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TD2 : Variables aléatoires et lois usuelles
Exercice 1 : Une urne contient 8 boules noires et 12 boules blanches.
On tire une boule au hasard dans cette urne et on regarde si elle est noire.
On note N l'évènement « la boule est noire ».
Soit ܺ la variable aléatoire prenant la valeur 1 si l'événement N est réalisé, 0 sinon.
1. Distribution de probabilité :
a) Quelle est la loi suivie par la variable aléatoire ܺ ? b) Donner le tableau de distribution de ܺ.
c) Calculer son espérance et sa variance.
2. On procède maintenant à 10 tirages successifs avec remise.
On note X le nombre de fois où l'on a obtenu une boule noire.
a) Quelle est l'image de X ?
b) Quelle est la loi suivie par la variable aléatoire X ?
c) Quelle est la probabilité d'obtenir 5 boules noires au cours des 10 tirages ? d) Donner le tableau de distribution de X. Calculer son espérance et sa variance.
Exercice 2 :
On a observé que la proportion de mauvaise réaction à un vaccin, pour un individu, est de 5 %.
Dans ce contexte, on vaccine 10 personnes.
1. Quelle est la distribution (ou loi) décrivant le nombre de mauvaises réactions parmi les 10 personnes vaccinées ?
2. Quelle est la probabilité qu'au plus 1 personne ait une mauvaise réaction ? 3. Avec quelle fréquence moins de 3 personnes ont-elles une mauvaise réaction ? 4. Quelle est la probabilité que plus de 8 personnes aient une mauvaise réaction ?
Exercice 3 :
1. Soit B une variable aléatoire de loi binomiale de paramètres 7 et 0,65.
a) Que signifient les paramètres ?
b) Que vaut ܲ(ܤ = 2) ? Que signifie cette probabilité ? c) Que vaut ܲ(ܤ > 5) ?
2. La variable aléatoire X représentant le nombre de réalisations d'une situation, a une loi de Poisson de paramètre 10.
a) Que signifie ce paramètre ?
b) Avec quelle probabilité observe-t-on au plus 12 fois cette situation ?
c) Avec quelle probabilité observe-t-on entre 4 et 8 fois cette situation, bornes comprises ?
Exercice 4 :
On décompte le nombre de communications passées sur une plateforme, par une personne, sur des intervalles de temps de 10 minutes, grâce à une loi de Poisson. Le nombre moyen de communications passées sur cette plateforme, par une personne, toutes les 10 minutes, est de 14.
1. Distribution de probabilité :
a) Quel est le paramètre de cette distribution (la variable aléatoire sera notée X) ? b) Que valent espérance E(X), variance V(X) et écart-type σ(X) de X ?
2. En utilisant les tables de valeurs de loi de Poisson, calculer les probabilités des événements : A : « il y a eu exactement 12 communications en 10 minutes »
B : « il y aura moins de 8 communications en 10 minutes » C : « il y aura au moins 6 communications en 10 minutes » D : « il y aura entre 4 et 20 communications en 10 minutes »
FA Vaz – DUT GEA CHAM2 – M 22 06 – TD 2 Page 2 Exercice 5 :
Soit Z une variable aléatoire de loi normale centrée réduite. Calculer les probabilités :
1. ܲ(ܼ < 1,08) 2. ܲ(ܼ ≤ − 2,04) 3. ܲ(ܼ > 1,76)
4. ܲ(ܼ ≥ 2, 76) 5. ܲ(ܼ > − 0,42) 6. ܲ(ܼ < 0,03)
7. ܲ(ܼ < − 1,48) 8. ܲ(ܼ > 0,24) 9. ܲ(ܼ > − 1,63)
10. Déterminer ݑ tel que ܲ(ܼ < ݑ) = 0,85 et ݒ tel que ܲ(ܼ > ݒ) = 0,23.
Exercice 6 :
Soit X une variable aléatoire de loi normale N (m = 4 ; σ = 1,5). Calculer :
1. ܲ(ܺ < 1,1) 2. ܲ(ܺ < 0) 3. ܲ(ܺ < −2) 4. ܲ(ܺ ≤ 1) 5. ܲ(ܺ > 4) 6. ܲ(ܺ > 2) 7. ܲ(ܺ > 7) 8. ܲ(ܺ < 10)
Soit X une variable aléatoire de loi normale N (m = -2 ; σ = 0,5). Calculer :
1. ܲ(ܺ < −1) 2. ܲ(ܺ < −1,5) 3. ܲ(ܺ < −2,5) 4. ܲ(ܺ ≤ 0) 5. ܲ(ܺ > −3) 6. ܲ(ܺ > −1,7) 7. ܲ(ܺ > −1) 8. ܲ(ܺ < −1,8)
Exercice 7 :
Dans une compagnie d'assurance, on a pu constater que, parmi les 1200 assurés, 60 avaient envoyé
une déclaration de sinistre dans l'année.
On prélève au hasard et avec remise, n dossiers parmi les 1200 dossiers des assurés.
Notons ܵ l'événement : « le ݅è dossier contient une déclaration de sinistre ».
Un dossier contenant une déclaration de sinistre sera dit de « type S ».
Soit X le nombre de dossiers de « type S » parmi les n dossiers prélevés.
1. a) Justifier la loi binomiale pour X. Quels en sont les paramètres ? b) Exprimer l'espérance et la variance de X.
2. Dans cette question, on prend n = 10.
a) Calculer la probabilité pour qu'un seul dossier soit de « type S » parmi ces 10 dossiers.
b) Calculer la probabilité pour qu'il y ait au moins un dossier de « type S » parmi ces 10 dossiers.
3. Dans cette question, on prend n = 60.
a) Peut-on utiliser une approximation de la loi binomiale ? Si oui, avec quelle autre loi ? Exprimer cette loi et ses paramètres.
b) Quelle est la probabilité d'avoir au plus 2 dossiers de « type S » parmi ces 60 dossiers ? 4. Dans cette question, on prend n = 240.
a) Peut-on utiliser une approximation de la loi binomiale ? Si oui, avec quelle autre loi ? Exprimer cette loi et ses paramètres.
b) Quelle est la probabilité qu'il y ait au moins 15 dossiers de « type S » parmi ces 240 dossiers ? c) Déterminer u tel que P(X < u) = 0,85, en justifiant le raisonnement et la table utilisée.
FA Vaz – DUT GEA CHAM2 – M 22 06 – TD 2 Page 3 Exercice 8 :
1. Soit X une variable aléatoire de distribution binomiale. X représente le nombre de succès parmi 10 expériences.
La probabilité de succès est p=0,2. Probabilité d'observer exactement 6 succès.
2. Soit X une variable aléatoire de distribution de Poisson. Le nombre moyen d'observations est 2.
Probabilité d'obtenir au moins 3 observations.
3. Soit X une variable de loi normale standard. Probabilité d'avoir moins de 0,23.
4. Soit X une variable de loi normale de moyenne (espérance) 16 et d'écart-type 4.
Probabilité de {X < 20.04} ?
5. Soit X de loi normale standard. Point t ou la probabilité d'avoir strictement moins de t est 0,721.
6. Soit X une variable aléatoire de distribution binomiale. X représente le nombre de succès parmi 6 expériences.
La probabilité de succès est p=0,4. Probabilité d'observer au plus 3 succès.
7. Soit X une variable aléatoire de distribution de Poisson. Le nombre moyen d'observations est 8.
Probabilité d'obtenir exactement 5 observations.
8. Soit X une variable de loi normale standard. Probabilité d'avoir strictement plus de 1,46.
9. Soit X une variable de loi normale de moyenne (espérance) 11 et d'écart-type 0,8.
Probabilité de (X > 11,8) ?
10. Soit X de loi normale standard. Point t ou la probabilité d'avoir au moins t est 0,142.
11. Soit X une variable aléatoire de distribution binomiale. X représente le nombre de succès parmi 9 expériences.
La probabilité de succès est p=0,25. Probabilité d'observer strictement moins de 8 succès.
12. Soit X une variable aléatoire de distribution de Poisson. Le nombre moyen d'observations est 7.
Probabilité d'obtenir au plus 6 observations.
13. Soit X une variable de loi normale standard. Probabilité d'avoir strictement plus de – 0,12.
14. Soit X une variable aléatoire de distribution binomiale. X représente le nombre de succès parmi 4 expériences.
La probabilité de succès est p=0,8. Probabilité d'observer exactement 1 succès.
15. Soit X une variable aléatoire de distribution de Poisson. Le nombre moyen d'observations est 11.
Probabilité d'obtenir strictement plus de 3 et strictement moins de 9 observations.
16. Soit X une variable de loi normale standard. Probabilité d'avoir strictement moins de – 1,47.
17. Soit X une variable de loi normale standard. P(X =1,35) = ?
FA Vaz – DUT GEA CHAM2 – M 22 06 – TD 2 Page 4 18. Soit X une variable aléatoire de distribution binomiale. X représente le nombre de succès parmi
8 expériences.
La probabilité de succès est p=0,95. Probabilité d'observer au moins 2 succès.
19. Soit X une variable aléatoire de distribution de Poisson. Le nombre moyen d'observations est 4.
Probabilité d'obtenir au moins 2 et au plus 12 observations.
Exercice 9 :
1. Peut-on utiliser une approximation de distribution pour la loi binomiale de paramètres n=100 et p=0,01 ? Si oui, laquelle ?
2. Peut-on utiliser une approximation de distribution pour la loi binomiale de paramètres n=10 et p=0,01 ? Si oui, laquelle ?
3. Peut-on utiliser une approximation de distribution pour la loi binomiale de paramètres n=100 et p=0,99 ? Si oui, laquelle ?
4. Peut-on utiliser une approximation de distribution pour la loi binomiale de paramètres n=100 et p=0,55 ? Si oui, laquelle ?
