Dury Marie-Eliette – L2EG-S3 1/5
TD-Chapitre 4
Vecteurs aléatoires discrets
EXERCICES D'APPLICATION DIRECTE DU CHAPITRE 4
ETUDE D'UN TABLEAU DE LOI JOINTE
> Exercice 1 – TD-CH4
Considérons le vecteur aléatoire (X;Y) dont la distribution jointeest donnée par
1/ Déterminer les distributions
marginales en construisant les tableaux des 2 variables composantes.
2/ Etude de la première composante X : 2.a/ Calculer l’espérance de X 2.b/ Calculer la variance de X 2.c/ En déduire l'écart-type de X
3/ Etude de la première composante Y : 3.a/ Calculer l’espérance de Y 3.b/ Calculer la variance de Y 3.c/ En déduire l'écart-type de Y
4/ Les variables aléatoires X et Y sont-elles indépendantes ?
> Exercice 2 – TD-CH4
A partir du tableau de l'exercice 1, on construit une nouvelle variable aléatoire : 1/ Construire le tableau de distribution de la variable Z.
2/ Calculer l'espérance de Z.
3/ Exprimer ensuite la covariance de X et Y au moyen de 2 méthodes différentes : 3.a/ Par un calcul direct (définition de la covariance)
3.b/ En utilisant la variable aléatoire Z
3.c/ Y a-t-il un lien avec l'indépendance de X et Y ? Y=bj
X=ai 0 2 4
0 0.16 0.08 0.16
1 0.08 0.04 0.08
2 0.16 0.08 0.16
Dury Marie-Eliette – L2EG-S3 2/5
> Exercice 3 – TD-CH4
Considérons le vecteur aléatoire (X;Y) dont la distribution jointe est donnée par
-1 0 1 2
-1 0.05 0.10 0.15 0
0 0.1 0.2 0 0.05
1 0.10 0 0.15 0.10
1/ Déterminer les distributions marginales en construisant les tableaux des 2 variables composantes.
2/ Etude de la première composante X : 2.a/ Calculer l’espérance de X 2.b/ Calculer la variance de X 2.c/ En déduire l'écart-type de X
3/ Etude de la première composante Y : 3.a/ Calculer l’espérance de Y 3.b/ Calculer la variance de Y 3.c/ En déduire l'écart-type de Y
4/ Les variables aléatoires X et Y sont-elles indépendantes ?
> Exercice 4 – TD-CH4
A partir du tableau de l'exercice 3, on construit une nouvelle variable aléatoire :
1/ Construire le tableau de distribution de la variable Z.
2/ Calculer l'espérance de Z.
3/ Exprimer ensuite la covariance de X et Y au moyen de 2 méthodes différentes : 3.a/ Par un calcul direct (définition de la covariance)
3.b/ En utilisant la variable aléatoire Z
3.c/ Y a-t-il un lien avec l'indépendance de X et Y ?
Dury Marie-Eliette – L2EG-S3 3/5
> Exercice 5 – TD-CH4
Considérons le vecteur aléatoire (X;Y) dont la distribution jointeest donnée par
X=xi
Y=yj 2 4 6
-2 0.15 0.10 0.25
0 0.03 0.02 0.05
2 0.12 0.08 0.20
1/ Première composante X
1.a/ Déterminer la distribution marginale de X 1.b/ Calculer l’espérance de X
1.c/ Calculer la variance de X . En déduire son écart-type.
2/ Deuxième composante : Y
2.a/ Déterminer la distribution marginale de Y 2.b/ Calculer l’espérance de Y
2.c/ Calculer la variance de Y . En déduire son écart-type.
3/ Les variables aléatoires X et Y sont-elles indépendantes ? Justifiez.
4/ On forme la variable aléatoire : 4.a/ Déterminer le tableau de distribution de Z.
4.b/ Exprimer la covariance de X et Y à partir de Z
4.c/ Vérifier par un calcul direct de la covariance en utilisant le tableau de contingence deX et Y 4.d/ Ce résultat a-t-il un lien avec l'indépendance de X et de Y ,
> Exercice 6 – TD-CH4
A partir du vecteur aléatoire discret (X;Y) défini en exercice 5, on exprime deux nouvelles variables aléatoires
+ et
− .
1/ Construire, en justifiant, le tableau de distribution jointe de (U ; V).
2/ Les variables aléatoires U et V sont-elles indépendantes ? 3/ Exprimer la covariance de U et V.
Dury Marie-Eliette – L2EG-S3 4/5
> Exercice 7 – TD-CH4
Soit (M ; N) le vecteur aléatoire de distribution jointe :
-3 0 2
-2 0.04 0.05 0.01
1 0.16 0.25 0.10
3 0.20 0.10 0.09
1/ Déterminer les distributions marginales.
En déduire la valeur moyenne et l'écart-type de M et de N.
2/ Les variables aléatoires M et N sont-elles indépendantes ?
Soit
3/ Déterminer la distribution de Z.
4/ En déduire la covariance de M et N [donner 2 méthodes différentes].
> Exercice 8 – TD-CH4
A partir du vecteur aléatoire discret (M;N) défini en exercice 7, on exprime deux nouvelles variables aléatoires
+ et
−
1/ Construire le tableau de distribution jointe de ( ; ).
2/ Calculer la covariance de R et S.
3/ Les variables aléatoires R et S sont-elles indépendantes ?
Dury Marie-Eliette – L2EG-S3 5/5
EXERCICES DE SYNTHESE DU CHAPITRE 4
> Exercice 9 – TD-CH4
On lance 2 fois de suite un même dé. L’expérience consiste à noter le premier chiffre obtenu et le plus grand des deux (que ce soit le premier ou le deuxième).
On désigne par :
X le premier chiffre obtenu
Y le plus grand chiffre obtenu lors des 2 lancers.
1/ Donner l’ensemble des valeurs prises par le couple aléatoire (X,Y).
2/ Écrire le tableau de la distribution de ce couple aléatoire (X,Y).
3/ En déduire les lois marginales des variables aléatoires X et Y. Calculer leur espérance et écart-type 4/ Les variables X et Y sont-elles indépendantes ? Justifier.
5/ Calculer la covariance de X et Y en utilisant la variable aléatoire intermédiaire
> Exercice 10 – TD-CH4
Dans une station balnéaire, au mois de février, le nombre de personnes qui entrent, chaque heure, chez un antiquaire est modélisé par une variable aléatoire notée X.
La distribution de probabilité de cette variable X est donnée par le tableau suivant :
1 2 3 4
( = ) 0.15 0.70 0.12 0.03
On estime que, durant cette période hivernale, la probabilité d’achat est de 25 %, et que ces personnes ont un comportement d’achat indépendant.
Notre objectif est d’étudier sous ces conditions, la variable aléatoire Y modélisant le nombre de personnes qui effectuent un achat (parmi celles qui sont entrées chez l’antiquaire).
1/ Déterminer les 4 lois conditionnelles de Y.
Indication : la loi de probabilité de Y est construite conditionnellement à X car la nombre d’achats possible est conditionné par le nombre de personnes présentes chez l’antiquaire (de 1 à 4).
2/ En déduire la loi jointe du vecteur aléatoire (X,Y).
3/ Les variables X et Y sont-elles indépendantes ? 4/ Calculer leur covariance en proposant 2 méthodes.
