Variables aléatoires de loi continue

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RICM 1 module probabilité FICHE 8 Séance 8 : Variables aléatoires réelles

Nous avons vu au chapitre sur les lois discrètes la définition générale d’une variable aléatoire X. Dans ce chapitre nous avons abordé le cas - facile - quand lorsque l’espaceX des valeurs deX était fini ou dénombrable. Dans le présent chapitre nous allons nous contenter de résoudre, sans démonstrations complètes, le cas plus général (et beaucoup plus difficile) deX =R.

Fonction de r´epartition et densit´e

Définition 1 La fonction de répartition (f.d.r.) de la variable aléatoireXsurRest la fonction suivante : F_X(x) =P(X ∈]− ∞, x]) =P(X 6x).

Propri´et´es :

1. la fonctionF_X(x)est croissante, continue `a droite,

x→−∞lim F_X(x) = 0; lim

x→+∞F_X(x) = 1.

2. CommeF_X est croissante, elle admet une limite `a gauche en chaque point, limite qu’on notera F_X(x⁻). Nous avons :

P(X ∈]x;y]) =F_X(y)−F_X(x); P(X ∈]x;y[) =F_X(y⁻)−F_X(x);

P(X ∈[x;y]) =F_X(y)−F_X(x⁻); P(X ∈[x;y[) =F_X(y⁻)−F(x).

En particulier,P(X =x) =F_X(x)−F_X(x⁻)est le “saut” de la fonction F_X au pointx. On a doncP(X =x) = 0pour toutxsi et seulement si la fonctionF_X est continue en tout point.

6 0.2

0.4 0.6 0.8 1 1.2

−2 −1 0 1 2 3 4 5

0

FIG. 1 – Fonction de répartition d’une variable aléatoire à valeur dans[−1,1]∪[2,+∞[etP(X = 4) = 0.25.

Dans la suite on suppose qu’il existe une fonctionf_X(x)born´ee surRtelle que F_X(x) =

Z x

−∞

f(t)dt.

On appelle une telle fonction la densite deX et on dit queF_X(x)admet une densité, bien évidemment, f_X vérifief_X(x) =F_X⁰ (x)et

P(X ∈[x, y]) =P(X ∈]x, y]) = Z y

x

f_X(t)dt,

Z +∞

−∞

f(t)dt= 1.

UJF Polytech 2004 1/ 4

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RICM 1 module probabilité FICHE 8 Remarque : il existe bien-sûr des probabilités sur Rqui n’ont pas de densité : c’est le cas des pro- babilités discrètes. Voici une interprétation “intuitive” de la densité f_X de F_X. Si dx est un “petit”

accroissement de la variablex, on a (si du moinsf est continue enx) : f_X(x)∼ P(X ∈[x, x+dx[)

dx .

En théorie des probabilités on montre que si X₁, X₂, ..., X_m sont des variables aléatoires et g(x₁, ..., x_m) une fonction continue, alors Y = g(X₁, ..., X_m) est, elle aussi, une variable aléatoire.

Comme application de cet énoncé, on vérifie que si (X_i), i = 1, ..., m, X et Y sont des variables aléatoires réelles, alors

X+Y, X

Y siY 6= 0 sont des v.a.

16i6mmax X_i, min

16i6mX_i sont des v.a.

Lois usuelles

Loi uniformeU[a,b]

La loi uniforme sur[a, b]: on a ici deux r´eelsa < b, et c’est la f.d.r. admettant la densit´e

f(x) = ₁

b−a si a6x6b,

0 sinon .

En vertu de la première remarque ci-dessus, on aurait aussi bien pu choisirf(a) = 0ouf(b) = 0. Au vu de l’interprétation, le fait quef soit constante sur[a, b]correspond au fait que si on choisit une point selon cette loi, on a “autant de chances” de tomber au voisinage de chaque point de l’intervalle[a, b], ce qui explique le nom “uniforme”. Remarquer aussi queP(X =x) = 0pour toutx(comme pour toutes les lois avec densité) : on a donc une probabilité nulle de tomber exactement en un pointxfixé à l’avance.

Loi exponentielleE(λ)

La loi exponentielle de param`etreλ >0est la loi de densit´e f(x) =

0 si x <0, λe⁻^λx sinon . et de fonction de r´epartition

F(x) =

0 si x <0,

(1−e⁻^λx) sinon .

Notons que la loi exponentielle jouit aussi d’une propriété importante pour les applications (propriété de

“non-vieillissement”) : soitX une variable al´eatoire positive, telle queP(X > s) >0pour touts∈R. On a

P(X > t+s|X > t) =P(X > s)

pour toussett >0si et seulement siX suit une loi exponentielle.

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RICM 1 module probabilit´e FICHE 8 Loi normaleN(0,1)

La loi normale centrée réduite (ou loi de Gauss) : c’est la loi de densité f(x) = 1

√2πe⁻^x²^/2.

Pour v´erifier que cette fonction est d’int´egrale1, on remarque queI = R+∞

−∞ f(t)dtv´erifie I² =

Z Z

R²

f(x)f(y)dxdy= Z 2π

0

1 2πdθ

Z +∞ 0

e⁻^ρ²^/2ρdρ.

En passant en coordonn´ees polaires dans l’int´egrale double), et un calcul simple montre alors queI² = 1.

Esp´erance de variables al´eatoires de loi continue

Définition 2 (Espérance) Si l’intégraleR+∞

−∞ |x|f_X(x)dxest finie, on appelle la valeur EX =

Z +∞

−∞

xf_X(x)dx,

l’esp´erance math´ematique de la v.a.X.

Remarque : on démontre dans la théorie de probabilités que si g(x) est une fonction telle que R |g(x)|f_X(x)dxest finie, alors l’espérance de la v.a.Y =g(X)est

EY = Z

g(x)f_X(x)dx

SoitX etY variables aléatoires d’espérance bien définie, eta,bdes réels alors E(aX+b) =aE(X) +b et E(X +Y) =E(X) +E(Y)

(“lin´earit´e” de l’esperance). Ceci implique que siE(X) =µetY =X−µ, alors EY =E(X−µ) =EX−µ= 0.

On dit que la variable al´eatoireY est centr ´ee.

Si la v.a.Xest “carr´e-integrable”, i.e.R

x²f_X(dx)<∞, alors E(X²) =

Z

x²f_X(x)dx.

Définition 3 (Variance) Si la v.a. X est carr é-integrable, sa variance est l’espérance de la variable aléatoire [X −E(X)]², et on la note V ar(X) ou σ_X². Elle est positive, et sa racine carrée positive s’appelle l’écart-type de X, qu’on noteσ_X.

Notons que, comme dans le cas des v.a. discr`etes,

E((X −E(X))²) =E(X²−2XE(X) +E²(X)) =E(X²)−2E(X)E(X) +E²(X) =E(X²)−E²(X), etV ar(X) =E(X²)−E²(X).

Notons que siY =aX+b,

V ar(Y) =E((Y −E(Y))²) =E((aX+b−[aE(X)+_b])²) =E(a²(X−E(X))²) =a²V ar(X).

Donc, siE(X) =µetV ar(X) =σ²etY = ^X_σ⁻^µ,

EY = 0 et V ar(Y) =σ⁻²V ar(X −E(X)) =σ⁻²V ar(X) = 1.

On dit queY est centr´ee-r´eduite.

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RICM 1 module probabilit´e FICHE 8 1. SoitX est une v.a. de loi uniforme sur[a, b]Alors

E(X) = b−a

2 et V ar(X) = (b−a)² 12 . 2. SiXsuit la loi exponentielle de param`etreλ, alors

EX = 1

λ et V ar(X) = 1 λ².

3. Pour une v.a. normale centrée-réduite Y l’espérance EY = 0 et V ar(Y) = 1. Notons que si X =σY +µ,EX =µetV ar(X) =σ². La densité de la loi deX est

f_X(x) = 1

√2πσe⁻^(x^2σ⁻^µ)2² .

Cette loi est not´eeN(µ, σ²)(loi normale avec la moyenneµet la varianceσ²).

Variables al´eatoires ind´ependantes

Soit Z = (X₁, ..., X_n)un vecteur al´eatoire dans Rⁿ. Comme dans le cas d’une v.a. on d´efinit la fonction de repartition jointe deZen tout pointz= (z1, ..., z_n)deRⁿ:

F_Z(z) =P(X₁ ≤z₁, X₂ ≤z₂, ..., X_n≤z_n).

Dans la suite on suppose que la fonction de repartition jointe poss`ede la densit ´e jointe : f_Z(z) = ∂ⁿ

∂z₁... ∂z_nF_z(z).

Comme dans le cas des v.a discr`etes nous avons

Définition 4 (Indépendance) SoitZ = (X_i)i = 1, ..., n un vecteur aléatoire, composé de variables aléatoires réelles (scalaires), i.e. chaqueX_iest à valeurs dansR. Les v.a.X₁, ..., X_nsont indépendantes si pour tousz= (z₁, ..., z_n)

P(X₁6z₁, ..., X_n6z_n) =P(X₁ 6z₁)...P(X_n 6z_n) ou bien

f_Z(z) =f_X₁(z1)...fXn(zn)

Si, de plus, les densitésf_X₁, ..., f_X_nsont les mêmes, on dit que les v.a.X₁, ..., X_nsont indépendantes et identiquement distribuées (i.i.d.).

Cette definition s’´etend sans peine `a une suite infinie de v.a..

Proprietes :

– SoitX etY à valeurs dansR. Soit aussig(x)eth(x)deux fonctions continues, telles queg(X)et h(Y)soient aussi des variables aléatoires. SiX etY sont indépendantes, les variables aléatoires g(X)eth(Y)sont aussi indépendantes. Si de plusEg(X)etEh(Y)existent, on a

Eg(X)h(Y) =Eg(X)Eh(Y).

– soit (X_i), i = 1,2, ..., n une suite de v.a. indépendantes. Alors (comme dans le cas général) E((X₁+...+X_n) =EX₁+...+EX_netV ar(X₁+...+X_n) =V ar(X₁) +...+V ar(X_n).