Les variables aléatoires de lois discrètes

(1)

Dé…nitions Distribution Égalités forte et faible Loi conjointe Loi conditionnelle Indépendance Moments Lois discrètes

Les variables aléatoires de lois discrètes

3-602-84

Modèles probabilistes et stochastiques de la gestion

Geneviève Gauthier

HEC Montréal

Novembre 2007

(2)

Dé…nitions

Distribution Égalités forte et faible Loi conjointe Loi conditionnelle Indépendance Moments Lois discrètes

Dé…nitions

Variables aléatoires discrètes

De…nition

Une variable aléatoire X est dite discrète si elle peut prendre au plus qu’un nombre dénombrable de valeurs, disons x

1

, x

2

, ..., x

_n

, ... 2 ^R . De façon équivalente, nous pouvons a¢ rmer qu’une variable est discrète si

f^x2Rj^Pf

∑

^X=xg>0g

P f ^X = x g = 1.

De…nition

Le support d’une variable aléatoire discrète est l’ensemble des

valeurs possibles de X :

(3)

Dé…nitions Distribution

Changement de mesure Égalités forte et faible Loi conjointe Loi conditionnelle Indépendance Moments Lois discrètes

Fonction de masse

De…nition

La distribution d’une variable aléatoire discrète X est commodément décrite par sa fonction de masse :

f

_X

: R ! [ 0, 1 ]

x ! probabilité que la v.a. X soit égale à x, c’est-à-dire que

8 ^x 2 ^R ^, ^f

^X

( x ) = P f ^X = x g ^.

Remarque . La distribution d’une variable aléatoire dépend

de la mesure de probabilité qui prévaut sur l’ensemble

fondamental, comme l’indique l’expression ci-dessus. Nous

illustrerons ce commentaire à l’aide d’un exemple.

(4)

Exemple I

Distribution d’une variable aléatoire discrète

ω W(ω) Q(ω)

1 5 ₁₂⁴

2 5 ₁₂¹

3 5 ₁₂¹

ω W(ω) Q(ω)

4 5 ₁₂¹

5 0 ₁₂¹

6 10 ₁₂⁴

Déterminons les fonctions de masse de la variable aléatoire W .

fW (x) = Qf^ω2Ωj^W(ω) =xg

= 8>

>>

><

>>

:

Qn 5 o

=₁₂¹ six=0

Qn

1, 2, 3, 4o

=₁₂⁴ +₁₂¹ +₁₂¹ +₁₂¹ =₁₂⁷ six=5 Qn

6 o

=₁₂⁴ six=10

0 sinon

.

(5)

Exemple II

Distribution d’une variable aléatoire discrète

w fW(w)

(6)

Exemple III

Distribution d’une variable aléatoire discrète

Rappel :

ω W ( ω ) Q ( ω )

1 5

₁₂⁴

2 5

₁₂¹

3 5

₁₂¹

ω W ( ω ) Q ( ω )

4 5

₁₂¹

5 0

₁₂¹

6 10

₁₂⁴

(7)

Exemple IV

Distribution d’une variable aléatoire discrète

Calculons la fonction de répartition de la variable aléatoire W . si x < 0 alors

F

W

( x ) = Q f ^ω 2 Ω j ^W ( ω ) x g = Q (?) = 0;

si 0 x < 5 alors

F

_W

( x ) = Q f ^ω 2 ^Ω j ^W ( ω ) x g = Q n 5 o

= ¹ 12 ; si 5 x < 10 alors

F

_W

( x ) = Q f ^ω 2 ^Ω j ^W ( ω ) x g = Q n

1 , 2 , 3 , 4 , 5 o

= ⁸ 12 ; si x 10 alors

F

W

( x ) = Q f ^ω 2 ^Ω j ^W ( ω ) x g = Q ( Ω ) = 1.

(8)

Exemple V

Distribution d’une variable aléatoire discrète

w

F^W(w)

Remarque . La fonction de répartition d’une variable

aléatoire discrète est une fonction en escalier.

(9)

Exemple I

Impact d’un changement de mesure sur la distribution

ω X ( ω ) Y ( ω ) Z ( ω ) W ( ω ) P ( ω ) Q ( ω )

1 0 0 0 5

¹₆ ₁₂⁴

2 0 5 0 5

¹₆ ₁₂¹

3 5 5 0 5

¹₆ ₁₂¹

4 5 5 5 5

¹₆ ₁₂¹

5 10 5 10 0

¹₆ ₁₂¹

6 10 10 10 10

¹₆ ₁₂⁴

(10)

Exemple II

Impact d’un changement de mesure sur la distribution

Distributions des variables aléatoires X , Y , Z et W sous la mesure de probabilité P :

x P f ^X = x g ^P f ^Y = x g ^P f ^Z = x g ^P f ^W = x g

0

¹₃ ¹₆ ¹₂ ¹₆

5

¹₃ ²₃ ¹₆ ²₃

10

¹₃ ¹₆ ¹₃ ¹₆

La distribution de la variable aléatoire X est dite uniforme puisque P f ^X = 0 g = P f ^X = 5 g = P f ^X = 10 g =

¹₃

. Les variables aléatoires Y et W ont la même distribution bien qu’elles ne soient pas égales. En e¤et,

Y 1 = 0 6 = 5 = W 1 .

(11)

Exemple III

Impact d’un changement de mesure sur la distribution

Distributions des variables aléatoires X , Y , Z et W sous la mesure de probabilité Q

x Q f ^X = x g ^Q f ^Y = x g ^Q f ^Z = x g ^Q f ^W = x g

0

₁₂⁵ ¹₃ ¹₂ ₁₂¹

5

₁₂² ¹₃ ₁₂¹ ₁₂⁷

10

₁₂⁵ ¹₃ ₁₂⁵ ¹₃

Notons que les distributions des variables aléatoires ont

changé. De plus, sous la mesure de probabilité Q, les

variables aléatoires Y et W n’ont plus la même

distribution.

(12)

Dé…nitions Distribution Égalités forte et faible

Loi conjointe Loi conditionnelle Indépendance Moments Lois discrètes

Égalités forte et faible I

Variables aléatoires discrètes

De…nition

Deux variables aléatoires X et Y sont dites égales (égalité forte) si et seulement si 8 ^ω 2 ^Ω ^, ^X ( ω ) = Y ( ω ) . Elles sont dites égales en distribution (ou en loi ou égalité faible) lorsqu’elles ont la même distribution.

Le concept d’égalité entre deux variables aléatoires est plus fort que celui d’égalité en distribution.

En e¤et, si deux variables aléatoires sont égales, alors elles sont égales en distribution.

Par contre, il est possible que deux variables aléatoires

soient égales en distribution mais qu’elles ne soient pas

(13)

Dé…nitions Distribution Égalités forte et faible

Loi conjointe Loi conditionnelle Indépendance Moments Lois discrètes

Égalités forte et faible II

Variables aléatoires discrètes

De plus, deux variables aléatoires peuvent être égales en distribution selon une certaine mesure de probabilité et ne pas l’être selon une autre mesure de probabilité.

Dans l’exemple précédent, lorsque c’est la mesure P qui

prévaut sur Ω , Y et W sont égales en distribution mais

elles ne sont pas égales.

(14)

Fonction de masse conjointe

De…nition

La fonction de masse conjointe de deux variables aléatoires discrètes X et Y est dé…nie par

f

_X_,Y

: R R ! [ 0, 1 ]

( x, y ) ! ^P f ^X = x et Y = y g ^.

(15)

Exemple I

Distribution conjointe

ω X ( ω ) Y ( ω ) P ( ω )

1 0 0

¹₆

2 0 5

¹₆

3 5 5

¹₆

4 5 5

¹₆

5 10 5

¹₆

6 10 10

¹₆

(16)

Exemple II

Distribution conjointe

La fonction de masse conjointe de X et Y est

f

_X_,Y

( x, y ) = 8 >

> >

> <

> >

:

1 6

si x = 0 et y 2 f ^0, ⁵ g ou si x = 10 et y 2 f ^5, ¹⁰ g

1

3

si x = 5 et y = 5

0 sinon.

(17)

Exemple III

Distribution conjointe

x

y

fX,Y(x,y)

(18)

Fonction de répartition conjointe

De…nition

La fonction de répartion conjointe de deux variables aléatoires discrètes X et Y est dé…nie par

f

_X_,Y

: R R ! [ 0, 1 ]

( x, y ) ! ^P f ^X ^x ^et ^Y ^y g ^.

(19)

Exemple I

Fonction de répartition

ω X ( ω ) Y ( ω ) P ( ω )

1 0 0

¹₆

2 0 5

¹₆

3 5 5

¹₆

4 5 5

¹₆

5 10 5

¹₆

6 10 10

¹₆

(20)

Exemple II

Fonction de répartition

La fonction de répartition conjointe de X et Y est

F

X,Y

( x, y ) = 8 >

> >

<

> >

> :

0 si x < 0 ou y < 0

1

6

si 0 x < 5 et 0 y < 5

2

6

si 0 x < 5 et y 5

1

6

si 5 x < 10 et 0 y < 5

4

6

si 5 x < 10 et y 5

1

6

si x 10 et 0 y < 5

5

6

si x 10 et 5 y < 10

1 sinon

(21)

Exemple III

Fonction de répartition

0 0,2 0,4 0,6 0,8 1

Fonction de répartition conjointe de X et de Y

(22)

Fonctions de masse marginales

Variables aléatoires discrètes

De…nition

Nous pouvons retrouver la fonction de masse (marginale) de chacune des deux variables aléatoires à partir de la fonction de masse conjointe. En e¤et,

f

_X

( x ) = ∑

y2SY

f

_X_,Y

( x, y ) et f

_Y

( y ) = ∑

x2SX

f

_X_,Y

( x, y ) .

(23)

I

Fonctions de masse marginales

ω X ( ω ) Y ( ω ) P ( ω )

1 0 0

¹₆

2 0 5

¹₆

3 5 5

¹₆

4 5 5

¹₆

5 10 5

¹₆

6 10 10

¹₆

(24)

II

Fonctions de masse marginales

fX(0) =

∑

y2SY

fX,Y(0,y) =fX,Y(0,0) +fX,Y(0,5) +fX,Y(0,10)

= ¹ 6+¹

6+0=² 6, fX(5) =

∑

y2SY

fX,Y(5,y) =fX,Y(5,0) +fX,Y(5,5) +fX,Y(5,10)

= 0+² 6+0=²

6, fX(10) =

∑

y2SY

fX,Y(10,y) =fX,Y(10,0) +fX,Y(10,5) +fX,Y(10,10)

= 0+¹ 6+¹

6 =² 6 et pourx 2/ f^0,5,10g^,

fX(x) =

∑

y2SY

fX,Y(x,y) =fX,Y(x,0) +fX,Y(x,5) +fX,Y(x,10) =0.

(25)

III

Fonctions de masse marginales

fY(0) =

∑

x2SX

fX,Y(x,0) =fX,Y(0,0) +fX,Y(5,0) +fX,Y(10,0)

= ¹

6+0+0=¹ 6, f_Y(5) =

∑

x2SX

f_X_,Y(x,5) =f_X,Y(0,5) +f_X,Y(5,5) +f_X_,Y(10,5)

= ¹ 6+²

6+¹ 6=⁴

6, fY(10) =

∑

x2SX

fX,Y(x,10) =fX,Y(0,10) +fX,Y(5,10) +fX,Y(10,10)

= 0+0+¹ 6=¹

6 et pourx 2/ f^0,5,10g^,

f_Y(y) =

∑

x2SX

f_X_,Y(x,y) =f_X,Y(0,y) +f_X_,Y(5,y) +f_X,Y(10,y) =0

(26)

Fonction de masse conjointe

Vecteurs aléatoires discrets

De…nition

Plus généralement, il est possible de dé…nir la fonction de masse conjointe de n variables aléatoires X

₁

, ..., X

_n

. f

_X₁_,...,_X_n

: R

ⁿ

! [ 0, 1 ]

( x

1

, ..., x

n

) ! ^P f ^X

¹

= x

1

et X

2

= x

2

et ... et X

n

= x

n

g ^.

(27)

Dé…nitions Distribution Égalités forte et faible Loi conjointe Loi conditionnelle

Indépendance Moments Lois discrètes

Fonction de masse conditionnelle I

De…nition

Soit X et Y , deux variables aléatoires discrètes. La fonction de masse conditionnelle de X étant donné Y est

f

_X_j_Y

: R S

Y

! [ 0, 1 ]

( x, y ) ! ^P [ f ^X = x g jf ^Y = y g ] .

(28)

Fonction de masse conditionnelle II

Ainsi, pour tout y 2 S

^Y

^, f

_X_j_Y

( x, y )

= P [ f ^X = x g jf ^Y = y g ]

= ^P [ f ^X = x g \ f ^Y = y g ] P [ f ^Y = y g ]

par la dé…nition de la probabilité conditionnelle.

= ^P [ f ^X = x et Y = y g ] P [ f ^Y = y g ]

= ^f

^X^,Y

( x , y )

f

_Y

( y )

(29)

Fonction de masse conditionnelle III

f

_X_j_Y

( x, y ) = ^f

^X^,Y

( x, y ) f

_Y

( y )

Nous voyons maintenant pourquoi nous restreignons la variable Y à son support alors que la variable X n’est pas contrainte de cette même façon : nous ne pouvons nous permettre de diviser par zéro!

De façon symétrique, nous dé…nissons la fonction de masse conditionnelle de Y étant donné X :

8 ^x 2 S

^X

^et 8 ^y 2 ^R ^, ^f

Yj^X

( y, x ) = ^f

^X^,Y

( x, y )

f

_X

( x ) ^.

(30)

Fonction de masse conditionnelle IV

De…nition

Plus généralement, il est possible de dé…nir la fonction de masse conditionnelle de n variables aléatoires X

1

, ..., X

n

étant donné m variables aléatoires Y

1

, ..., Y

m

:

fX₁,...,X_nj^Y1,...,Y_m :R ⁿ SY₁ ... SYm ! [0,1]

(x1, ...,xn,y1, ...,ym) ! ^f^X¹^,...,^Xⁿ^,Y¹^,...,Y^m(x1, ...,xn,y1, ...,ym)

fY₁,...,Ym(y1, ...,ym) ^.

(31)

Exemple I

Fonction de masse conditionnelle

Supposons que l’ensemble fondamental est

Ω = f ^ω

¹

^, ^ω

²

^, ^ω

³

^, ^ω

⁴

g ^{et que} T = f ^0, ^1, ^2, ³ g . Le processus stochastique X = f ^X

^t

^: ^t 2 f ^0, ^1, ^2, ³ gg représente l’évolution du prix d’une action, X

t

= le prix de l’action à la fermeture de la Bourse au t ième jour, l’instant t = 0 représentant

aujourd’hui.

ω X

₀

( ω ) X

₁

( ω ) X

₂

( ω ) X

₃

( ω ) P ( ω )

ω

1

¹₂

1

¹₂ ²₈

ω

2

1

¹₂

1

¹₂ ¹₈

ω

3

1 2 1 1

³₈

ω

4

1 2 2 2

²₈

(32)

Exemple II

Fonction de masse conditionnelle

La fonction de masse de X

2

est

f

_X₂

( x ) = 8 >

<

> :

6

8

si x = 1

2

8

si x = 2 0 sinon.

,

La fonction de masse conjointe de X

₂

et X

₃

est

f

_X₂_,X₃

( x, y ) = 8 >

> >

<

> >

> :

3

8

si x = 1 et y =

¹₂

3

8

si x = 1 et y = 1

2

8

si x = 2 et y = 2

0 sinon.

(33)

Exemple III

Fonction de masse conditionnelle

La fonction de masse conditionnelle de X

3

étant donné X

2

est

f

_X₃_j_X₂

( x, y ) = 8 >

> >

<

> >

> :

3 8

6 8

1

=

¹₂

si x =

¹₂

et y = 1

3 8

6 8

1

=

¹₂

si x = 1 et y = 1

2 8

1

= 1 si x = 2 et y = 2

0 sinon.

(34)

Exemple IV

Fonction de masse conditionnelle

X2 =1

0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1

0 1 2 3

X2 =2

0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1

(35)

Dé…nitions Distribution Égalités forte et faible Loi conjointe Loi conditionnelle Indépendance

Moments Lois discrètes

Indépendance

De…nition

Les variables aléatoires X et Y sont dites indépendantes si 8 ^x, ^y 2 R , f

_X_,Y

( x, y ) = f

_X

( x ) f

_Y

( y ) ,

c’est-à-dire si 8 ^x, ^y 2 R , les événements f ^X = x g ^et f ^Y = y g sont indépendants.

Intuitivement, X et Y sont indépendantes lorsque le fait

de détenir de l’information concernant l’une d’entre elles

ne nous en fournit pas à propos de l’autre.

(36)

Exemple I

Indépendance

ω X Y P ( ω ) P ( ω )

1 1 1

¹₆

0 2 1 0

¹₆ ¹₅

3 1 0

¹₆ ¹₅

4 0 1

¹₆ ¹₅

5 0 0

¹₆ ¹₅

6 0 0

¹₆ ¹₅

(37)

Exemple II

Indépendance

Les variables aléatoires X et Y sont indépendantes si c’est la mesure de probabilité P qui prévaut sur Ω car

P ( X = 1 ) P ( Y = 1 ) = ¹ 2 1 3 = ¹

6 = P n 1 o

= P ( X = 1 et Y = 1 ) , P ( X = 0 ) P ( Y = 1 ) = ¹

2 1 3 = ¹

6 = P n 4 o

= P ( X = 0 et Y = 1 ) , P ( X = 1 ) P ( Y = 0 ) = ¹

2 2 3 = ¹

3 = P n 2 , 3 o

= P ( X = 1 et Y = 0 ) , P ( X = 0 ) P ( Y = 0 ) = ¹

2 2 3 = ¹

3 = P n 5 , 6 o

= P ( X = 0 et Y = 0 ) .

Intuitivement, la réponse à la question ”un dé a été lancé; quelle est la probabilité que la variable aléatoire X prenne la valeur 1?” est la même que la réponse à la question ”un dé a été lancé et la variable aléatoire Y prend la valeur 1; quelle est la probabilité que la variable aléatoire X prenne aussi la valeur 1?”. Cette réponse est une demie.

Nous pouvons refaire le même type de raisonnement pour n’importe

37

(38)

Exemple III

Indépendance

ω X Y P(ω) P (ω)

1 1 1 ¹₆ 0

2 1 0 ¹₆ ¹₅

3 1 0 ¹₆ ¹₅

4 0 1 ¹₆ ¹₅

5 0 0 ¹₆ ¹₅

6 0 0 ¹₆ ¹₅

Par contre, les mêmes variables aléatoires X et Y sont dépendantes si c’est P qui gouverne Ω puisque

P ( X = 1 ) P ( Y = 1 ) = ² ¹ = ²

(39)

Exemple IV

Indépendance

Intuitivement, la réponse à la question ”un dé a été lancé;

quelle est la probabilité que la variable aléatoire X prenne

la valeur 1?” n’est pas la même que la réponse à la

question ”un dé a été lancé et la variable aléatoire Y

prend la valeur 1; quelle est la probabilité que la variable

aléatoire X prenne aussi la valeur 1?”. Dans le premier

cas, la réponse est

₂₅²

tandis que dans le second, la

réponse est 0.

(40)

Exemple V

Indépendance

Bien que les variables aléatoires n’aient nul besoin d’une

mesure de probabilité pour exister, il est nécessaire de

connaître la mesure de probabilité qui prévaut sur l’espace

probabilisable pour parler d’indépendance, comme l’illustre

l’exemple précédent.

(41)

Exemple I

Indépendance

ω X Y Z P(ω) ω1 1 1 0 ¹₈ ω2 1 0 0 ¹₈ ω3 1 0 1 ¹₈ ω4 1 0 1 ¹₈

ω X Y Z P(ω) ω5 0 1 1 ¹₈ ω6 0 0 0 ¹₈ ω7 0 0 0 ¹₈ ω8 0 0 1 ¹₈

Ces variables aléatoires sont deux à deux indépendantes puisque

(42)

Exemple II

Indépendance

P f ^X = 0 g ^P f ^Y = 0 g = 0, 375

= P f ^ω

6

, ω

7

, ω

8

g = P ( f ^X = 0 g \ f ^Y = 0 g ) ,

P f ^X = 1 g ^P f ^Y = 0 g = 0, 375

= P f ^ω

2

, ω

₃

, ω

₄

g = P ( f ^X = 1 g \ f ^Y = 0 g ) ,

P f ^X = 0 g ^P f ^Y = 1 g = 0, 125

= P f ^ω

⁵

g = P ( f ^X = 0 g \ f ^Y = 1 g ) ,

P f ^X = 1 g ^P f ^Y = 1 g = 0, 125

= P f ^ω

¹

g = P ( f ^X = 1 g \ f ^Y = 1 g ) .

(43)

Exemple III

Indépendance

P f ^X = 0 g ^P f ^Z = 0 g = 0, 25

= P f ^ω

6

, ω

7

g = P ( f ^X = 0 g \ f ^Z = 0 g ) ,

P f ^X = 1 g ^P f ^Z = 0 g = 0, 25

= P f ^ω

1

, ω

₂

g = P ( f ^X = 1 g \ f ^Z = 0 g ) ,

P f ^X = 0 g ^P f ^Z = 1 g = 0, 25

= P f ^ω

⁵

^, ^ω

⁸

g = P ( f ^X = 0 g \ f ^Z = 1 g ) ,

P f ^X = 1 g ^P f ^Z = 1 g = 0, 25

= P f ^ω

³

^, ^ω

⁴

g = P ( f ^X = 1 g \ f ^Z = 1 g ) .

(44)

Exemple IV

Indépendance

P f ^Z = 0 g ^P f ^Y = 0 g = 0, 375

= P f ^ω

²

^, ^ω

⁶

^, ^ω

⁷

g = P ( f ^Z = 0 g \ f ^Y = 0 g ) ,

P f ^Z = 1 g ^P f ^Y = 0 g = 0, 375

= P f ^ω

³

^, ^ω

⁴

^, ^ω

⁸

g = P ( f ^Z = 1 g \ f ^Y = 0 g ) ,

P f ^Z = 0 g ^P f ^Y = 1 g = 0, 125

= P f ^ω

1

g = P ( f ^Z = 0 g \ f ^Y = 1 g ) ,

P f ^Z = 1 g ^P f ^Y = 1 g = 0, 125

= P f ^ω

5

g = P ( f ^Z = 1 g \ f ^Y = 1 g ) .

(45)

Exemple V

Indépendance

Mais ces variables ne sont pas mutuellement indépendantes puisque

P f ^X = 1 g ^P f ^Y = 1 g ^P f ^Z = 1 g

= 0, 0625 6 = 0

= P f?g

= P ( f ^X = 1 g \ f ^Y = 1 g \ f ^Z = 1 g ) .

(46)

Dé…nitions Distribution Égalités forte et faible Loi conjointe Loi conditionnelle Indépendance Moments

Espérance Variance Covariance Lois discrètes

Espérance

De…nition

L’ espérance d’une variable aléatoire discrète X , notée E [ X ] , est

E [ X ] = ∑

x2S^X

x f

_X

( x ) .

(47)

Exemple I

Espérance

Reprenons la variable aléatoire W ainsi que les deux mesures de probabilité P et Q :

ω W ( ω ) P ( ω ) Q ( ω )

1 5

¹₆ ₁₂⁴

2 5

¹₆ ₁₂¹

3 5

¹₆ ₁₂¹

4 5

¹₆ ₁₂¹

5 0

¹₆ ₁₂¹

6 10

¹₆ ₁₂⁴

(48)

Exemple II

Espérance

x P f ^W = x g ^Q f ^W = x g

0

¹₆ ₁₂¹

5

⁴₆ ₁₂⁷

10

¹₆ ₁₂⁴

(49)

Exemple III

Espérance

E

^P

[ W ] =

∑

n i=1

x

_i

f

_X

( x

_i

)

= 0 1

6 + 5 4

6 + 10 1 6 = ³⁰

6 = 5;

E

^Q

[ W ] =

∑

n i=1

x

_i

f

_X

( x

_i

)

= 0 1

12 + 5 7

12 + 10 4 12 = ⁷⁵

12 = 6, 25.

(50)

Exemple IV

Espérance

L’espérance d’une variable aléatoire est un nombre réel.

Ce n’est pas une quantité aléatoire.

Dans l’exemple précédent, nous pouvons noter que

l’espérance d’une variable aléatoire dépend de la mesure

de probabilité utilisée.

(51)

Moments

De…nition

Plus généralement, si g : R ! ^R est une fonction à valeurs réelles alors l’ espérance de g ( X ) où X est une variable aléatoire discrète est

E [ g ( X )] = ∑

x2S^X

g ( x ) f

X

( x ) .

(52)

Propriétés

Espérance

Soit X et Y , deux variables aléatoires discrètes. Si a et b représentent des nombres réels alors

(E1) E [ aX + bY ] = aE [ X ] + bE [ Y ] .

(E2) Si 8 ^ω 2 ^Ω ^, ^X ( ω ) Y ( ω ) alors E [ X ] E [ Y ] . (E3) De façon générale, E [ XY ] 6 = E [ X ] E [ Y ] .

(E4) Si X et Y sont indépendantes alors E [ XY ] = E [ X ] E [ Y ] .

(53)

Preuve de (E3)

Espérance

Voici un contre-exemple :

ω X ( ω ) Y ( ω ) P ( ω ) X ( ω ) Y ( ω )

ω

1

0 1

¹₄

0 ω

2

0 1

¹₄

0 ω

3

1 0

¹₄

0 ω

4

1 0

¹₄

0 Nous trouvons E [ X ] E [ Y ] =

¹₂ ¹₂

=

¹₄

6 = 0 = E [ XY ] .

(54)

Preuve de (E4)

Espérance

E [ XY ] = ∑

x2SX

y

∑

2SY

xy f

_X_,Y

( x, y )

= ∑

x2S^X

∑

y2S^Y

xy f

X

( x ) f

Y

( y ) car X et Y sont indépendantes.

= ∑

x2SX

x f

_X

( x )

!

y

∑

2SY

y f

_Y

( y )

!

= E [ X ] E [ Y ]

Exercice. Démontrez les propriétés (E1) et (E2).

(55)

Variance

De…nition

La variance d’une variable aléatoire discrète X , notée Var [ X ] , est dé…nie comme suit :

Var [ X ] = E h

( X E [ X ])

²

ⁱ

= ∑

x2SX

( x E [ X ])

²

f

_X

( x ) .

La variance est une mesure de la dispersion des valeurs prises par X autour de son espérance E [ X ] .

Plus la variance est grande, plus les valeurs sont dispersées.

Tout comme l’espérance, la variance est un nombre réel.

De plus, quelle que soit la variable aléatoire, la variance n’est jamais négative.

L’écart-type, fort utilisé en statistique, est la racine carrée de la

variance.

(56)

Propriétés

Variance

(V1) Var [ X ] 0.

(V2) Var [ X ] = E X

²

( E [ X ])

²

. (V3) 8 ^a 2 ^R ^, ^Var [ aX + b ] = a

²

Var [ X ] . (V4) Si X et Y sont indépendantes alors

Var [ X + Y ] = Var [ X ] + Var [ Y ] .

(57)

Preuve de (V1)

Variance

Var [ X ] = ∑

x2S^X

( x E [ X ])

²

| {z }

0

f

_X

( x )

| {z }

0

0.

(58)

Preuve de (V2)

Variance

Var [ X ]

= ∑

x2SX

( x E [ X ])

²

f

_X

( x )

= ∑

x2SX

x

²

2xE [ X ] + ( E [ X ])

²

f

_X

( x )

= ∑

x2SX

x

²

f

_X

( x )

| {z }

=E[X²]

2E [ X ] ∑

x2SX

x f

_X

( x )

| {z }

=E[X]

+ ( E [ X ])

²

∑

x2SX

f

_X

( x )

| {z }

=1 par la dé…nition de

fonction de masse

= E h X

²

i

2 ( E [ X ])

²

+ ( E [ X ])

²

h

2

i

₂

(59)

Preuve de (V3)

Variance

Var [ aX + b ] = ∑

x2S^X

( ax + b E [ aX + b ])

²

f

_X

( x )

= ∑

x2S^X

( ax + b aE [ X ] b )

²

f

_X

( x ) par (E1).

= a

²

∑

x2S^X

( x E [ X ])

²

f

_X

( x )

= a

²

Var [ X ] .

(60)

Preuve de (V4)

Variance

Var [ X + Y ]

= E h

( X + Y )

²

ⁱ ( E [ X + Y ])

²

par (V2)

= E h

X

²

+ 2XY + Y

²

i

( E [ X ] + E [ Y ])

²

par (E1)

= E h X

²

i

+ 2E [ XY ] + E h Y

²

i

( _E [ X ])

²

_2E [ X ] _E [ Y ] ( _E [ Y ])

²

= _E ^h X

²

i

+ _2E [ X ] E [ Y ] + E h Y

²

i

( E [ X ])

²

2E [ X ] E [ Y ] ( E [ Y ])

²

par (E4)

= _E ^h X

²

i

( _E [ X ])

²

+ _E ^h Y

²

i

( _E [ Y ])

²

(61)

Covariance I

De…nition

La covariance des variables aléatoires discrètes X et Y , notée Cov [ X , Y ] est l’espérance de la variable aléatoire

( X E [ X ]) ( Y E [ Y ]) : Cov [ X , Y ] = ∑

x2SX

y

∑

2SY

( x E [ X ]) ( y E [ Y ]) f

_X_,Y

( x, y ) Si la covariance est positive, c’est que dans la somme

x

∑

2S^X

∑

y2S^Y

( x E [ X ]) ( y E [ Y ]) f

_X_,Y

( x, y ) , ce sont les x et les y rendant le terme

( x E [ X ]) ( y E [ Y ]) positif qui dominent, ce qui

signi…e que les variables aléatoires X et Y ont tendance à

(62)

Covariance II

être soit supérieures, soit inférieures à leur espérance pour les mêmes états du monde ω.

Si la covariance est négative, alors ce sont les ω rendant le

terme ( x E [ X ]) ( y E [ Y ]) négatif qui dominent, ce

qui signi…e que lorsqu’une des variables aléatoires X ou Y

est supérieure à son espérance, l’autre a tendance à être

inférieure à son espérance.

(63)

Propriétés I

Covariance

(C1) Cov [ X , Y ] = E [ XY ] E [ X ] E [ Y ] .

(C2) Si X et Y sont indépendantes, alors Cov [ X , Y ] = 0.

(C3) 8 ^a

¹

^, ^a

²

2 R ,

Cov [ aX

₁

+ bX

₂

; Y ] = aCov [ X

₁

; Y ] + bCov [ X

₂

; Y ] .

(C4) Var [ X + Y ] = Var [ X ] + Var [ Y ] + 2Cov [ X , Y ]

(64)

Bernoulli Binomiale Géométrique Binomiale négative Hypergéométrique Poisson Uniforme

Principales lois discrètes

Les cinq premières lois présentées (Bernoulli, binomiale,

géométrique, binomiale négative et hypergéométrique)

servent à modéliser di¤érentes quantités concernant la

situation suivante : une expérience aléatoire est tentée

pour laquelle deux résultats seulement sont possibles : un

succès, qui peut être obtenu avec une probabilité π, ou un

échec, qui survient avec probabilité 1 π, π étant un

nombre réel compris entre 0 et 1 inclusivement.

(65)

Loi de Bernoulli I

Une expérience aléatoire est tentée.

Deux résultats sont possibles : un succès, qui peut être obtenu avec une probabilité π, ou un échec, qui survient avec probabilité 1 π, π étant un nombre réel compris entre 0 et 1 inclusivement.

La variable aléatoire X , qui vaut 1 si un succès est observé

et 0 sinon, est de loi de Bernoulli de paramètre π.

(66)

Loi de Bernoulli II

Les valeurs prises par cette variable aléatoire sont

S

^X

= 8 <

:

f ^0, ¹ g ^{si 0} < π < 1,

0 si π = 0,

1 si π = 1.

Sa fonction de masse est f

_X

( x ) = ^π

x

( 1 π )

¹ ^x

si x 2 S

^X

0 sinon.

En e¤et,

π = P [ obtenir un succès ] = P [ X = 1 ] = π

¹

( 1 π )

^{1 1}

et 1 π = P [ obtenir un échec ] = P [ X = 0 ] = π

⁰

( 1 π )

^{1 0}

.

(67)

Loi de Bernoulli III

E [ X ] = 0f

_X

( 0 ) + 1f

_X

( 1 )

= 0 π

⁰

( 1 π )

^{1 0}

+ 1 π ( 1 π )

^{1 1}

= π,

E X

²

= 0f

_X

( 0 ) + 1

²

f

_X

( 1 )

= π,

Var [ X ] = E X

²

( E [ X ])

²

= π π

²

= π ( 1 π ) .

(68)

Binomiale I

Une expérience aléatoire est tentée.

Deux résultats sont possibles : un succès, qui peut être obtenu avec une probabilité π, ou un échec, qui survient avec probabilité 1 π, π étant un nombre réel compris entre 0 et 1 inclusivement.

Cette expérience est répétée n fois, de façon indépendante.

La variable aléatoire X , qui représente le nombre de succès

obtenus au cours de ces n tentatives, est de loi binomiale

de paramètres n et π.

(69)

Binomiale II

Les valeurs prises par cette variable aléatoire sont

S

^X

= 8 <

:

f ^0, ^{1, ...,} ⁿ g ^{si 0} < π < 1,

0 si π = 0,

n si π = 1.

Sa fonction de masse est f

X

( x ) =

8 <

: n

x π

^x

( 1 π )

^{n x}

si x 2 S

^X

0 sinon.

où n

x =

_x!₍_{n x}^n! ₎_!

.

Rappelons que, par dé…nition, 0! = 1.

(70)

Les variables aléatoires de lois discrètes