis une variable aléatoire 𝑋.
b. Donne sous forme de tableau sa loi de probabilité, et dessine sa distribution de probabilité.
c. Détermine son espérance mathématique
d. Détermine sa variance et son écart-type
e. A-t-on intérêt à jouer à ce jeu ?
Exercice 2 (P2 : Appliquer) Au jeu de dés, on gagne 4€ si on obtient 5 et on perd 2€ dans les autres cas.
a. Définis une variable aléatoire 𝑋.
b. Donne sous forme de tableau sa loi de probabilité, et dessine sa distribution de probabilité.
c. Détermine son espérance mathématique
d. Détermine sa variance et son écart-type
e. A-t-on intérêt à jouer à ce jeu ?
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Exercice 3 (P2 : Appliquer) Au jeu de roulette européenne, étudions les gains si on parie sur un numéro. Il y a 37 cases numérotées de 0 à 36. On peut miser sur les numéros de 1 à 36. Si le numéro sort, le casino multiplie la mise par 36. Si le zéro ou un numéro sur lequel on n’a pas parié sort, on perd sa mise.
Imaginons que l’on joue 1 €.
a. Définis une variable aléatoire 𝑋.
b. Donne sous forme de tableau sa loi de probabilité
c. Détermine son espérance mathématique
d. Détermine sa variance et son écart-type
e. A-t-on intérêt à jouer à ce jeu ?
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Exercice 4 (P2 : Appliquer) Au jeu à gratter « Subito » le la loterie nationale, voici la distribution des lots pour 3000000 de billets :
Nombre de
billets Lot
2 20000 €
30 1000 €
8000 10 €
60000 5 €
511008 2 €
420960 1 €
2000000 0 €
Imaginons que tu achètes 1 billet à 1 €.
a. Définis une variable aléatoire 𝑋.
b. Donne sous forme de tableau sa loi de probabilité
c. Détermine son espérance mathématique
d. A-t-on intérêt à jouer à ce jeu ?
e. Quel est le jeu le plus intéressant parmi ceux des exercices 1 à 4 ?
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4.2 Loi binomiale
4.2.1 Définitions
On appelle épreuve de Bernoulli une expérience qui ne possède que deux résultats possibles, l’un nommé succès 𝑺 et l’autre nommé échec 𝑬. Ces résultats correspondent à 2 événements contraires.
Exemple : lancer un dé et examiner le résultat, on gagne si on fait « 2 ».
Obtenir « 2 » est appelé succès, obtenir « 1 », « 3 », « 4 », « 5 », ou « 6 » est appelé échec.
On note 𝒑 la probabilité du succès et 𝒒 la probabilité de l’échec.
Ici, 𝑝 =1
6 et 𝑞 =5
On remarque que 𝑝 + 𝑞 = 1, en effet, les événements sont contraires (voir 6
chapitre précédent)
Si on répète plusieurs fois, dans les mêmes conditions, une épreuve de Bernoulli, on obtient un schéma de Bernoulli.
Exemple : répéter trois fois l’épreuve ci-dessus.
En prenant comme variable aléatoire 𝑋 le nombre de succès d’un schéma de Bernoulli, on obtient une variable aléatoire qui obéit à une loi binomiale.
On calcule la probabilité d’avoir 𝑥𝑖 succès sur 𝑛 épreuves comme suit* : 𝑃(𝑥𝑖) = 𝐶𝑛𝑥𝑖. 𝑝𝑥𝑖. 𝑞𝑛−𝑥𝑖
* On peut remarquer que les coefficients des combinaisons correspondant à une loi binomiale avec 𝑛 épreuves peuvent être retrouvés à la ligne d’indice 𝑛 du triangle de Pascal.
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Dans notre exemple, commençons par analyser ce qui se passe pour un seul lancer, puis pour deux lancers et enfin pour trois lancers.
pour 1 seul lancer : 𝛺 = {𝑆, 𝐸}
𝑃(𝑋 = 0) = 𝑃(𝐸) =5
6 = 0.83
83% de chances de ne pas obtenir « 2 » 𝑃(𝑋 = 1) = 𝑃(𝑆) =1
6= 0.17
17% de chances d’obtenir « 2 »
Distribution de probabilité Fonction de répartition
pour 2 lancers : 𝛺 = {(𝑆, 𝑆), (𝐸, 𝑆), (𝑆, 𝐸), (𝐸, 𝐸)}
𝑃(𝑋 = 0) = 𝐶20. (1
6)0. (5
6)2−0= 1.1. (5
6)2= 0.69 69% de chances de n’obtenir « 2 » à aucun des 2 lancers
𝑃(𝑋 = 1) = 𝐶21. (1
6)1. (5
6)2−1= 2!
1!.1!. (1
6) . (5
6) = 0.28 28% de chances d’obtenir « 2 » pour 1 seul lancer
𝑃(𝑋 = 2) = 𝐶22. (1
6)2. (5
6)2−2= 2!
2!.0!. (1
6)2. (5
6)0= 0.03 3% de chances d’obtenir « 2 » aux 2 lancers
Distribution de probabilité Fonction de répartition
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pour 3 lancers :
𝛺 = {(𝑆, 𝑆, 𝑆), (𝑆, 𝑆, 𝐸), (𝐸, 𝑆, 𝑆), (𝐸, 𝑆, 𝐸), (𝑆, 𝐸, 𝑆), (𝑆, 𝐸, 𝐸), (𝐸, 𝐸, 𝑆), (𝐸, 𝐸, 𝐸)}
𝑃(𝑋 = 0) = 𝐶30. (1
6)0. (5
6)3−0= 1.1. (5
6)3
= 0.579
58% de chances de n’obtenir « 2 » à aucun lancer 𝑃(𝑋 = 1) = 𝐶31. (1
6)1. (5
6)3−1= 3!
1!.2!. (1
6) . (5
6)2 = 0.347
35% de chances d’obtenir « 2 » pour 1 seul lancer 𝑃(𝑋 = 2) = 𝐶32. (1
6)2. (5
6)3−2= 3!
2!.1!. (1
6)2. (5
6)
= 0.070
7% de chances d’obtenir « 2 » pour deux des trois lancers
𝑃(𝑋 = 3) = 𝐶33. (1
6)3. (5
6)3−3= 3!
3!.0!. (1
6)3. (5
6)0
= 0.005
0,5% de chances d’obtenir « 2 » pour les trois lancers
Distribution de probabilité Fonction de répartition
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Si l’on continue l’exercice jusque 20 épreuves, on obtient la distribution de probabilité suivante : Distribution de probabilité Fonction de répartition
Le graphe nous informe que sur 20 lancers, le cas le plus probable est que nous obtenions
« 2 » à 3 lancers (le plus grand bâtonnet est en 𝑋 = 3, la probabilité est donc la plus grande pour 𝑋 = 3). On a une chance sur 500 d’obtenir 9 fois « 2 ». C’est de plus en plus improbable ensuite, les chances sont inférieures à une sur 10000 pour plus de 11 fois « 2 » sur 20 lancers.
La distribution de probabilité s’affine encore pour 100 épreuves : Distribution de probabilité Fonction de répartition
Le graphe nous informe que sur 100 lancers, le cas le plus probable est que nous obtenions
« 2 » à 15 lancers. On a moins d’une chance sur 10000 d’obtenir « 2 » à moins de 4 lancers, ou à plus de 32 lancers.
Exercice 5 (P2 : Appliquer) Je joue à pile ou face 20 fois de suite, quelle est la probabilité que j’obtienne pile 4 fois ?
Exercice 6 (P2 : Appliquer) Une boîte contient une boule blanche et quatre boules noires. Je tire 15 fois une boule et je la remets dans la boîte. Quelle est la probabilité que je ne tire qu’une fois la boule blanche ?
F(X)
F(X)
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4.2.2 Propriétés
Les réels 𝑛 (nombre d’épreuves) et 𝑝 (probabilité du succès) sont les paramètres de la loi binomiale.
L’espérance mathématique d’une loi binomiale de paramètres 𝑛 et 𝑝 se calcule comme suit : 𝐸(𝑥) = 𝑛. 𝑝
La variance d’une loi binomiale de paramètres 𝑛 et 𝑝 se calcule comme suit : 𝑉(𝑥) = 𝑛. 𝑝. 𝑞
Dans notre exemple avec 3 lancers de dés, on obtient un succès à chaque fois qu’on a « 2 ».
𝐸(𝑥) = 3. (1
6) = 0.5, ce qui signifie qu’on a en moyenne un demi-succès sur 3 lancers.
𝑉(𝑥) = 3. (1
6) . (5
6) = 0.42 et l’écart-type vaut 𝜎(𝑋) = √𝑉(𝑋) = √0,42 = 0.65 Avec 100 lancers de dés, 𝐸(𝑥) = 100. (1
6) = 16.67, ce qui signifie qu’on a en moyenne 16.67 fois « 2 » sur 100 lancers. 𝑉(𝑥) = 100. (1
6) . (5
6) = 13.89 et 𝜎(𝑋) = √𝑉(𝑋) = √13.89 = 3.73
Exercice 7 (P2 : Appliquer) Tu as un contrôle de physique des particules mais tu n’as vraiment rien étudié. Ton professeur te soumet un questionnaire à choix multiples. Il y a cinq réponses proposées à chaque question et une seule est correcte. Tu réponds au hasard à chaque question.
a. Quelle chance as-tu d’avoir 20/20 ?
b. Quel est le résultat le plus probable ?
Exercice 8 (P2 : Appliquer) On lance six fois de suite une pièce de monnaie, on gagne quand on obtient « pile ».
a. Quelle est la probabilité de gagner cinq fois ?
b. Quel est le nombre de « piles » le plus probable ?
c. Quelle est la variance et l’écart-type ?
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4.3 Loi normale
4.3.1 De la loi binomiale à la loi normale
De nombreuses séries statistiques ont un comportement semblable : on observe une grande proportion des résultats groupés autour de la moyenne et il y en a de moins en moins au fur et à mesure qu’on on s’en éloigne.
Comme nous l’avons vu pour notre exemple dans le point 4.2.1, au plus on fait d’expérimentations, au plus la distribution de probabilité s’approche d’une courbe en cloche.
Cette courbe est appelée courbe de Gauss et a pour équation :
𝑓(𝑥) = 1
𝜎√2𝜋𝑒−12(𝑥−𝜇𝜎 )
2 avec 𝜇 = moyenne et 𝜎 = écart-type
Une loi de probabilité ayant une distribution de probabilité qui suit une courbe de Gauss est appelée loi normale.
Comme indiqué au point 4.1, l’espérance mathématique 𝐸(𝑋) correspond à la moyenne. On a calculé pour notre exemple avec 100 lancers de dés, au point 4.2.2, l’écart-type σ(𝑋) et la moyenne, c’est-à-dire 𝐸(𝑋). On avait : 𝜇 = 𝐸(𝑥) = 16.67 et 𝜎 =𝜎(𝑋)=3.73.
Notre problème peut donc être représenté par la courbe de Gauss suivante : 𝑓(𝑥) = 1
3.73√2𝜋𝑒−12(𝑥−16.673.73 )
2
On peut voir que la courbe de Gauss (en pointillés ci-dessous) approche précisément la distribution de probabilité de la loi binomiale présentée pour 100 lancers au point 4.2.1.
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4.3.2 Loi normale
La loi normale est l'une des lois de probabilité les plus adaptées pour modéliser des phénomènes naturels issus de plusieurs événements aléatoires, comme la répartition de la taille ou le poids au sein d’une population.
Cette loi est une loi à variable aléatoire continue, la variable peut prendre n’importe quelle valeur. Pour la loi binomiale, la variable ne pouvait prendre que des valeurs discrètes (dans notre exemple des nombres naturels : 1 lancer de dés, puis, 2, 3, 20 et enfin 100).
Il existe de nombreux exemples de variables aléatoires continues : la taille ou le poids d’une personne, le temps d’un coureur au 100m, la température… Pour pouvoir décrire ces variables, il faut l’équivalent d’une distribution de probabilité, mais qui soit continue, On appelle cette courbe la fonction densité de probabilité 𝝋(𝑿), qui est une courbe de Gauss pour la loi normale. A cette fonction correspond la fonction de répartition, notée 𝜱(𝑿) dans le cas des lois de probabilité à variable continue.
Pour une variable aléatoire continue, 𝑃(𝑋 = 𝑎) = 0, c’est-à-dire qu’il est hautement improbable que 𝑋 prenne exactement la valeur 𝑎. On peut seulement calculer la probabilité que 𝑋 soit compris dans un intervalle, par exemple : 𝑃(𝑋 > 𝑎) ou 𝑃(𝑋 ∈ [𝑎, 𝑏]).
Exemple : on choisit au hasard un nombre réel entre 1 et 10. Quelle peut être la probabilité de choisir 𝜋 ? ou un nombre plus grand que 8 ?
Instinctivement, on peut dire que la première probabilité tend vers 0, tandis que la seconde doit être de 20%. On se rend compte que, dans le cas de la probabilité d’une variable continue, il faut définir un intervalle. En effet, dans le second cas, on a calculé la probabilité que le nombre tiré soit compris entre 8 et 10, c’est-à-dire dans l’intervalle [8,10].
Prenons la densité de probabilité normale suivante :
A cette loi normale est associée la fonction de répartition suivante :
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Pour calculer les probabilités, on utilise la fonction de répartition. Par définition, elle donne la probabilité qu’une variable aléatoire 𝑋 soit inférieure ou égale à une valeur donnée.
𝐹(𝑎) = 𝑃(𝑋 ≤ 𝑎)
On calcule les probabilités suivantes à l’aide de la fonction de répartition :
Par définition de la fonction de répartition :
𝑷(𝑿 ≤ 𝒂) = 𝑭(𝒂)
Les événements X > a et X ≤ a sont des événements contraires , on a donc 𝑃(𝑋 > 𝑎) + 𝑃(𝑋 ≤ 𝑎) = 1, ou encore : 𝑃(𝑋 > 𝑎) + 𝐹(𝑎) = 1, c’est-à-dire :
𝑷(𝑿 > 𝒂) = 𝟏 − 𝑭(𝒂)
𝑷(𝒂 ≤ 𝑿 < 𝒃) = 𝑭(𝒃) − 𝑭(𝒂)
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Exercice 9 (P2 : Appliquer) Voici la densité de probabilité et la fonction de répartition de la taille en centimètres de la population masculine en Belgique. Elles suivent une loi normale. La taille moyenne 𝜇 = 181.7𝑐𝑚 et l’écart-type 𝜎 = 7𝑐𝑚.
a. Donne la probabilité qu’un homme mesure moins d’un mètre quatre-vingts.
b. Donne la probabilité qu’il mesure plus d’un mètre nonante.
c. Quelle chance a-t-il de mesurer entre un mètre septante et un mètre septante- cinq ?
d. Quelle taille est dépassée par seulement 4% de la population ?
e. Quelle est la taille maximale des 4% de la population les plus petits ?
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Exercice 10 (P2 : Appliquer) Voici la densité de probabilité et la fonction de répartition de la taille en centimètres de la population féminine en Belgique. Elles suivent une loi normale. La taille moyenne 𝜇 = 165.5𝑐𝑚 et l’écart-type 𝜎 = 7𝑐𝑚. L’écart-type est le même que pour l’exercice précédent, ce qui implique que les densités de probabilité sont identiques à une translation le long de l’axe 𝑋 près, chacune des courbes étant centrée sur sa moyenne.
a. Donne la probabilité qu’une femme mesure moins d’un mètre cinquante.
b. Donne la probabilité qu’elle mesure plus d’un mètre quatre-vingts.
c. Quelle chance a-t-elle de mesurer entre un mètre septante et un mètre septante- cinq ?
d. Quelle taille est dépassée par seulement 4% de la population ?
e. Quelle est la taille maximale des 4% de la population les plus petits ?
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Exercice 11 (P3 : Transférer)
Un ingénieur doit choisir une machine pour produire des vis de 8mm de diamètre dans l’usine pour laquelle il travaille. Il hésite entre deux machines : la « Brol 2000 » et la « Deluxe 3000 ». La
« Brol 2000 » est moins chère mais est moins précise. Les vis ne peuvent être utilisées que si leur diamètre est compris entre 7.9 mm et 8.1 mm. Toutes les autres vis doivent être écartées et elles représentent chacune une perte de 0,1 € pour l’usine. La « Deluxe 3000 » coûte 100000 € de plus que la « Brol 2000 ». Les deux machines produisent 10000 vis par jour. Après combien de temps le surcoût pour acheter la « Deluxe 3000 » est amorti ?
Pour permettre le choix, le fabricant des machines fournit à l’ingénieur les densités de probabilité et les fonctions de répartition suivantes issues de la mesure de 1000 vis produites par les 2 machines. Les deux lois normales ont la même moyenne 𝜇 = 8𝑚𝑚 mais un écart-type différent : la « Brol 2000 » a un écart-type 𝜎 = 0.2𝑚𝑚 et la « Deluxe 3000 » a un écart-type 𝜎 = 0.1𝑚𝑚. Cela traduit la précision de la machine : un écart-type plus petit implique que les boulons produits s’écarteront moins de la taille moyenne.
