R0 - Exercices divers

R0 - Exercices divers

--- Exercice 1. convergence dePln(thn)

--- Exercice 2. CalculerI=

Z

0 1

Arcsin(pt

) dt à l'aide du changement de variablet7!pt

--- Exercice 3. Soitn2N. Trouver les couples(a; b)2R²tels queX²+X+ 1divisePn(X) =X²ⁿ+a Xⁿ+b.

--- Exercice 4. Soitnun entier naturel non nul.

On définit, pour tout nombre réelx, fn(x) =x⁵+n x¡1.

1. Montrer que, pour toutn >0, l'équation fn(x) = 0possède une unique solution dans R, que l'on noteraun.

2. Étudier la variation de la suite(un)et montrer que, pour toutn >0,0< un<_n¹.

3. En déduire un équivalent deun, puis les deux premiers termes non nuls du développement asymptotique deun,

lorsquen!+1.

--- Exercice 5. Donner, en justifiant, la définition de la fonction Arccosinus et étudier sa dérivabilité. En déduire son

DSE au voisinage de0.

--- Exercice 6. Soitn>2 un entier et soienta; bdes réels distincts.

Montrer qu'il existe une unique forme linéaire'surRn[X](c'est à dire'2 L(Rn[X];R)) telle que '(1) = 1; '(X) = 0

et, pour toutP2Rn[X]vérifiantP(a) =P(b) = 0, '(P) = 0.

Déterminer'.

--- Exercice 7. Étudier, pour tout entiern>0, l'existence de l'intégraleZ

0

1xⁿlnx 1¡x² dx.

--- Exercice 8. Étudier les convergences simple et normale de la série de fonctions X

n>1

x e^¡nx n+x

--- Exercice 9. Soit E un espace euclidien. Caractériser les endomorphismes deE qui sont à la fois symétriques et orthogonaux.

--- Exercice 10. Soit:N!Nune bijection.

1. Montrer que, pour toutn2N; X

k=n+1 2n

(k)>n(n+ 1)

2 .

PC1 - R0 - Exercices divers 15 avril 2021

2. Montrer que la série X

k>1

(k)

k² diverge.

--- Exercice 11. SoitX une variable aléatoire à valeurs dans N. On suppose qu'il existe p2[0;1]tel que

8n2N; P(X=n) =p P(X>n)

Déterminer la loi deX, son espérance et sa variance.

--- Exercice 12. Etant donnén>2un entier naturel, on noteC la base canonique de Cⁿ. Soient deux vecteurs aet b deCⁿ et1; :::; ndes nombres complexes, calculer

det_C(a+1b; a+2b; :::; a+nb)

a) lorsquen= 2

b) lorsquen >2.

--- Exercice 13. Déterminer le rayon de convergence et la sommeS de la série entière :P

n>0

(n+ 1) (n¡2) n! xⁿ.

--- Exercice 14. Résoudre l'équation différentiellex²y⁰+y= 1. L'équation possède-t-elle des solutions surR?

--- ---

AUTRES EXERCICES :

R1 - Espaces vectoriels

--- Exercice 1.

1. Pour tous réelsxet y, on pose M(x; y) =

0

@ x y y y x y y y x

1

A. On noteE l'ensemble desM(x; y)etA=M(0;1).

a. Montrer queA est inversible et queA^¡12E.

b. Montrer queE est un espace vectoriel stable par multiplication.

c. Déterminer pour quelles valeurs du couple(; )il existe un couple(x; y)non nul tel que

M(; )M(x; y) = 0

2. Plus généralement, soitM(x; y) =

0 BB BB BB

@

x y y

y

y y y x

1 CC CC CC

A2 Mⁿ(R).

a. Étudier les éléments propres de M(x; y)en fonction dexet y.

b. A quelle condition surxet yla matriceM(x; y)est-elle inversible ?

c. Que retrouve-t-on dans le cas oùn= 3?

--- Exercice 2. On considère la matriceA=

0

@ i 0 0 0 0 1 0 ¡1 0

1

AdeMⁿ(C).

1. Calculer A². La matriceAest-elle inversible ?

2. Soit M2 M³(R)telle queM³+M= 0et soitf l'endomorphisme canoniquement associé à M.

a. On suppose que f est injectif.

i. Montrer queM est inversible et queM²=¡I3.

ii. Calculer det(M²)et montrer que l'on aboutit à une absurdité.

b. Exprimer, pourn2N,Mⁿ en fonction deM etM².

--- Exercice 3. SoitE=C³,F le sous-espace deE d'équationx+y+z= 0etGle sous-espace d'équationsx=^y₂=^z₃.

1. Les sous-espacesF etGsont-ils supplémentaires dansE?

2. Déterminer la matrice dans la base canonique deE du projecteur surF parallèlement àG.

PC1 - R1 - Espaces vectoriels 15 avril 2021

--- Exercice 4. SoitH2 Mⁿ(C)une matrice de rang 1.

1. Montrer queH est le produit d'une matrice colonne par une matrice ligne. En déduire que :H²= (trH)H.

2. Donner une condition nécessaire et suffisante sur trH pour que A=In+H soit inversible et calculerA^¡1.

--- Exercice 5. Soit E un espace vectoriel complexe de dimension finie, f et g des endomorphismes de E tels que :

f²=g²=Id et fg+gf= 0.

Montrer qu'il existe une base où les matrices de f et g sont décomposées en blocs carrés d'ordre n sous la forme

In 0 0 ¡In

et

0 In

In 0

.

--- Exercice 6. SoientV1; V2; :::; Vkdes éléments deMⁿ(K)vérifiantS=V1+V2++Vk2 GLⁿ(K). Calculer le rang des matrices suivantes, décrites par blocs:

A= (V1 V2 ::: Vk) B=

V1 V2 ::: Vk 0 0 V1 V2 ::: Vk

---

Exercice 7. Soit(a; b; c; d)2C⁴etA= 0 B BB BB B@

0 0 0 d 1 0 0 c 0 1 0 b 0 0 1 a

1 C CC CC CA

1. Calculer le polynôme caractéristique de A.

2. Si2Cet (a; b; c; d) = (;¡²; ³;0), la matrice Aest-elle diagonalisable ?

--- Exercice 8. Soitu:R²[X]!R²[X]; P 7!X P⁰⁰¡2P⁰+P. Quelle est la matriceA deudans la base canonique de

R²[X]? uest-elle bijective ? Si oui, déterminer son inverse. Calculer, pour toutk2N, la matrice A^k.

--- Exercice 9. SoitA=

0 B B@

1 0 1 2 0 0 0 0 1

1 C CA

1. Montrer que cette matrice est trigonalisable, non diagonalisable.

Déterminer une matrice triangulaireT semblable àA.

2. Soit M2 M³(R). Montrer que, si M²=A, alors Sp(M) f¡1;0;1g.

3. Trouver les matrices N=

0 B B@

a d g b e h c f i

1 C

CA2 M³(R)qui commutent avecT.

4. Résoudre l'équation M²=A dansM³(R).

---

Exercice 10. Déterminer le rang deA= 0

@ 1 4 3 5 2 5 3 7 3 6 3 9

1

A. Expliciter deux matrices carrées inversiblesU,V telles que :

U A V = 0

@ 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0

1 A.

--- Exercice 11.

1. SoitE unK-espace vectoriel de dimension finienetB= (e1; :::; en)une base de E. Montrer que la famille des

formes linéaires coordonnées :

ej:v=X

i=1 n

viei7!vj

relatives àBforme une base de l'espaceE=L(E ;K).

On l'appellera la base duale deBetEsera appelé espace dual deE.

2. Soit vun vecteur non nul deE. Montrer qu'il existe un élément 'deE tel que'(v) =/ 0.

3. Soient l1; l2; l3 3 formes linéaires sur C³. Montrer que (l1; l2; l3) est une base du dual L(C³;C) de C³ si et

seulement sif:v7!(l1(v); l2(v); l3(v))est bijective deC³dansC³.

4. Soientl1; l2; l3les formes linéaires surC³telles que

8(x; y; z)2C³; l1(x; y; z) =x+ 2y¡3z; l2(x; y; z) = 5x¡3y; l3(x; y; z) = 2x¡y¡z

Montrer que(l1; l2; l3)est une base du dual de C³et déterminer une base deC³dont(l1; l2; l3)est la duale.

--- Exercice 12. SoitA2 Mⁿ(K)et U=

0

@ 1 ::: 1

1 ::: 1 1 A.

1. Démontrer que : det(A+ U) =detA+ X

16i; j6n

Aij oùAij est le cofacteur deArelatif au coefficient i; j.

2. En déduire la valeur de D(a; b) =

a b ::: b

b

b b ::: b a

--- Exercice 13. SoitE=C⁰([0;1];R)etT:f7¡![x7¡!

Z

0 1

min(x; t)f(t) dt].

1. Montrer queT est un endomorphisme deE. Est-il surjectif ?

2. Montrer que l'application T(f)est de classeC²pour tout élément f2E et calculer(T(f))⁰⁰.

3. Montrer que0 n'est pas valeur propre deT et que tout vecteur propre f deT vérifie f(0) = 0.

4. Déterminer les valeurs propres et vecteurs propres de T.

--- R1 - Espaces vectoriels

Exercice 14. Soita2Rnf2;7g. la matriceB=

0 B B@

6 2 0

2 3 0

a²¡7a a¡7 a 1 C

CAest-elle diagonalisable ?

Calculer l'exponentielle exp(B) = lim

N!+1

X

n=0 N 1

n!Bⁿ(notée aussi X

n=0 +1

1

n!Bⁿ) après avoir justifié son existence.

--- Exercice 15. Par une méthode matricielle, étudiez les suites(xn)vérifiant la relation de récurrence :

8n2N; xn+2=xn+1+xn

2 :

Calculez lim

n!+1xn.

--- Exercice 16. SoitEun espace vectoriel de dimension finien>2.

1. Donner un exemple d'endomorphisme f deE dont l'image et le noyau ne sont pas supplémentaires.

2. On suppose, dans cette question seulement, que f est un endomorphisme de E diagonalisable. Justifier que

l'image et le noyau def sont supplémentaires.

3. Soit f un endomorphisme deE.

a. Montrer que la suite (Imf^k)_k2Nest décroissante (pour l'inclusion) et stationnaire.

b. Montrer qu'il existe un entier naturel non nulktel que

Im(f^k)Ker(f^k) =E

L'endomorphisme f^kest-il nécessairement diagonalisable ?

4. Le résultat démontré en 3.b. reste-t-il valable si l'espace E est de dimension infinie ?

--- Exercice 17. On considère l'application :

: Rn[X] ! Rn[X]

P 7! XⁿP 1

X

1. Montrer queest bien définie et qu'elle est linéaire.

2. Déterminer les éléments propres de.

3. Montrer que =IdR_n[X]. Retrouver à l'aide de ce résultat le spectre de.

--- Exercice 18. SoientP1et P2deux plans vectoriels distincts de E=R³. On note S l'ensemble des endormorphimes

deE qui laissent stablesP1et P2.

1. Montrer queS est unR-espace vectoriel.

2. Montrer qu'il existe un vecteur propre commun à tous les éléments deS.

3. Quelle et la dimension deS?

--- ---

AUTRES EXERCICES :

--- Exercice 19. SoitA2 M³(R)telle que A²= 0et A=/ 0. Montrer queA est semblable à

0

@ 0 0 1 0 0 0 0 0 0

1 A

--- Exercice 20. Soitv=

0 B B@

v1

v2

v3

1 C

CA2R³tel que v1+v2+v3= 1. On pose, pourx=

0 B B@

x1

x2

x3

1 C

CAdansR³,

(x) =x¡(x1+x2+x3)v

1. Montrer que cette application définit un projecteur de R³.

2. Déterminer son image et son noyau.

--- Exercice 21. D'après CCP - On considère la matriceA=

0

@ 1 1 1 1 1 0 1 0 0

1 A

1. Montrer que deux matrices semblables ont même trace.

2. Calculer le polynôme caractéristique P deA puis calculerP(j)pour j2 f¡1;0;1;2;3g.

En déduire queP possède 3 valeurs propres réelles distinctesa < b < cdont on donnera les parties entières.

La matriceAest-elle diagonalisable ?

3. Exprimer, pour n2N, le réeltn=trAⁿen fonction dea; b; c.

4. Montrer que ^P_P(X)^0(X)=_X¹_¡a+_X¹_¡b+_X¹_¡c.

5. On considère la série entièrePtnzⁿ. Calculer son rayon de convergence. Exprimer sa somme sans a; b; c.

6. Soit u l'endomorphisme deR³canoniquement associé à A. Caractériser les vecteursx2R³tels que la série

Puⁿ(x)soit convergente.

--- Exercice 22.

1. Calculer le polynôme caractéristique de la matriceM=

0

@ 0 0 a 1 0 b 0 1 c

1

Aoùa; b; c2C.

2. On considère la matrice A=

0

@ 1 1 2 1 1 1 1 0 1

1

Aet on notef2 L(C³)l'application canoniquement associée àA.

a. Calculer trA, trA², detAet en déduire A.

R1 - Espaces vectoriels

b. Déterminer une base(u; v; w)de C³dans laquelle la matrice de f est de la forme 0

@ 0 0 a 1 0 b 0 1 c

1 A.

c. Reprendre les questions 1 et 2 avec la matriceB=^tA.

d. Montrer queAest semblable à^tAet donner la matrice de passage.

--- Exercice 23. Soithun endomorphisme d'unK-espace vectorielE et soitF un sous-espace deE.

1. Exprimerh^¡1(h(F))en fonction deF et de Kerh.

2. Exprimerh(h^¡1(F))en fonction deF et de Imh.

3. Quels sont les sous-espaces F deE vérifianth(h^¡1(F)) =h^¡1(h(F))?

--- Exercice 24. Soitf:Mⁿ(K)!Kune application qui vérifie 8A; B2 Mⁿ(K); f(A B) =f(A)f(B).

1. On suppose que f est constante, quelles sont ses valeurs possibles ?

On suppose désormais quef n'est pas constante.

2. Calculer f(0n)et f(In)et montrer que, pour toute matriceA2 GLⁿ(K), f(A) =/ 0.

3. SoitAnon inversible de rangr < netJr= ₀ ^{Ir 0r;n¡r}

n¡r;r 0_n¡r

!

. On noteul'endomorphisme deKⁿcanoniquement

associé àA.

a. Rappeler le théorème du rang pour u.

b. A l'aide deuet de bases bien choisies, montrer qu'il existeP ; Q2 GLⁿ(K)telles queA=P^¡1JrQ

c. En déduire que f(A)et f(Jr)sont simultanément nuls ou non nuls.

4. On note, pour j2[[1; n]],Mjla matrice obtenue en échangeant les colonnes j et ndeJr.

Montrer que le produit Q

j=1

n Mj est nul et en déduiref(Jr).

5. Montrer queAest inversible si et seulement si f(A) =/ 0.

--- Exercice 25. Soit2]0; [. On considère les deux matrices d'ordren:

A= 0 B BB BB BB BB BB B@

0 1 0 0 0

1 0 1 0 0

0 1 0 0 0

0 0 0 0 1

0 0 0 1 0

1 C CC CC CC CC CC CA

; B= 0 B BB BB BB BB BB B@

2cos 1 0 0 0

1 2cos 1 0 0

0 1 2cos 0 0

0 0 0 2cos 1

0 0 0 1 2cos

1 C CC CC CC CC CC CA

1. Montrer par récurrence que detB=^sin(n_sin^{+ 1)}

2. Montrer que detB s'annule pour nvaleurs distinctes de de ]0; [, et les déterminer. Si PAest le polynôme

caractéristique deA, calculer PA(¡2cos)et déduire de ce qui précède les valeurs propres deA.

3. Montrer que les valeurs propres des matrices 2In+A et2In¡Asont strictement positives.

--- Exercice 26. SoientA=

0 B B@

a₁ a_n

1 C CA,B=

0 B B@

b₁ b_n

1 C

CAéléments deMⁿ(K)etC=A^tB.

1. Montrer queC= 0si et seulement siA= 0ouB= 0.

2. Étudier l'image et le noyau de l'endomorphisme f canoniquement associé à C.

3. La matrice C est-elle diagonalisable ? Quel est son polynôme caractéristique ?

--- Exercice 27. On appelle matrice compagnon une matriceCdu type :

0 B BB BB BB B@

0 1 0 ::: 0

0

0 0 1

a0 a1 ::: an¡2 an¡1

1 C CC CC CC CA

1. Calculer le polynôme caractéristique de C.

2. Si2Sp(C), quelle est la dimension du sous-espace propre associé ? En déterminer une base.

3. En déduire une condition nécessaire et suffisante de diagonalisabilité deC portant sur C.

--- Exercice 28. On rappelle qu'un hyperplan d'un espace vectorielE de dimension finie p2Nest un sous-espace de

E de dimensionp¡1.

Le but est de montrer que dans tout hyperplanHdeMⁿ(R)il y a des matrices inversibles. On effectue pour cela une

preuve par l'absurde. Soit doncHtel queH \ GLⁿ(R) =?.

1. Montrer queMⁿ(R) =H RInet que l'on peut choisir une application linéaire '2 L(Mⁿ(R);R)telle que

H=Ker' et '(In) = 1

2. Montrer que, pour touteM2 Mⁿ(R),M¡'(M)In2 Het en déduire que'(M)est une valeur propre pourM.

3. On note(Eij)la base canonique deMn(R).

a. Montrer que, pour tout couple (i; j), Sp(Eij) =f0gsii=/ j et Sp(Eii) =f0;1g.

b. Montrer qu'il existe un uniquei2[[1; n]] tel que '(Eii) = 1.

c. Conclure.

---

R1 - Espaces vectoriels

Exercice 29. Étudier le nombre de solutions du système linéaire denéquations àninconnues complexes : 8>

>>

>>

>>

>>

>>

>>

>>

><

>>

>

>>

>>

>>

>>

>>

>>

>:

x1 + x2 = 2a1

x2 + x3 = 2a2

xk + xk+1 = 2ak

xn¡1 + xn = 2an¡1

x1 + xn = 2an

Peut-on déterminer un polygone plan(M1M2::: Mn)connaissant les milieuxA1; :::; Ande ses côtés ?

---

Exercice 30. SoitM= 0 B BB BB BB B@

a b b b b a b b b b a b

b b b a 1 C CC CC CC

CAavec(a; b)2R².

1. Étudier les valeurs propres de M et la dimension des sous-espaces propres associés.

2. Dans le cas où M possède deux valeurs propres distincteset , calculer(M¡ In)(M¡ In).

3. Discuter l'inversibilité deM et calculer, siM est inversible, son inverse.

--- Exercice 31. Soienta >0et Sa:C(R;R)! C(R;R)l'application qui à une fonction f associe :

Sa(f):x7! 1 2a

Z

x¡a x+a

f(t) dt

1. Calculer Sa(f)où f:t7!sin( t/a).

2. Soit f2 C(R;R). Montrer quSa(f)est de classeC¹.

3. Montrer queSan'est ni injective ni surjective.

4. Soit n2N. Montrer que Sa induit un endomorphisme surRn[X], que l'on noterasa.

5. Montrer quesa est un automorphisme.

6. Montrer que, dans une base bien choisie, la matrice desaest triangulaire supérieure.

7. L'endomorphisme sa est-il diagonalisable ?

--- Exercice 32. SoientE unK-espace vectoriel,V un sous-espace vectoriel deE, pun projecteur d'imageV.

Soit encoreuun endomorphisme deE tel queuⁿ=IdEetu(V)V. On pose :

q=1 n

X

k=0 n¡1

u^kpu^n¡k

1. Montrer queuq=qu.

2. Montrer que qp=p.

3. Montrer que qest un projecteur.

4. Déterminer l'image de q. En déduire l'existence d'un supplémentaire deV stable paru.

--- Exercice 33. Soientn2Netu:P2Rn[X]7!X(X¡2)P⁰¡n X P

1. Montrer queudéfinit un endomorphisme deRn[X].

2. Déterminer les éléments propres deu. Est-il diagonalisable ?

R2 - Analyse

--- Exercice 1. Étudier la convergence de la suite de terme général

un= Y

k=1 n

1 +k n

r !_sin(2p1+n² )

--- Exercice 2. On noteh(x) =ln(1 +x)¡x

x² .

1. Montrer que cette fonction est prolongeable par continuité en 0.

2. Ce prolongement est-il dérivable en 0 ? 3. Peut-on dire mieux ?

--- Exercice 3. On pose, pour toutn2N,un=

Z

0

4(tant)ⁿdt.

1. Déterminer la limite de la suite (un).

2. Calculer la somme un+un+2.

3. Donner la nature de la série Pun.

--- Exercice 4. Soitn2Net, pourt2[0;1],g(t) =e^t¡

1¡_n^tn.

1. Montrer quejg⁰(t)j ^e_n^t puis quee^¡t¡¡

1¡_n^tn_n^t.

2. Soit In(x) =

Z

0 1

t^x 1¡t

n n

dt.

Étudier l'existence deIn(x)puis étudier la convergence simple de la suite (In)de fonctions.

--- Exercice 5. On posefn(x) =ⁿ_n^{+ 2}_{+ 1}e^¡nx2

1. Étudier la convergence simple de la suite de fonctions (fn)n2N.

2. La suite (fn)converge-t-elle uniformément sur[0;+1[?

3. Soit a >0. La suite(fn)converge-t-elle uniformément sur[a;+1[?

4. La suite converge-t-elle uniformément sur]0;+1[?

---

PC1 - R2 - Analyse 15 avril 2021

Exercice 6.

1. Montrer queF(x) =X

n=1 +1

Arctan(n x)

n² estC¹surR.

2. Etudier la limite en0⁺deF⁰.

3. Montrer que la courbe deF possède en0une tangente verticale.

--- Exercice 7.

1. Etudier le rayon de convergence deP(¡1)ⁿx⁴ⁿ⁺¹

4n+ 1 et l'ensemble de définition de sa somme f.

2. Etudier la continuité de f sur son ensemble de définition.

3. ExprimerS=P

n=0 1 (¡1)ⁿ

4n+ 1 sous forme d'une intégrale.

4. Calculer cette intégrale en utilisant le fait admis que _{1 +}¹_x4= ^{x+ 2}

p 2

3 2(x²+p2

x+ 1)

¡ ^x¡p2

2

3 2(x²¡p2

x+ 1)

--- Exercice 8.

1. Montrer que la fonction x7!p1 +xest développable en série entière sur un voisinage de0. On pourra utiliser

une équation différentielle.

On écrit alors :

1 +x p =X

k=0 +1

akx^k et, pour tout n2N, Pn(X) =X

k=0 n

akX^k

2. À l'aide d'un développement limité, montrer queXⁿ divise le polynômePn2(X)¡X¡1.

3. Appliquer ce résultat pour trouverdessolutions dansM⁴(C)de l'équation

X²=A oùA= 0 B BB B@

1 2 0 0 0 1 2 0 0 0 1 2 0 0 0 1

1 C CC CA

--- Exercice 9. On considère l'intégraleIn=

Z

0

+1Arctan(n+x)

px(n+x) dx.

1. Montrer queInconverge pour toutn2N.

2. Étudier la convergence de la suite(In).

3. Grâce à un changement de variable naturel , calculerZ

0

+1 dx

px(n+x).

En déduire un équivalent simple deInlorsque ntend vers +1.

--- Exercice 10.

1. Démontrer que, pour tout entier naturel n, la fonctiont7! 1

1 +t²+tⁿe^¡t est intégrable sur[0;+1[.

2. Pour tout n2N, on poseun=

Z

0

+1 dt

1 +t²+tⁿe^¡t. Calculer lim

n!+1un.

--- Exercice 11. On posef(x) =

Z

x 3xe^¡t

t dt.

1. Étudier l'ensemble de définition de f.

2. Étudier la dérivabilité et les variations de f.

3. Déterminer les limites de f.

4. Préciser la tangente en 0à la courbe¡de f.

--- Exercice 12.

1. Montrer que sin²p¡sin²q=sin(p+q)sin(p¡q)

2. Montrer que l'intégrale Z

0

+1sin²t

t² dtconverge.

3. Montrer que l'intégrale Z

0 +1sint

t dt converge et qu'elle est égale à l'intégrale précédente. On pourra réaliser

une intégration par parties.

On pose, pour tout entier natureln: an=

Z

0

2sin²(n t)

sin²t dt.

4. Montrer queanexiste et vérifiean+2¡2an+1+an= 0.

5. Exprimeranen fonction den.

--- Exercice 13. Soitf continue et décroissante sur]0;1].

Pournentier naturel non nul, on définitSn=1

n X

k=1 n

f k

n

.

1. Montrer que la fonction f est intégrable sur]0;1]si et seulement si la suite(Sn)n>1converge et qu'alors :

Z

0 1

f= lim

n!+1Sn

Indication :On pourra commencer par étudier le cas où f est positive.

2. Application au calcul deZ

0 1ln

sin

2t dt.

R2 - Analyse

Indications : On pose!2n= e^2i/n etP(X) = Y

k=1 2n¡1

(X¡!2nk )

a. Exprimer Q

k=1

n sin^k _2n2

à l'aide deP(1). CalculerP(1).

b. En déduireZ

0 1ln

sin

2t dt.

--- Exercice 14. Justifier l'existence deZ

0

+1 x

e^x¡1dxet de X

n=1 1 1

n². Comparer ces réels.

--- Exercice 15. On considère la fonctionf définie par

f(x) = Z

0

+1e^¡xt2 1 +t²dt

1. Montrer que f est continue surR⁺et de classeC¹surR⁺.

2. Trouver une équation différentielle du premier ordre dontf est solution et calculer, pourx >0,f(x)en fonction

deg(x) = Z

0 xe^¡t

pt dt(après avoir justifié l'existence de g(x)). On admettra queZ

0 +1

e^¡u2du=p 2 .

--- Exercice 16. On veut trouver toutes les fonctions f de classeC²vérifiant la relation ():

8x; y2R; f(x+y) +f(x¡y) = 2f(x)f(y) 1. Résoudre les problèmes de Cauchy suivants :

(E¹) 8>

><

>>

:

z⁰⁰=!²z z(0) = 1 z⁰(0) = 0

(E²) 8>

><

>>

:

z⁰⁰=¡!²z z(0) = 1 z⁰(0) = 0

2. Montrer que8x; y2R; ch(x+y) =ch(x)ch(y) +sh(x)sh(y)et montrer que ch vérifie ().

3. On considère une fonction f de classeC²qui vérifie().

a. Montrer que f(0)2 f0;1g.

b. Montrer que si f(0) = 0alors f est identiquement nulle. Montrer que sif(0) = 1 alorsf⁰(0) = 0.

c. Montrer que si f/ 0, il existe!2R+tel que f est solution de(E¹)ou de(E²).

d. Conclure.

--- Exercice 17. Soit(E)l'équation différentielle :t²y⁰⁰¡4t y⁰+ 2y= 1.

1. Trouver une solution particulière de(E).

2. A l'aide du changement de variablet= e^x, résoudre sur ]0;+1[l'équation homogène associée à(E).

--- ---

AUTRES EXERCICES :

--- Exercice 18. Soit un réel non nul et soit un couple de réels(; ) =/ (0;0). On définit la suite (un)par u0=,

u1= et, pour tout entier natureln, un+2=un+1+ un.

1. On suppose que (un)converge.

a. Quelle est sa limite ?

b. Montrer que la série de terme généralunconverge et calculer sa somme.

2. Supposons queappartienne à

¡¹₄;0 .

a. Montrer queX²¡X¡admet deux racines réelles dans]0;1[.

b. Montrer que(un)converge.

3. Que se passe-t-il si est dans

¡1;¡¹₄?

4. Pour>2, montrer que(un)diverge.

5. A partir du cas=¡¹₄, déterminer X

n=0 +1

n 2ⁿ.

6. Retrouver ce dernier résultat à l'aide des séries entières.

--- Exercice 19. On considère la série X

n>1

unde terme général

un= p(n¡1)!

(1 + 1p

) (1 + 2p

):::(1 +pn)

1. Étudier la suite (vn)définie parv0= 1et, pourn>1,vn=pnun.

2. En utilisant une équivalence suite/série, montrer la convergence de la série de terme général un et en calculer

la somme.

--- Exercice 20. On va calculer l'intégrale

I() = Z

0

ln(1¡2cost+²) dt

pour2Rnf¡1;1g par deux méthodes différentes.

1. Première méthode :

a. Montrer la convergence de I().

R2 - Analyse

b. Quelle est la limite deun= nlnY

k=1

n

1¡2cosk n +²

?

c. Exprimerunen fonction denet en déduireI().

2. Deuxième méthode :

a. Calculer I(²)puisI(²ⁿ)en fonction deI().

b. Montrer que2lnj1¡ jjj6I()62ln(1 +jj).

c. Déduire des deux questions précédentesI().

--- Exercice 21. On cherche une condition nécessaire et suffisante pour que la série de terme général un= sin(lnn)

n^a converge.

1. Trouver des intervalles [n1; n2]sur lequel sin(lnn)>^p₂².

2. Montrer que, pour a60, la suite(un)ne tend pas vers 0.

3. Poura2]0;1], minorer X

n=n1

n2

un et conclure.

--- Exercice 22.

1. Pour n2N, simplifier les sommesan=P

k=0 bn/2cn

2k 1

n^2k etbn=P

k=0

bn/2c¡1 n 2k+ 1

1

n^2k+1 et étudier les limites

des suites(an)et (bn).

2. Trouver la limite de la suite de M²(R)de terme généralAn=

1 1/n 1/n 1

n

.

--- Exercice 23. On considère la fonctionf:x7!exp(¡x²)

Z

0

xexp(t²) dt.

1. Montrer que f est développable en une série entièrePanxⁿet donner son rayon de convergence.

2. Soit In=

Z

0 1

(x²¡1)ⁿdx.

a. Trouver une relation simple entre Inet an.

b. Montrer queInvérifie une relation de récurrence et en déduire les expresssions deIn et dean.

3. Déterminer un équivalent en +1dea2n+1.

--- Exercice 24. Pour toutn2N, on définitun=

1¡^p1_nn

et vn= e^¡pn.

1. Montrer que la série de terme généralvn converge.

2. On pose, pourn2N,In= Z

n +1

e^¡ptdt

a. Pourx2R, calculer Z

0 x

ue^¡udu.

b. Montrer queInest définie puis que In= 2 (1 +pn) e^¡pn.

3. On pose, pourn2N,Rn=P

p=n+1

+1 vp. Montrer queIn+16Rn6In puis montrer queRnⁿ!+12pne^¡pn.

4. Déterminer la nature de P

n>1unpuis donner un équivalent deSn=P

p=n+1

+1 uplorsquen!+1.

---

--- Exercice 25. Soienta; bdeux réels tels que0< a < bet g:R+ !R; t7!sin³t

t² .

Indication : sin³t=³₄sint¡¹₄sin(3t).

1. Montrer queZ

0 +1

g(t) dtest bien définie

2. Montrer que, pour toutx >0:

Z

x +1

g(t) dt=3sinx¡sin(3x)

4x +3

4 lim

X!+1

Z

x

Xcost¡cos3t

t dt:

3. Montrer queZ

x +1cost

t dtest bien définie.

Soit f:R+!Rcontinue. On pose, pour toutx >0,I(x) =

Z

x

1/af(a t) t dt¡

Z

x

1/bf(b t) t dt.

4. Montrer queI(x)¡f(0)lnb

a= Z

ax

bxf(t)¡f(0) t dt.

5. En déduire que lim

x!0I(x) =f(0)lnb a.

6. En déduire la convergence et la valeur de Z

0 +1

g(t) dt.

--- Exercice 26. Etudier la courbef= (x; y)définie par

(

x(t) =cos²t+lnjsintj y(t) =costsint

Déterminer limt!₄

y(t)¡y¡

4

x(t)¡x¡

4

pour obtenir le coefficient directeur de la tangente en f¡

4

puis étudier la position de

la courbe par rapport à cette tangente en ce point.

--- Exercice 27. Soitf une fonction continue de[0;1]dansR+. On définit :

8x2R; F(x) = Z

0 1

f(t)^xdt

1. Montrer queF est de classeC¹surRet calculer F⁰.

R2 - Analyse

2. En déduire lim

n!+1

Z

0 1

(f(t))^1/ndt n

--- Exercice 28. Calculer la limite en0det f(t)où f(t) =exp ₁

pt+ln(t)^sin_t^t .

La fonctionf est-elle intégrable sur]0;1]?

--- Exercice 29.

1. Montrer l'existence des intégralesIn=

Z

0 +1 e^¡t

n+tdtet Jn= Z

0

+1 e^¡t (n+t)²dt

2. Prouver que Jn=O¡ 1

n²

lorsquentend vers l'infini.

3. En déduire un équivalentsimple deIn=

Z

0 +1 e^¡t

n+tdt lorsquentend vers l'infini.

--- Exercice 30. On considère l'arc paramétré f:t7!(x(t); y(t))défini par :

8t2R; x(t) =cos(2t) + 2cos(t) et y(t) =sin(2t)¡2sin(t)

1. Pourt2R, on pose z(t) =x(t) + iy(t). Calculer z(¡t) etz¡

t+²₃en fonction dez(t). En déduire que l'on

peut réduire l'intervalle d'étude de f àI=

0;₃ .

2. Étudierf surI, et déterminer lim

h!0

y(h)¡y(0)

x(h)¡x(0). En déduire la tangente au support defau point de paramètre0.

3. Calculer jz(t)j²et montrer que son minimum est atteint en un point t02I tel que f⁰(t0) =/ 0. En déduire que

le support de f est tangent en ce point à un cercleC centré à l'origine que l'on précisera.

4. Représenter f.

--- Exercice 31.

1. Montrer queIn;p=

Z

0 1

xⁿln^pxdxest convergente pour tout(n; p)2N². La calculer.

2. Montrer queZ

0 1

x^¡xdx=X

n=1 +1

n^¡n.

--- Exercice 32. fonction¡d'Euler

1. Montrer que la fonction ¡:x7!

Z

0 +1

e^¡tt^x¡1dxest définie, de classeC¹surR+.

2. Montrer que, pour toutu>0,1¡u6e^¡u.

3. Montrer que, pour toutx >0,¡(x) = lim

n!+1

Z

0 n

1¡t n

n

t^x¡1dt.

---

--- Exercice 33. Pourx2Ret y2]0; 1[,f(x; y) =ln(1 + 2 y cosx+y²)

y .

1. Montrer quejln(1¡y)j>jln(1 +y)jpuis quejf(x; y)j ¡2ln(1¡y)

y .

2. Montrer queF(x) =

Z

0 1

f(x; y) dy existe.

3. Montrer queF est paire,2-périodique et continue.

4. Calculer F()en utilisant une intégration terme à terme.

5. Montrer queF estC¹sur]0;[ et calculerF⁰(x)et F(x).

On pourra démontrer et utiliser les formules : ^cos_sinx^x=tan¡

2¡xet ^{1 +}_sin^cos_x^x=tan¡¡x 2

pourx2]0; [.

--- Exercice 34. SoitF:x7!

Z

0

+1e^¡xt 1 +tdt.

1. Montrer que le domaine de définition deF est R+.

2. Montrer queF est positive et décroissante.

3. Montrer que, pour x2R+,F(x)6Z

0 +1

e^¡xtdt. En déduire la limite deF en+1.

4. Montrer queF est de classeC¹et que :8x2R+,F(x)¡F⁰(x) =_x¹. En déduire queF est de classeC¹.

5. Montrer que8x2R+,F(x) = e^x

Z

x +1e^¡t

t dt. En déduire la limite deF en0⁺.

6. Montrer queF(x)_x

!0⁺ ¡ln(x).

R2 - Analyse

R3 - Tout le programme

--- Exercice 1. Soitnun entier naturel supérieur ou égal à2.

1. Résoudre dansCl'équation zⁿ= 1.

2. Pourk2J0; n¡1K, on note !k= e^2ikn. CalculerP=Y

k=1 n¡1 1 +!k

1¡!k.

3. En déduire la valeur de P⁰=Y

k=1 n¡1

1

tan_k

n

.

--- Exercice 2. On pose`= lim

n!+1unoùun=¡

nsin_n¹_n²

Déterminer la nature de la série X

n>1

(un¡`).

--- Exercice 3. Une urne contientnjetons numérotés de1à n.

On tire deux jetons simultanément de l'urne et on noteX le numéro du plus petit,Y celui du plus grand.

1. Donner la loi deX et la loi deY.

2. Donner l'espérance deX et deY si elles sont définies.

--- Exercice 4. SoitP02R2[X]et soit(; )2RR. Pour tout entiern>0, on définit :

Pn+1= Pn+ Pn0

1. Montrer que, pour toutn2N,Pn2R2[X].

2. Soit f la fonction de R2[X]dansR2[X]qui àP associe P+ P⁰. Montrer que f est un automorphisme.

3. Soit n2Net Qun polynôme deR2[X]. Montrer qu'il existeP0tel que Q=Pn.

---

Exercice 5. Soitla matrice

0 B BB BB BB BB B@

1 1 1 1 1 1 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 1 1 1 1 1 1

1 C CC CC CC CC CA

deM⁵(R). On notel'endomorphisme canoniquement associé.

1. Donner le rang de , son image et son noyau.

2. Montrer que la restriction de sur le sous-espace formé par les colonnes deinduit un automorphisme.

--- Exercice 6. Soit!=exp_{2 i}

7

. On poseS=!+!²+!⁴etT=!³+!⁵+!⁶.

CalculerS+T et S T. En déduireS et T.

--- Exercice 7.

1. Donner le développement en série entière de la fonction x7! 1

1¡x

2. En déduire le développement en série entière de la fonctionx7! 1

(1¡x)^m+1 oùm2N.

3. Soientr >0 et p2]0;1[. On définit QsurNen posant

Q(k) =k+r¡1 r¡1

p^r(1¡p)^k

Montrer que Qpermet de définir une probabilité sur(N;P(N)).

--- Exercice 8.

1. Soit P=X²+ 2X+ 3. Montrer que les racines deP ont un module compris entre1 et2.

2. Soit P=a0+a1X++anXⁿ2R[X]aveca0>a1>>an>0. On pose Q= (1¡X)P. Soitz2Ctel que

Q(z) = 0. Montrer quea0=P

k=1

n (ak¡1¡ak)z^k+anzⁿ⁺¹.

En déduire que siP(z) = 0alorsjzj>1.

3. Soit P=a0+a1X++anXⁿ2R[X] où les aisont dansR+. On poser=minfak/ak+1;06k6n¡1g.

Montrer que les racines deP sont de module au moins égal àr.

Indication :considérerP~ =P(r X).

--- Exercice 9.

1. Soit hune fonction continue et positive de[a; b] dansR. Démontrer que :R

a

bh(x)d x= 0)h= 0.

2. Soit E le R-espace vectoriel des fonctions continues de [a; b] dans R. On pose, pour tout f et tout g de E,

(fjg) =R

a

bf(x)g(x) dx. Démontrer que l'on définit un produit scalaire surE.

3. MajorerR

0

1pxe^¡xd xen utilisant l'inégalité de Cauchy-Schwarz.

--- Exercice 10. SoitEl'espace vectoriel des applications continues et2-périodiques deRdansR.

1. Démontrez que (fjg) =₂¹R

0

2f(t)g(t) dt est un produit scalaire surE.

2. Soit F le sous-espace vectoriel engendré par f:x7!cosxet g:x7!cos(2x).

Déterminez le projeté orthogonal surF de la fonctionu:x7!sin²x.

--- Exercice 11. Soit(;F;P)un espace probabilisé.

1. Soient A et B deux événements. Montrer que la probabilité qu'un seul des deux événements se réalise est

P(A) +P(B)¡2P(A\B).

2

2. Soient Aet B deux événements tels que P(A) =0.9 et P(B) =0.8. Donner un encadrement deP(A\B)et montrer qu'il est optimal en trouvant un cas d'égalité pour chaque inégalité.

3. SoientA1; :::; Andes événements. Prouver l'inégalité suivante :

P(A1\:::\An)X

i=1 n

P(Ai)¡(n¡1)

4. Trouver de même une majoration optimale deP(A1\:::\An)qui s'écrive en fonction desP(Ai).

--- Exercice 12.

1. Déterminez le développement limité à l'ordre 5 en 0 de la fonction f:x7!cosx

1¡x.

2. Donnez, pourk2 f0;1;2;3;4;5g, la valeur de f^(k)(0).

--- Exercice 13.Des joueursA1; A2; ::: An,... s'affrontent de la manière suivante : chaque manche oppose deux concurrents

qui ont chacun la probabilité 1

2 de gagner. La première manche opposeA1et A2et, à l'étapen(n>2), si elle a lieu,

le gagnant de l'épreuve précédente affronte le joueur An+1. Le jeu s'arrête lorsque, pour la première fois, un joueur

gagne deux manches consécutives.

Montrer qu'il est presque sûr que le jeu s'arrête (c'est-à-dire que la probabilité de cet événement vaut 1) et déterminer

la probabilité queAn gagne.

--- Exercice 14.

1. Soit (fn)n2N une suite de fonctions continues sur[a; b], à valeurs réelles. Démontrez que si la suite (fn)n2N

converge uniformément vers f, alors la suite¡R

0

1fn(x)d x

n2Nconverge versR

0

1f(x)d x.

2. Justifiez comment ce résultat peut être utilisé dans le cas des séries de fonctions puis démontrez que Z

0

1

2 X

n=0 +1

xⁿ

!

d x=X

n=1 +1

1 n2ⁿ:

--- Exercice 15. Pour toutn1, on poseIn=

Z

0 +1

¡1 1 +t²

n

dt.

1. Justifiez queInest bien définie.

2. Démontrez que (¡1)ⁿIndécroît et déterminez sa limite.

3. La série PInest-elle convergente?

--- Exercice 16. Graphe aléatoire d'Erdös-Rényi.

SiS est un ensemble et siA ffx; yg/x; y2Savecx=/ yg,G= (S;A)est appelé le graphe dontS est l'ensemble des

sommets et dontAest l'ensemble des arêtes.