Chapitre 17
Lois de probabilité continues
17.1 Lois de probabilité continues
a. Position du problème
On considère des expériences aléatoires dont l’issue est unréel. Ce réel sera la valeur prise par la variable aléatoireX. Lorsque la variable aléatoire réelle prend des valeurs de tout un intervalle I de R, on dit que la loi de probabilité de cette variable aléatoire est continue.
Les probabilités d’évènements à évaluer sont donc de la forme X < aouX > aouX 6aou X >aoùaest un réel, c’est-à-dire d’une façon générale, d’évènements de la forme X∈J oùJ est un intervalle deR.
b. Intégrales à borne infinies
Définition 1
Soitaun réel et f une fonction qui admet des primitives surR.
On pose : 1.
Z +∞
a
f(t)dt= lim
x→+∞
Z x
a
f(t)dt(sous réserve que cette limite existe)
2.
Z a
−∞
f(t)dt= lim
x→−∞
Z a
x
f(t)dt(sous réserve que cette limite existe)
3. Pour tout réela, Z +∞
−∞
f(t)dt= Z a
−∞
f(t)dt+ Z +∞
a
f(t)dt.
c. Généralités
Définition 2
Soitf une fonction définie surR. On dit quef est une densité de probabilité lorsqu’elle vérifie les conditions suivantes : (i) f est continue surR, sauf éventuellment en quelques valeurs.
(ii) Pour toutx∈R,f(x)>0.
(iii) , Z +∞
−∞
f(t)dt= 1.
Définition 3
La fonction de répartition d’une variable aléatoireX qui suit une loi à densité continuef est la fonctionF : F : R−→[0; 1]
x7−→F(x) =P(X 6x) =Z x
−∞
f(t)dt
1
CHAPITRE 17. LOIS DE PROBABILITÉ CONTINUES
Propriété 1
Soit X une variable aléatoire qui suit une loi à densité continuef. La fonction de répartition F de X est une fonction croissante surR, et lim
x→−∞F(x) = 0 et lim
x→+∞F(x) = 1. De plusF est dérivable en tout réelxoùf est continue , avec F′(x) =f(x).
Propriété 2
SoitX une variable aléatoire qui suit une loi à densité continuef eta,bdeux réels tels quea6b.
1. P(X =a) = 0.
2. P(X < a) =P(X 6a) =F(a) =Z a
−∞
f(t)dt.
3. P(X > b) =P(X >b) =Z +∞
b
f(t)dt.
4. P(X > b) =P(X >b) = 1−P(X 6b) = 1−F(b).
5. P(a < X < b) =P(a6X < b) =P(a < X 6b) =P(a6X 6b) =F(b)−F(a) =Z b
a
f(t)dt.
17.2 Exemples de lois continues
a. Loi uniforme continue
Propriété 3
Soitaetb deux réels tels quea < b.La fonctionf définie surRpar f(x) =
1
b−a six∈[a;b]
0sinon
est une densité de probabilité.
Définition 4
Soitaetb deux réels tels quea < b, etX une variable aléatoire.
On dit queX suitla loi uniforme sur[a;b]lorsqueX suit la loi à densité continue f définie surRpar
f(x) =
1
b−a six∈[a;b]
0 sinon
Exemple
Choisir un réel au hasard dans [a;b] se modélise par la loi uniforme sur [a;b], c’est-à-dire que si on appelleX la variable aléatoire qui représente le réel choisi au hasard dans [a;b], alorsX suit la loi uniforme sur [a;b].
2
CHAPITRE 17. LOIS DE PROBABILITÉ CONTINUES
b. Loi exponentielle ou de durée de vie sans vieillissement
Propriété 4
Soitλun réel strictement positif.
La fonctionf définie surRparf(x) =
( λe−λx six∈[0; +∞[
0 sinon est une densité de probabilité.
Définition 5
Soitλun réel strictement positif etX une variable aléatoire réelle.
On dit queX suit la loi exponentielle de paramètreλlorsqueX est à valeurs dans[0; +∞[et suit la loi à densité continue f définie surRpar :
f(x) =
( λe−λx six∈[0; +∞[
0 sinon
Théorème 1
La fonction de répartition d’une variable aléatoireX qui suit une loi exponentielle de paramètreλest la fonctionF définie surRpar
F(x) =P(X < x) =Z x
0
f(t)dt=
( 1−e−λxsix∈[0; +∞[
0sinon .
Définition 6
SoitX une variable aléatoire à valeurs dans[0; +∞[qui suit une loi à densité continue. On dit queX suit une loi de durée de vie sans vieillissement ou sans mémoire lorsque : pour tous réels t et h strictement positifs tels que P(X > t)6= 0, PX <t(X > t+h) =P(X > h).
Propriété 5
SoitX une variable aléatoire qui suit une loi à densité continue.
Les propriétés suivantes sont équivalentes 1. X suit une loi exponentielle de paramètreλ.
2. X suit une loi de durée de vie sans vieillissement.
17.3 Adéquation à loi équirépartie
cf activité en module info.
17.4 Statistiques et simulation
cf activité en module info.
3
