TD 8 : Fonctions numériques de deux variables réelles Exercice 1

TD 8 : Fonctions numériques de deux variables réelles

Exercice 1 :

Soit la fonction définie pour tout couple , de par : , ln1 . 1. Montrer que est de classe sur .

2. Calculer les dérivées partielles d’ordre 1 de . 3. Déterminer le gradient de en 0,0.

4. Écrire le développement limité d’ordre 1 de la fonction en (0,0).

5. Calculer les dérivées partielles d’ordre 2 de . 6. Déterminer la matrice hessienne de en 0,0.

7. Écrire le développement limité d’ordre 2 de la fonction en (0,0).

Exercice 2 : D’après EDHEC 2006

Soit la fonction définie pour tout couple , de par : , 2 2 2 . 1. a Calculer les dérivées partielles d’ordre 1 de .

b En déduire que le seul point critique de est % &1 6 ,1

6( . 2. a Calculer les dérivées partielles d’ordre 2 de .

b Montrer que présente un minimum local en % et donner la valeur ) de ce minimum.

3. a Développer 2 &

2 1 4(

3

2 & 1 6(

.

b En déduire que ) est le minimum global de sur .

4. On considère la fonction . définie pour tout couple , de par : ., 2^/ 2 2^{/0 /} .

aUtiliser la question 3. pour établir que : ∀, ∈ , ., 5 1

b En déduire que . possède un minimum global sur et préciser en quel point ce minimum est 6.

atteint.

Exercice 3 : D’après EDHEC 2005

Soit la fonction définie pour tout couple , de par : , ^/67089. 1. Justifier que est de classe sur .

2. (a) Déterminer les dérivées partielles d’ordre 1 de .

(b) En déduire que le seul point en lequel est susceptible de présenter un extremum local est

% 1,0.

3. (a) Déterminer les dérivées partielles d’ordre 2 de .

(b) Montrer qu’effectivement, présente un extremum local en %. En préciser la nature et la valeur.

4. (a) Montrer que : ∀, ∈ , , 5 ^/.

(b) En étudiant la fonction . définie sur par . ^/, conclure que l’extremum trouvé à la question 2.(b) est un extremum global de sur .

Exercice 4 : D’après EML 2006

On note : ∶ → l’application définie pour tout , ) de par : :, ) = − 1) − 2) + − 6) 1. (a) Montrer que (4,2) et (2,3) sont des points critiques de :.

(b) : présente-t-elle un extremum local au point (4,2) ? et en (2,3) ?

2. On note = ∶ → l’application définie, pour tout réel par : = 22 5. (a) Montrer que : ∀ ∈ ?4; +∞?, − 2)2 − 5) ≥ 4

(b) En déduire que : ∀ ∈ ?4; +∞?, =) ≥ 4 et =∈ ?4; +∞?.

3. On considère la suite A_BB∈ℕ définie par son premier terme A_D 4 et par la relation :

∀E ∈ ℕ, A_B08 = :1 + A_B, A_B) (a) Exprimer A_B08 en fonction de A_B à l’aide de la fonction =. (b) Montrer que : ∀E ∈ ℕ, A_B ≥ 4^B08

Quelle est la nature de la série de terme général 1 A_B ?

4. On note . ∶ ?4; +∞? → l’application définie, pour tout ∈ ?4; +∞?, par : . 10

=) a Montrer que l’intégrale K .L^0∞

M converge.

(b) Trouver trois réels N, O et P tels que :

∀ ∈ ?4; +∞?, .) =N + O

− 2 + P 2 − 5 c Calculer K .L^0∞

M .

Exercice 5 : D’après EDHEC 2010

On considère la fonction définie, pour tout couple , ) de l’ouvert R0; +∞? × R0; +∞?, par : , ) = + ) &1

+1 (.

1. Montrer que, pour tout couple , ) de R0; +∞? × R0; +∞?, on a : , ) = 2 +

+

et , ) = + ) 2. Montrer que est de classe sur R0; +∞? × R0; +∞?.

3. Montrer que possède une infinité de points critiques et les déterminer.

4. Déterminer les dérivées partielles d’ordre 2 de et vérifier que ces dernières ne permettent pas de conclure à l’existence d’un extremum local de sur R0; +∞? × R0; +∞?.

5. (a) Comparer les réels + et 4.

(b) En déduire que admet sur R0; +∞? × R0; +∞? un minimum global en tous ses points critiques et donner sa valeur.

6. Soit . la fonction définie pour tout , ) de R0; +∞? × R0; +∞?, par : ., ) = 2 ln + ) − ln) − ln).

Montrer que : ∀, ) ∈ R0; +∞? × R0; +∞?, ., ) ≥ 2 ln2).

Exercice 6 : D’après ECRICOME 2006

On considère la fonction définie pour tout réel par : +1 + 2^/

ainsi que la fonction . des deux variables réelles et définie par : ., ) = ^/ + + ^/) Partie 1 : Recherche d’extremum local de g

1. Étudier les variations de et donner les limites de lorsque tend vers +∞ et ∞.

2. Justifier l’existence d’une asymptote oblique au voisinage de ∞ et donner la position de la courbe représentative de par rapport à cette asymptote.

3. Déduire des variations de l’existence d’un unique réel U, élément de l’intervalle ?2; 1R tel que U 0. (on rappelle que ≈ 2,7 )

4. Déterminer le seul point critique de ., c’est-à-dire le seul couple de ², en lequel . est susceptible de présenter un extremum.

5. Vérifier que . présente un extremum relatif X en ce point. Est-ce un maximum ou un minimum ? 6. Montrer que l’on a : 4X + U²1 = 0.

Partie 2 : Etude d’une suite réelle

On s’intéresse à la suite A_BB∈ℕ définie par son premier terme A_D 1 et par la relation :

∀E ∈ ℕ, A_B08 = A_B− A_B) ′A_B)

1. Prouver que est convexe sur . En déduire que pour tous réels et Y : + Y ′ ≤ Y

2. En déduire l’inégalité suivante : ∀E ∈ ℕ, U ≤ A_B08

Puis que pour tout entier naturel E : U ≤ A_B08 ≤ A_B ≤ 1.

En déduire que la suite A_BB∈ℕest convergente vers un réel à préciser.

3. On admet que pour tout de l’intervalle ?2; 1R : 0 ≤ − U)^′) − ) ≤^/[\_] ^² (a) Prouver alors que pour tout entier naturel E : 0 ≤ A_B08− U ≤^{^_[\}_] ^²

(b) Puis démontrer par récurrence que pour tout entier naturel E : 0 ≤ A_B− U ≤_{]7_`a}⁸

Exercice 7 :

1. Représenter graphiquement les ensembles suivants :

(a) b c; ∈ ℝ tel que 0 ≤ ≤ 3 et − 1 ≤ ≤ 2d (b) : c; ∈ ℝ tel que 1 < || < 2d (c) g c; ∈ ℝ tel que ≥ 0, ≥ 0 et 2 + − 4 ≥ 0d

2. Représenter graphiquement les ensembles de définitions des fonctions suivantes :

(a) ; ln + ln (b) .; ln2 ln ln (c) ℎ; ln1 − − )

Exercice 8 : D’après EML 2011

On considère l’application ∶ R0; +∞?⟶ ℝ, ↦ ) = + ln )^/[8: Partie I : Étude et représentation graphique de k

1. Montrer que est dérivable sur R0; +∞?. On note ′ sa fonction dérivée.

Pour tout ∈R0; +∞?, calculer ^′.

2. Établir :

∀ ∈R0; ∞?, ln 1 l 0.

3. En déduire :

∀ ∈R0; ∞?, ln 1 1 l 0.

4. En déduire le sens de variation de .

5. Dresser le tableau de variation de , comprenant la limite de en 0 et la limite de en +∞. Calculer 1 et ′1.

6. Préciser la nature des branches infinies de la courbe représentative de dans un repère du plan.

7. Tracer l’allure de . On précisera la tangente au point d’abscisse 1.

Il n’est demandé ni l’étude de la convexité, ni la recherche d’éventuels points d’inflexion.

Partie II : Étude d’une suite récurrente associée à k

On considère la suite réelle A_BB∈C définie par A_D 2 et, pour tout E ∈ C, A_B08 A_B. 1. Montrer que, pour tout E ∈ C, A_B existe et A_B 52.

2. Établir, par récurrence : ∀E ∈ C, A_B 5 ^B.

Quelle est la limite de A_B lorsque l’entier E tend vers l’infini ?

Partie III : Étude d’extrema locaux pour une fonction de deux variables associée à k On considère l’application

:∶ R0; ∞?⟶ , ↦ : K YLY^/

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1. Montrer que : est de classe sur R0; ∞? et exprimer :′, pour tout ∈R0; ∞?, à l’aide de . On considère l’application de classe :

R0; ∞?⟶ , , ↦ g, : : 2^/0 .

2. Exprimer les dérivées partielles d’ordre 1 m₈g, et mg, , pour tout , ∈R0; ∞? à l’aide de , et ^nop7 .

3. (a) Montrer que f réalise une bijection sur des intervalles à préciser.

(b) Établir que, pour tout ; ∈R0; ∞?,; est un point critique de g si et seulement si : et ln .

4. Montrer que l’équation +ln , d’inconnue ∈ R0; ∞? admet une solution et une seule, que l’on notera U, et montrer que : 1 e U e .

5. Montrer que g admet un extremum local. Préciser sa nature.

Exercice 9 :

Soit la fonction définie pour tout couple , de par : , 4^q 6 4^q. 1. Montrer que le couple (0,0) est l’unique point critique de .

2. Déterminer la matrice hessienne de en (0,0).

Que peut-on dire du point critique (0,0) pour la fonction ?

3. (a) Étudier, pour tout non nul, le signe de , et de , .

(b) Pour tout réel r l 0, on note s_t la boule ouverte de centre (0,0) et de rayon r. Justifier que s_t contient des points de la forme , et de la forme , , où est un réel non nul.

(c) L’application admet-elle un extremum sur ?